导数及其应用（2）-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
2．曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
3．曲线在处的切线的斜率是（
）
A．
B．
C．1
D．10
4．函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．，
5．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（
）
A．
B．1
C．2
D．0
6．已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
7．函数且的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数的一条切线方程为，则的最小值为（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
二、多选题
9．如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（
）
A．在处导函数有极大值
B．在，处导函数有极小值
C．在处函数有极大值
D．在处函数有极小值
10．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（
）
A．（）′
B．（cos2x）'＝﹣2sin2x
C．
D．（lgx）′
11．已知函数，其导函数为，设，则（
）
A．的图象关于原点对称
B．在R上单调递增
C．是的一个周期
D．在上的最小值为
12．设，又是一个常数，已知或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根，则下列命题正确的是（
）
A．和有一个相同的实根；
B．和有一个相同的实根；
C．的任一实根大于的任一实根；
D．的任一实根小于的任一实根．
三、填空题
13．直线与函数(为自然对数的底数)的图象相切于点，则___________.
14．已知函数，则______．
15．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为___________.
16．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
18．已知函数为单调递增函数，求实数的取值范围．
19．某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足．已知第x月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是
（1）写出2013年第x月份的旅游人数(单位：人)与x的函数关系式；
（2）试问2013年第几月份旅游消费总额最大，最大月份旅游消费总额为多少万元？
20．已知函数(为实数).
（1）若，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
21．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
22．已知函数(e是自然对数的底数).
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由.
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)导数及其应用（2）-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由分离常数，利用构造函数法，结合导数，求得的取值范围.
【解答】依题意在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，
，
在上递增，，
所以.
所以的取值范围是.
故选：B
2．曲线在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用导数求得切线斜率，然后求出切点坐标，再结合点斜式求得切线方程．
【解答】，，又，故切点为
所以函数在处的切线方程为．
故选：A
3．曲线在处的切线的斜率是（
）
A．
B．
C．1
D．10
【答案】A
【解析】求得函数的导数，代入即可求解.
【解答】由题意，函数，可得，所以，
即曲线在处的切线的斜率是.
故选：A.
4．函数的单调递增区间为（
）
A．
B．
C．
D．，
【答案】D
【解析】先求解出的解析式，然后根据的取值正负判断出的单调递增区间.
【解答】因为，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
所以的单调递增区间为：和，
故选：D.
5．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（
）
A．
B．1
C．2
D．0
【答案】B
【解析】由导数的几何意义得出，再求.
【解答】由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
6．已知是定义在上的函数，且，导函数满足恒成立，则不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数，对其求导结合已知条件可判断在上的单调性，所要解的不等式等价于，根据单调性即可求解.
【解答】令，则，
因为导函数满足恒成立且，
所以，
所以在单调递减，
因为，
所以不等式等价于，
因为所以在单调递减，
所以，
所以不等式的解集为，
故选：A
【点评】关键点点睛：本题解题的关键点是根据已知条件，结合所要解的不等式构造函数，利用函数的单调性求解.
7．函数且的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据解析式判断奇偶性，在上有，利用导函数，结合函数图象分析内极值点的个数，即可确定正确函数图象.
【解答】函数，且是偶函数，A不合要求．
当时，：当，，C不合要求；而时，在上只有一个交点(如下图示)，即区间内只有一个极值点.
D不合要求，B符合要求.
故选：B.
【点评】关键点点睛：利用导函数，应用数形结合分析函数的交点情况，判断函数在区间上极值点个数.
8．已知函数的一条切线方程为，则的最小值为（
）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【解析】设切点为，利用相切找到，记，利用导数求最小值.
【解答】的定义域，，
设切点为，则，
因为为切点，所以
，，
∴
记，
当时，，单增；
当时，，单减；
所以当，取得最小值，即的最小值为0.
故选：B
【点评】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
二、多选题
9．如图是函数导函数的图象，下列选项中正确的是（
）
A．在处导函数有极大值
B．在，处导函数有极小值
C．在处函数有极大值
D．在处函数有极小值
【答案】ABCD
【解析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项.
【解答】根据导函数的图像可知：的两侧左减右增，所以在，处导函数有极小值；的两侧左增右减，所以在处导函数有极大值.
根据导函数的图像可知：的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在处函数有极大值.的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在处函数有极小值.而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值.
故选：ABCD
【点评】本小题主要考查极大值、极小值的定义和判断，属于基础题.
10．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是（
）
A．（）′
B．（cos2x）'＝﹣2sin2x
C．
D．（lgx）′
【答案】BC
【解析】对各个答案分别利用求公式和求导法则进行求导，选出正确答案即可.
【解答】，（cos2x）′＝﹣2sin2x，，.
故选：BC.
【点评】本题考查了求导的计算，考查了计算能力，属于简单题.
11．已知函数，其导函数为，设，则（
）
A．的图象关于原点对称
B．在R上单调递增
C．是的一个周期
D．在上的最小值为
【答案】AC
【解析】对A：求出的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可；
对B：利用的导数可判断；
对C：计算，看是否等于即可；
对D：设，根据对勾函数的单调性可得最值.
【解答】的定义域是，其定义域关于坐标原点对称，
且，
所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，故A项正确；
由，得，则．
恒成立，所以在上单调递增，并不是在R上单调递增，故B项错误；
由，得函数的定义域是，故C项正确；
设，当时，，
此时，，根据对勾函数的单调性，在上单调递减，
，故D项错误.
故选：AC．
12．设，又是一个常数，已知或时，只有一个实根，当时，有三个相异实根，则下列命题正确的是（
）
A．和有一个相同的实根；
B．和有一个相同的实根；
C．的任一实根大于的任一实根；
D．的任一实根小于的任一实根．
【答案】ABD
【解析】根据三次函数的性质确定出0和4是函数的极小值和极大值，再结合导数与极值的关系判断各选项．
【解答】由题意函数的极大值是4，极小值是0，极大值点和极小值点导数值均为0，AB都正确；
由于的系数是正数1，因此函数的单调性从左向右是先增后减再增，图象大致如图所示，
因此解必小于的解，C错；
的任一实根小于的解，D正确．
故选：ABD．
三、填空题
13．直线与函数(为自然对数的底数)的图象相切于点，则___________.
【答案】
【解析】求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程，可得的方程，两边取自然对数，计算可得所求值．
【解答】的导数为，
由已知可得，，
即，可得，
两边取自然对数可得，
整理可得，
故答案为：．
14．已知函数，则______．
【答案】12
【解析】由导数的定义计算即可.
【解答】
故答案为：12
15．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l，底面半径为r，上部为半径为r的半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r的值为___________.
【答案】
【解析】根据已知条件先表示出容器的表面积，然后根据容器的体积，得到之间的等量关系，由此将表面积表示为关于半径的函数，利用导数的思想分析出的最小值，即可求解出建造费用最小时半径的值.
【解答】设容器的表面积为，所以，
又因为，所以且，所以且，
所以，所以，令，，
当，，当，，
所以当时，有最小值，由题设可知：表面积最小时，建造费用最小，所以，
故答案为：.
【点评】思路点睛：利用导数解决实际应用问题的一般步骤：
（1）先分析问题中各个变量之间的关系；
（2）依据问题建立合适函数模型，并确定函数的定义域；
（3）利用导数分析函数的单调性、极值等性质，以达到解决问题的目的.
16．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，然后得出或，解这两个不等式组即可得解.
【解答】构造函数，则，即函数在上为增函数，
且.
①当时，由可得，即，
即，可得，解得，此时；
②当时，由可得，即.
即，可得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
故答案为：.
【点评】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下：
（1）根据导数不等式的结构构造原函数；
（2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性；
（3）将所求不等式变形为或（偶函数）；
（4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解.
四、解答题
17．已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；
（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.
【解答】（1），
令，得，所以的减区间为.
（2）由（1），令，得或知：，为增函数，
，为减函数，，为增函数.
，，，.
所以在区间上的最大值为，最小值为.
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.
18．已知函数为单调递增函数，求实数的取值范围．
【答案】.
【解析】求出函数的导数，根据可得实数的取值范围.
【解答】由已知得，
因为在上是单调增函数，
所以在上恒成立，
即对恒成立，因为，所以只需.
19．某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足．已知第x月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是
（1）写出2013年第x月份的旅游人数(单位：人)与x的函数关系式；
（2）试问2013年第几月份旅游消费总额最大，最大月份旅游消费总额为多少万元？
【答案】（1）（且）；
（2）第5月份旅游消费总额最大，消费总额为万元.
【解析】（1）根据所给的前个月的旅游人数的和，可得得到第个月的旅游人数，注意验证第一个月的旅游人数是否符合题意，即可求解；
（2）根据所给的表示，写出第月旅游消费总额，得到一个分段函数，求出分段函数的最大值，把两个最大值进行比较，即可求解.
【解答】（1）由题意，当，可得，
当且时，
则，
验证时，符合，
所以第x月的旅游人数与x的关系式：（且）.
（2）由题意，第个月的旅游消费总额为，
即，且，
当时，函数，可得，
令，即，解得或（舍去），
所以当时，；当时，，
所以当时，函数取得最大值，最大值为（万元），
当时，为单调递减函数，
所以当时，取得最大值，最大值为（万元），
综上可得，2013年第5月份旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为万元.
20．已知函数(为实数).
（1）若，求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用导数直接求出函数的单调区间，即可求出的最小值
（2）若恒成立，则，即恒成立，令，利用导数研究函数单调性，进而得最值，可得实数a取值的范围即可
【解答】（1）当时，，.
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则函数的最小值为.
（2）由题得，若恒成立，则，即恒成立.
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，
故的取值范围为.
21．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是；（2）.
【解析】（1）求导函数，令导函数大于零，解不等式得解.
（2）构造新函数，判断新函数的单调性，由单调性建立符合满足题设的不等式，进而可得参数范围.
【解答】（1）函数在定义域是.
因为，
令，又，得，
所以函数的单调递增区间是
（2）由，得
令
则
由，得，
由，得，
所以函数在内单调递减，在内单调递增，
由题可知方程在区间内恰有2个相异的实根，
则，即，
由
解得，
综上所述，实数a取值范围是.
【点评】思路点睛：方程根的个数转化为函数单调性探究，以及最值的符号讨论.
22．已知函数(e是自然对数的底数).
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在极值，极小值为0，不存在极大值.
【解析】（1）利用导数求斜率，结合点斜式求得切线方程；
（2）解方程，得x=0，列表格判断是否有极值即可求解．
【解答】（1）由题可得，所以，又由题可得，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由（1）知，令，得x=0，
当x变化时，的符号变化情况及的单调性如下表所示：
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
－
0
＋
减函数
极小值f(0)
增函数
由上表可知：函数存在极小值，且极小值为，不存在极大值．
【点评】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是，且在x0左侧与右侧的符号不同；
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
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