数列（1）-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．等比数列的前项和为，且，，成等差数列.若，则（
）
A．15
B．7
C．8
D．16
2．设数列的前项和为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
3．在等比数列中，，则（
）
A．3
B．27
C．
D．243
4．等差数列的首项为，，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（
）
A．30
B．62
C．64
D．126
6．若数列的通项公式是，则=（
）
A．
B．
C．15
D．30
7．已知为等比数列，若、是方程的两根，则（
）.
A．
B．
C．
D．以上都不对
8．对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．设等差数列的前项和为．若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知在数列中，，其前项和为，下列说法正确的是（
）
A．若为等差数列，，则
B．若为等比数列，，则
C．若为等差数列，则
D．若为等比数列，则
11．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．与均为的最大值
12．已知无穷数列满足，其中为常数，，则下列说法中正确的有（
）
A．若，则是等差数列
B．若是等差数列，则
C．若，，，则是等比数列
D．若是等比数列，则，，
三、填空题
13．已知是首项为1的等比数列，若，，成等差数列，则_______.
14．若2?a?b?c?8成等差数列，则___________.
15．“十二平均律”又称“十二等程律”是世界上通用的一组音(八度)分成12个半音音程的律制，是在16世纪由明朝皇族世子朱载堉(1536年-1611年)发现的，具体是指一个八度有13个音，每相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的频率的2倍，设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则___________.
16．已知定义在上的奇函数满足，，为数列的前项和，且，_________.
四、解答题
17．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
18．已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
19．已知等差数列满足，数列是以为首项，公差为的等差数列.
（1）求和;
（2）若，求数列的前项和.
20．设数列满足，且，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
21．张先生2018年年底购买了一辆排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了
2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.
（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？
（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：，，）?
22．设数列满足，其中.
（1）证明：是等比数列；
（2）令，设数列的前项和为，求使成立的最大自然数的值.
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)数列（1）-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．等比数列的前项和为，且，，成等差数列.若，则（
）
A．15
B．7
C．8
D．16
【答案】B
【解析】根据已知条件求得公比，由此求得.
【解答】设等比数列的公比为，
由于，，成等差数列，所以，
即，，，
所以.
故选：B
2．设数列的前项和为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】利用公式进行求解即可.
【解答】由于数列的前项和，
所以，，
所以.
故选：A
3．在等比数列中，，则（
）
A．3
B．27
C．
D．243
【答案】A
【解析】根据等比数列性质直接求解.
【解答】，
故选：A
【点评】本题考查等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．等差数列的首项为，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先利用题目条件解出数列的公差，然后求解出.
【解答】设数列的公差为，
由得，，
则，
所以.
故选：B.
【点评】本题考查等差数列的通项公式及简单应用，属于简单题，只需按照公式直接计算即可.
5．衡量病毒传播能力的一个重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然情况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫），一个感染某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是：确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，某种传染病确诊病例的平均增长率为25%，两例连续病例的间隔时间的平均数为4天，根据以上数据计算，若甲得这种传染病，则经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（
）
A．30
B．62
C．64
D．126
【答案】D
【解析】根据确诊病例增长率系列间隔，先求得，即公比，然后利用等比数列的前n项和公式求解
【解答】由题意得：
所以经过6轮传播后由甲引起的得病的总人数约为：
，
故选：D
6．若数列的通项公式是，则=（
）
A．
B．
C．15
D．30
【答案】D
【解析】利用通项公式写出各项，观察规律进行并项求和即得结果.
【解答】因为，所以.
故选：D.
7．已知为等比数列，若、是方程的两根，则（
）.
A．
B．
C．
D．以上都不对
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，可知、、同号，利用韦达定理结合等比中项的性质可求得的值.
【解答】设等比数列的公比为，则，，则、、同号，
、是方程的两根，，，
和均为负数，
由等比数列的性质可得，又、同号，.
故选：C.
【点评】易错点点睛：本题考查等比中项的求解，计算时要注意、同号，同时要结合韦达定理进行求解.
8．对于数列，定义为数列的“美值”，现在已知某数列的“美值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由，可得进而求得
，所以可得是等差数列，由可得，，即可求解
【解答】由可得，
当时，
又因为，
两式相减可得：，
所以，
所以，
可得数列是等差数列，
由对任意的恒成立，
可得：，，
即且，
解得：，所以实数的取值范围是，
故选：C
【点评】关键点点睛：本题解题的关键点是由已知条件得出再写一式可求得，等差数列前项和最大等价于，，
二、多选题
9．设等差数列的前项和为．若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式
【解答】解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
，
故选：BC
10．已知在数列中，，其前项和为，下列说法正确的是（
）
A．若为等差数列，，则
B．若为等比数列，，则
C．若为等差数列，则
D．若为等比数列，则
【答案】AC
【解析】求出等差数列公差，利用等差数列的求和公式可求得的值，可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；利用平方差公式可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误.
【解答】对于A选项，设等差数列的公差为，由已知条件可得，解得，
所以，，A选项正确；
对于B选项，设等比数列的公比为，则，
由等比中项的性质可得，，B选项错误；
对于C选项，设等差数列的公差为，
则，C选项正确；
对于D选项，若等比数列的公比，则，，
此时，，D选项错误.
故选：AC.
11．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．与均为的最大值
【答案】BD
【解析】根据题意，由等差数列的性质分析选项，综合即可得答案．
【解答】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A错误；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：BD.
12．已知无穷数列满足，其中为常数，，则下列说法中正确的有（
）
A．若，则是等差数列
B．若是等差数列，则
C．若，，，则是等比数列
D．若是等比数列，则，，
【答案】AC
【解析】根据等差数列定义判断AB．由等比数列的定义判断CD．其中判断C时，可用数学归纳法证明数列是等比数列．
【解答】A．时，，，是等差数列，A正确；
B．若，则可取任何不等于的值，都满足，B错误，这个例子也说明D错误；
若，
，，
，，
假设，则成立，
由数学归纳法知对的所有自然数都成立，，所以是等比数列，C正确．
故选：AC．
【点评】思路点睛：本题考查等差数列与等比数列的判断．解题关键是确定判断各选项时需要判断的命题是什么．A是由已知的值结合证明数列是等差数列，C是由，，结合，求出后讲明这是等比数列即可，B是由数列是等差数列，结合去求解值，看是不是有，D也类似，因此选项BD我们可用一个非0的常数列检验为何值即可得．
三、填空题
13．已知是首项为1的等比数列，若，，成等差数列，则_______.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，可得，由此即可求出，进而求出结果.
【解答】设等比数列的公比为；
∵，，成等差数列，
∴，
∴，
∴
，
所以是以首项为1，公比为的等比数列；
∴.
故答案为：.
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式和等差中项的应用，属于基础题.
14．若2?a?b?c?8成等差数列，则___________.
【答案】
【解析】先求出公差，再求出a?c即可.
【解答】2?a?b?c?8成等差数列,所以，所以,,
所以，
故答案为：
【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题.
15．“十二平均律”又称“十二等程律”是世界上通用的一组音(八度)分成12个半音音程的律制，是在16世纪由明朝皇族世子朱载堉(1536年-1611年)发现的，具体是指一个八度有13个音，每相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的频率的2倍，设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则___________.
【答案】
【解析】利用等比数列的基本量运算可得出的值．
【解答】由题意知13个音的频率成等比数列，设公比为则，所以
故答案为：
16．已知定义在上的奇函数满足，，为数列的前项和，且，_________.
【答案】
【解析】利用题中条件可推出函数是以为周期的周期函数，由可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出、的值，再利用周期性和奇函数的性质求出的值.
【解答】对任意的，，当时，，得；
当时，由得，
上述两式相减得，整理得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，.
，，由于函数为奇函数，
，，
则函数是以为周期的周期函数，，
，因此，，故答案为.
【点评】本题考查函数周期性与奇偶性求值，同时也考查了利用前项和公式求数列的通项，考查运算求解能力，属于中等题.
四、解答题
17．在正项等比数列中，，且，的等差中项为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和为．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设出公比，根据条件列方程组求解即可；
（2）分组，利用等差等比的求和公式求和.
【解答】解（1）设正项等比数列的公比为，
由题意可得，解得．
数列的通项公式为；
（2）.
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差，等比数列求和公式，是基础题.
18．已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.
【解答】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，所以；
（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，
所以数列的前n项和.
19．已知等差数列满足，数列是以为首项，公差为的等差数列.
（1）求和;
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；；（2）.
【解析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解.
（2）利用错位相减法即可求解.
【解答】（1）依题意，
，
数列是以为首项，公差为的等差数列，
，即
（2）由（1）得
，①
，②
①-②得
20．设数列满足，且，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由,变形为，即可证明；（2）由等比数列的通项公式可得，
于是，因此
，再利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（1）因为，
所以，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）因为是首项为，
公比为3的等比数列.
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以.
21．张先生2018年年底购买了一辆排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了
2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.
（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年增加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？
（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：，，）?
【答案】（1）55吨；（2）15年
【解析】（1）分析出小轿车排出的二氧化碳的吨数构成等差数列，利用等差数列求和公式求和即可；（2）分析出林木吸收二氧化碳的吨数构成等比数列，根据题意利用等比数列求和公式列出不等式，再利用参考数据求出n的范围即可得解.
【解答】（1）设第年小轿车排出的二氧化碳的吨数为，
则，，，…，
显然其构成首项为，公差为的等差数列，
记其前项和为，则，
所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.
（2）记第年林木吸收二氧化碳的吨数为，
则，，，…，
显然其构成首项为，公比为的等比数列，
记其前项和为，
由题意，有，解得.
所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.
【点评】本题考查数列的应用、等差数列求和公式、等比数列求和公式，属于基础题.
22．设数列满足，其中.
（1）证明：是等比数列；
（2）令，设数列的前项和为，求使成立的最大自然数的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）最大自然数.
【解析】（1）根据题中条件，可得的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得，则可得，根据错位相减求和法，可求得的表达式，根据的单调性，代入数值，分析即可得答案.
【解答】解：（1）∵，
∴
即，
∴是首项为，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，，
即，
∴，
，①
，②
①减②得
.
∴.
∴，
∴.单调递增.
∵，
.
故使成立的最大自然数.
【点评】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握.
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