数列（2）-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】利用等比数列的通项公式与求和公式可求得的值.
【解答】由题意可得.
故选：D.
2．若等差数列的前项和为且则其公差（
）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】C
【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式列出关于首项与公差的方程组求解即可.
【解答】因为等差数列的前项和为且
由，
解得，
故选：C.
3．若数列成等比数列，则实数b的值为（
）
A．－3
B．3
C．±3
D．不能确定
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式，求得，进而求得的值.
【解答】因为数列成等比数列，设等比数列的公比为，
则，解得，
所以.
故选：A.
4．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝（
）
A．8
B．12
C．16
D．24
【答案】C
【解析】由已知条件可得求出，从而可求出
【解答】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得
解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.
故选：C.
5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（
）
A．1.5尺
B．2.5尺
C．3.5尺
D．4.5尺
【答案】C
【解析】设冬至日影长，公差为，结合等差数列通项及前n项和公式，结合题设列方程组求、，进而求小满日影长.
【解答】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，
∴，解得，，
∴小满日影长为（尺）.
故选：C.
6．在数列中，已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造数列为等比数列，求得其通项公式，进而可得.
【解答】由，
得，
故数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，，
故选：B.
7．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由等差数列的，及得数列是递减的数列，因此可确定，然后利用等差数列的性质求前项和，确定和的正负．
【解答】∵，∴和异号，
又数列是等差数列，首项，∴是递减的数列，，
由，所以，
，
∴满足的最大自然数为4040．
故选：B．
【点评】关键点睛：本题求满足的最大正整数的值，关键就是求出，时成立的的值，解题时应充分利用等差数列下标和的性质求解,属于中档题.
8．在数列中，已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由递推公式取倒数得到是等差数列，先求，再求.
【解答】∵，∴，即
∴是以公差的等差数列.
∴，∴
故选:B
【点评】求数列通项公式的方法：
（1）公式法；（2）累加（乘）法；（3）由递推公式求通项公式；（4）由求.
二、多选题
9．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（
）
A．8
B．12
C．－8
D．－12
【答案】AC
【解析】求出等比数列的公比，再利用通项公式即可得答案；
【解答】，
当时，，
当时，，
故选：AC.
【点评】本题考查等比数列通项公式的运算，考查运算求解能力，属于基础题.
10．设等差数列的前项和为．若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式
【解答】解：设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以，
，
故选：BC
11．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（
）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
【答案】AD
【解析】对A，由判别式即可判断；对B，先利用韦达定理得出，再利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解；对C，先利用韦达定理得到，再根据等比数列的性质即可求解；对D，利用基本不等式即可求出的最小值.
【解答】解：对A，有两个根，
，
解得：或，故A正确；
对B，若数列为等差数列，
和是关于的一元二次方程的两个根，
，
则，故B错误；
对C，若数列为等比数列且，由韦达定理得：，
可得：，，
，
由等比数列的性质得：，
即，故C错误；
对D，由C可知：，且，，
，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选AD.
12．在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根据“阶梯数列”的性质，结合题中条件，确定数列以为周期，进而可求出结果.
【解答】因为为“阶梯数列”，由可得，，，，，…，
观察可得，，，
即数列以为周期，
又，，所以，即，
综上，，，，
故A正确，B错；
，即C正确；
，即D正确.
故选：ACD.
【点评】思路点睛：
求解数列新定义的问题时，一般需要根据新定义的概念，推出数列的性质（如周期性、增减性等），再结合题中所给条件，进行求解即可.
三、填空题
13．已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.
【答案】
【解析】根据等差和等比中项的定义求出得值，即可求解.
【解答】因为是的等差中项，所以，
因为是，的等比中项，所以，
，所以.
故答案为：.
14．已知等比数列的各项均为正数，且，则________．
【答案】
【解析】利用等比中项和对数的运算性质可求得结果.
【解答】因为等比数列的各项均为正数，且，
所以，.
故答案为：.
15．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
【答案】23.2
【解析】根据出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元，构成一个等差数列{an}求解.
【解答】因为出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元，
所以车费构成一个等差数列{an}，a1＝11.2，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
所以需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)
故答案为：23.2
16．已知数列满足，．数列的通项公式是______．
【答案】
【解析】由，得到，两式作差，得到，整理得到，累乘求得，结合的条件，以及，得到数列的通项公式.
【解答】，
当时，
当时，
，
两式相减得：，即，
，
，
，
，
累乘得：，所以，
，
故答案为：.
【点评】关键点点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解，利用题中所给的条件，类比得出相应的式子，两式相减，得到相邻两项之间的关系，解题的关键点是要时刻关注着的条件.
四、解答题
17．在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
【答案】（1）-96;(2)
【解析】（1）由等比数列的通项求解；（2）先求出等比数列的公比q,再求数列的通项.
【解答】（1）由题得；
（2）由已知得，，所以，
所以.
【点评】本题主要考查等比数列的通项基本量的计算和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，求a20的值
【答案】1
【解析】利用等差数列通项公式，等差中项性质，求出，再求a20的值.
【解答】∵a1+a3+a5=105，∴3a3=105，
解得a3=35，同理由a2+a4+a6=99，得a4=33
∵d=a4-a3=33-35=-2，
∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.
19．已知等差数列和等比数列的首项均为，的前项和为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题中条件列出方程组求解，
得出公差和公比，进而可得通项公式；
（2）由（1）先得到，利用错位相减法，即可求出结果.
【解答】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为其首项均为，且，，
所以，解得，
所以，；
（2）设，
所以①，
则②，
①②得：，
因此.
【点评】思路点睛：
错位相减法求数列前项和的一般步骤：
（1）根据数列通项公式，列出数列的前项和；
（2）在前项和的基础上，两边同时乘以公比，得到新的式子；
（3）两式作差，化简整理，即可得出结果.
20．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4．
（1）求a1的值．
（2）若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
【答案】（1）a1＝3；（2）证明见解析．
【解析】（1）由n＝1代入Sn＝2an＋n－4求得；
（2）先由Sn＝2an＋n－4，利用Sn和an的关系得{an}的递推关系，然后构造出数列{an－1}利用定义证明．
【解答】（1）因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n＝1时，S1＝2a1＋1－4，解得a1＝3．
（2）证明：因为Sn＝2an＋n－4，
所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋(n－1)－4，
Sn－Sn－1＝(2an＋n－4)－(2an－1＋n－5)，即an＝2an－1－1，
所以an－1＝2(an－1－1)，
又bn＝an－1，所以bn＝2bn－1，
且b1＝a1－1＝2≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，2为公比的等比数列．
21．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？付清全部贷款后，买这件家电实际花费多少钱？
【答案】分期付款的第10个月该交付55．5元，付清全部贷款后，买这件家电实际花费1255元．
【解析】根据购买家电时支付150元，欠款为1000元，每月付50元，则需20次付清，第一次付款为，第二次付款为，……，依次类推得到是以60为首项，-0．5为公差的等差数列求解.
【解答】因为购买家电时支付150元，则欠款为1000元，每月付50元，则需20次付清，
设每次交款数额依次构成数列，则，
，……，
，即第10个月应付款55．5元．
依次类推可知，是以60为首项，-0．5为公差的等差数列，
所以，
全部付清后实际付款1105+150=1255（元）．
所以分期付款的第10个月该交付55．5元，付清全部贷款后，买这件家电实际花费1255元．
22．已知数列为“二阶等差数列”，即当时，数列为等差数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最大值
【答案】（1）；（2）157
【解析】（1）根据定义求出，，从而可得公差，再得后可得通项；
（2）由采取累加法可求得，结合二次函数性质可得最大值．
【解答】（1）由定义知：，，，；
得，；
设数列的公差为d，，
即得，，
数列的通项公式为；
（2）由于：，，，，…，，
累加可得：
，
由于二次函数在时取得最大值，
所以数列得最大值为.
【点评】本题考查数列新定义“二阶等差数列”，解题关键是理解新定义，问题转化为等差数列是解题关键．
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)数列（2）-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．设等比数列的公比，前项和为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．若等差数列的前项和为且则其公差（
）
A．1
B．
C．2
D．3
3．若数列成等比数列，则实数b的值为（
）
A．－3
B．3
C．±3
D．不能确定
4．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝（
）
A．8
B．12
C．16
D．24
5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（
）
A．1.5尺
B．2.5尺
C．3.5尺
D．4.5尺
6．在数列中，已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．若等差数列的前项和为，首项，，，则满足成立的最大正整数是（
）
A．
B．
C．
D．
8．在数列中，已知，，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（
）
A．8
B．12
C．－8
D．－12
10．设等差数列的前项和为．若，，则（
）
A．
B．
C．
D．
11．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（
）
A．实数的取值范围是或
B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为
C．若数列为等比数列且，则
D．若数列为等比数列且，则的最小值为4
12．在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知是的等差中项，是，的等比中项，则等于___________.
14．已知等比数列的各项均为正数，且，则________．
15．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．
16．已知数列满足，．数列的通项公式是______．
四、解答题
17．在等比数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求．
18．已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，求a20的值
19．已知等差数列和等比数列的首项均为，的前项和为，且，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和.
20．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋n－4．
（1）求a1的值．
（2）若bn＝an－1，试证明数列{bn}为等比数列．
21．某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%．若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？付清全部贷款后，买这件家电实际花费多少钱？
22．已知数列为“二阶等差数列”，即当时，数列为等差数列，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最大值
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