全册综合测试-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．已知函数在处取得极值，则（
）
A．4
B．3
C．2
D．
2．已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（
）
A．
B．
C．
D．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝（
）
A．16
B．20
C．24
D．26
4．由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
5．下列函数的求导正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（
）
A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间上的极小值点
10．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（
）
A．a1＝1
B．d＝－
C．a2＋a12＝10
D．S10＝40
11．下列命题中是真命题有（
）
A．若，则是函数的极值点
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．函数在处的切线方程为，则当时，
D．若函数的导数，且，则不等式的解集是
12．直线可以作为下列函数图象的切线的有（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知是公差为的等差数列，若，则________．
14．设是的导函数，写出一个满足在定义域上恒成立的函数的解析式：___________.
15．已知数列的前n项和公式，则其通项公式________.
16．已知是函数的导函数，，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为________．
四、解答题
17．求与曲线y=f(x)=在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程.
18．（1）在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
（2）已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
19．已知函数f(x)＝x+alnx+1．
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．
20．设函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值．
21．已知函数，其中为常数.
（1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求值；
（2）若存在极大值点，求的取值范围，并比较与的大小.
22．已知等差数列满足，数列的前项和为，满足.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求.
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一、单选题
1．已知函数在处取得极值，则（
）
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】B
【解析】依题意，即可求出参数的值；
【解答】解:因为，所以，由条件知，是方程的实数根，．所以，，令，解得或，即在和上单调递增，令，解得，即在上单调递减，故在取得极大值，满足条件；
故选：B
2．已知等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据等差数列前项和公式列方程求得与公差，即可求通项公式.
【解答】设公差为，依题意得
解得
所以
故选：C
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝（
）
A．16
B．20
C．24
D．26
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的公差为d，结合等差数列通项公式和求和公式，代入所给条件，解方程即可得解.
【解答】设等差数列{an}的公差为d.
∵a1＋a2＋a3＝a4＋a5，
∴3a1＋3d＝2a1＋7d，
∴a1＝4d.
又∵S5＝5a1＋10d＝30d＝60，
∴d＝2，∴a1＝8.
∴a5＝a1＋4d＝16.
故选：A
4．由首项a1＝1，公比q＝2确定的等比数列{an}中，当an＝64时，序号n等于（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】D
【解析】根据等比数列通项公式可得2n－1＝64，即可求得答案.
【解答】因为数列{an}为等比数列，
所以an＝a1·qn－1＝2n－1＝64，解得n＝7.
故选：D
5．下列函数的求导正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据常见初等函数的求导函数的公式可得选项．
【解答】对于A：，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，故C不正确；
对于D：，故D正确，
故选：D．
6．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
根据时，和函数是奇函数，得到单调性求解.
【解答】令
，则，
因为时，，
则
，
所以在
上递减，
又因为函数是奇函数，
所以在上递减，
又，则，
所以成立的的取值范围是，
故选：B
7．在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造，求导得，知在上为增函数，进而由即可判断.
【解答】令，则，
因为在上的导函数为，所以在上，
即在上为增函数.
所以，即.
故选：A.
8．若函数在上单调递增，则实数t的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设，函数区间单调性有，即在恒成立，根据的区间最值求t的范围.
【解答】由题意知：在恒成立，
∴在恒成立，而在递减，则，
∴即可.
故选：D.
二、多选题
9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（
）
A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间上的极小值点
【答案】AC
【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.
【解答】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
10．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（
）
A．a1＝1
B．d＝－
C．a2＋a12＝10
D．S10＝40
【答案】ACD
【解析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.
【解答】设数列{an}的公差为d，
则由已知得S7＝，
即21＝，解得a1＝1.
又a7＝a1＋6d，所以d＝.
所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.
由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.
故选：ACD
11．下列命题中是真命题有（
）
A．若，则是函数的极值点
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．函数在处的切线方程为，则当时，
D．若函数的导数，且，则不等式的解集是
【答案】BD
【解析】结合导数的计算以及导数的几何意义直接判断即可.
【解答】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；
B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；
C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；
D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；
故选：BD.
12．直线可以作为下列函数图象的切线的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】根据导数的几何意义，判断选项中的导数是否有解，即可判断选项.
【解答】因为的斜率为1，根据导数的几何意义，判断选项中的导数值能否为1.
A.，无解，故A不正确；
B.，解得：，故B正确；
C.，即，，无解，故C不正确；
D.，解得：，故D正确.
故选：BD
三、填空题
13．已知是公差为的等差数列，若，则________．
【答案】
【解析】利用等差数列的下标和性质以及通项公式代入计算，可求解得公差.
【解答】因为，得，即，.
故答案为：.
14．设是的导函数，写出一个满足在定义域上恒成立的函数的解析式：___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设函数，求得，得到，符合题意.
【解答】由题意，设函数，可得，
令恒成立，
即函数，符合题意.
故答案为：.
15．已知数列的前n项和公式，则其通项公式________.
【答案】.
【解析】利用关系式，当时，，当时，，即可求解.
【解答】由题意，数列{an}的前n项和公式
当时，，
又由当时，，
所以数列的通项公式为.
故答案为：
16．已知是函数的导函数，，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为________．
【答案】
【解析】构造函数，根据已知判断其导数正负，利用单调性求解.
【解答】设，
，
在R上单调递增，
由，
即，
，
，
故答案为：
【点评】关键点点睛：构造恰当的函数，利用其单调性解不等式，是解题的关键，属于中档题.
四、解答题
17．求与曲线y=f(x)=在点P(8，4)处的切线垂直，且过点(4，8)的直线方程.
【答案】3x+y-20=0
【解析】先求导数得切线斜率，由垂直关系可得直线斜率，由点斜式可得解.
【解答】因为y=，所以y′=()′=()′=，
所以，即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为.
所以所求直线的斜率为-3，从而所求直线方程为y-8=-3(x-4)，即3x+y-20=0.
18．（1）在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
（2）已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
【答案】（1），；（2）24.
【解析】（1）由题意得从而可求出首项a1与公差d；
（2）由题意得求出首项a1与公差d，从而可求出a75.
【解答】(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵a5＝10，a12＝31，则
解得
∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.
(2) 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由题意得解得
故.
19．已知函数f(x)＝x+alnx+1．
（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）若f(x)在[1，e]上的最小值为－a+1，求实数a的值．
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，f(x)有极小值为，无极大值；（2）a＝－1．
【解析】（1）求出导函数，通过当，a＜0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性求解函数的极值即可.
（2）求出导函数，求解极值点，通过①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，推出的值；②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，类似①求解判断即可；③若－e
【解答】解：（1）函数f(x)的定义域为
当时，＞0恒成立，f(x)在上单调递增，无极值；
当a＜0时，令＞0，解得x＞－a，令＜0，解得x＜－a，
所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，
此时f(x)有极小值，无极大值；
（2），x∈[1，e]，由＝0得x＝－a，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f（1）＝－a+1，即2＝－a+1，则a＝－1，符合条件．
②若a≤－e，则x＋a≤0，即≤0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上为减函数，∴f(x)min＝f(e)＝－a+1，即e＋a＋1＝－a+1，则a＝，不符合条件．
③若－e当1当－a0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝﹣a+1，即－a+aln(－a)＋1＝﹣a+1，
则a＝0或a＝－1，均不符合条件．
综上所述，a＝－1．
20．设函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值．
【答案】(1)
x
+y=0；(2)
的极大值为，极小值为.
【解析】(1)对求导得，求出，由直线点斜式方程写出切线方程即得；
(2)求出方程＝0的根，并讨论大于或小于0的x取值区间，由此判断极值情况，再求解而得.
【解答】(1)由得，，
过点(0,0)，斜率为-1的直线为y=-x，
所以函数在处的切线方程为x
+y=0；
(2)由(1)知，＝0时，，
或时，时，，
所以x=-1时，取得极大值，x=ln2时，取得极小值，
故的极大值为，极小值为.
【点评】可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同.
21．已知函数，其中为常数.
（1）若曲线在处的切线在轴上的截距为，求值；
（2）若存在极大值点，求的取值范围，并比较与的大小.
【答案】（1）；（2）的取值范围是，.
【解析】（1）求导得，求解出和，根据导数的几何意义写出切线方程，再利用切线在轴上的截距为，得；
（2）求导，设，由题意可判断得是函数在区间内的一个变号零点，列不等式组求解的取值范围，表示出，设函数，求导判断单调性，从而得，即可判断得.
【解答】解：（1），所以.
又，所以切线方程为，即.
由已知，，解得.
（2），设函数，
所以函数的减区间为，增区间为，
因为是极大值点，所以在的左右两侧，的值先正后负，
即
的值也是先正后负，故，所以是函数在区间内的一个变号零点.
于是.
解得，故所求的取值范围是.
因为是的极大值点，所以，于是，其中.
所以.
设函数，则.
所以在区间内单调递减，故.
又，所以，且，于是，
故.
【点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
22．已知等差数列满足，数列的前项和为，满足.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设公差为，由已知列式即可求出首项和公差，得出通项公式，利用可得为等比数列，即可求出通项公式；
（2）利用错位相减法可求出.
【解答】（1）设数列的公差为d，则，解得，
所以，
对于数列，当时，，所以.
当时，由，即，
故{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
（2）①
②
①-②得，
，
.
【点评】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
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