导数及其应用（1）-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数在处取得极值，则（
）
A．4
B．3
C．2
D．
3．函数在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是（
）
A．
B．1
C．
D．
5．某物体的运动方程为，则该物体在时间上的平均速度为（
）
A．
B．2
C．
D．6
6．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数在上是单调递增函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．设是奇函数的导函数，，当时，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（
）
A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间上的极小值点
10．（多选题）下列求导运算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．下列命题中是真命题有（
）
A．若，则是函数的极值点
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．函数在处的切线方程为，则当时，
D．若函数的导数，且，则不等式的解集是
12．下列命题正确的有（
）
A．当时，函数恰有三个零点
B．当时，函数恰有两个极值点
C．的极大值和极小值的和为
D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
三、填空题
13．写出导函数是的一个函数为______．
14．若商品的年利润（万元）与年产量（百万件）的函数关系式为，则获得最大利润时的年产量为________百万件．
15．已知函数在处有极小值，则实数的值为________．
16．已知函数.当时，的增区间为___________；若有两个零点，则实数的取值范围为___________.
四、解答题
17．已知函数，讨论的单调性．
18．求曲线在点处的切线方程.
19．求下列函数的导数．
①；
②；
③；
④；
20．已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间和极值.
21．已知函数，，函数在处与直线相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在上的单调性．
22．已知函数，且在点处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围.
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)导数及其应用（1）-人教B版2019选择性必修第三册满分培优
一、单选题
1．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y＝f(x)的图像是（
）
A．B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据与的变化趋势结合导数的几何意义判断即可；
【解答】解：不妨设A固定，B从A点出发绕圆周旋转一周，刚开始时x很小，即弧AB长度很小，这时给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量非常小，即弓形面积的变化较慢；
当弦AB接近于圆的直径时，同样给x一个改变量，那么弧AB与弦AB所围成的弓形面积的改变量将较大，即弓形面积的变化较快；
从直径的位置开始，随着B点的继续旋转，弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．
由上可知函数y＝f(x)的图像应该是首先比较平缓，然后变得比较陡峭，最后又变得比较平缓，对比各选项知D正确．
故选：D．
2．已知函数在处取得极值，则（
）
A．4
B．3
C．2
D．
【答案】B
【解析】依题意，即可求出参数的值；
【解答】解:因为，所以，由条件知，是方程的实数根，．所以，，令，解得或，即在和上单调递增，令，解得，即在上单调递减，故在取得极大值，满足条件；
故选：B
3．函数在处的切线方程为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先求导，求出切线的斜率，再利用直线方程的点斜式求解.
【解答】由可得，
则，，
故切线方程为，即.
故选：A
【点评】方法点睛：函数在点处的切线方程为.
4．已知函数，则曲线在点处的切线的斜率是（
）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】直接利用导数求切线斜率即可.
【解答】设切线的斜率为，由，则，则有.
故选：D.
5．某物体的运动方程为，则该物体在时间上的平均速度为（
）
A．
B．2
C．
D．6
【答案】A
【解析】根据平均速度公式可得答案.
【解答】平均速度为.
故选：A.
6．已知函数在，上为增函数，在上为减函数，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围
【解答】解：由，得，
因为在，上为增函数，在上为减函数，
所以两个根分别位于和上，
所以，即，
解得，
故选：A
7．已知函数在上是单调递增函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意可得对于恒成立，结合二次函数的图象即可求解.
【解答】由题意可得:
对于恒成立，
由二次函数的性质可得：，
即，解得：，
所以的取值范围是：，
故选：B.
8．设是奇函数的导函数，，当时，则使得成立的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令，可得，当时，有，可得，即函数在上单调递增．又是上的奇函数，可得函数为奇函数，又，可得，，再分类讨论即可解出不等式．
【解答】解：令，则，
当时，有，即，，
即函数在上单调递增．
又是上的奇函数，，
，
故函数为奇函数，
由奇函数的对称性可得在上单调递增．
又，，
，．
所以当时，当时，当时，当时，
由可得，，
即要使成立，只需成立；
所以的解集为
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、数形结合方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，解答的关键是构造函数．
二、多选题
9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（
）
A．在上函数为增函数
B．在上函数为增函数
C．在上函数有极大值
D．是函数在区间上的极小值点
【答案】AC
【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.
【解答】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间上，有极大值为，C选项正确.
在区间上，是的极小值点，D选项错误.
故选：AC
10．（多选题）下列求导运算错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】运用基本初等函数的导数公式进行判断即可.
【解答】因为，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C正确；
因为，所以D不正确．
故选：ABD
11．下列命题中是真命题有（
）
A．若，则是函数的极值点
B．函数的切线与函数可以有两个公共点
C．函数在处的切线方程为，则当时，
D．若函数的导数，且，则不等式的解集是
【答案】BD
【解析】结合导数的计算以及导数的几何意义直接判断即可.
【解答】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误；
B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确；
C：根据导数的定义可知，，即，，故错误；
D：令，则有，，故的解集是，故的解集是，正确；
故选：BD.
12．下列命题正确的有（
）
A．当时，函数恰有三个零点
B．当时，函数恰有两个极值点
C．的极大值和极小值的和为
D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
【答案】BCD
【解析】A．根据判断出的单调性，由此可判断出零点的情况；
B．令，先分析的单调性及其取值，由此确定出的单调性以及取值正负情况，由此确定出的单调性以及取值正负情况，则极值点个数可确定；
C．分析导函数的，设极值点为，利用因式分解的方法并结合极值点满足的韦达定理形式求解出极大值和极小值的和；
D．将问题转化为“有两个零点”，结合的取值特点，列出关于的不等式组，由此求解出的取值范围.
【解答】A．因为，所以，所以在上单调递增，
所以至多有个零点，故错误；
B．因为，所以
，
设，所以，所以，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增；
又，，所以当时，使得，
即当时，，当时，，所以是的极小值点；
又，所以为偶函数，所以使得，
即当时，，当时，，所以是的极大值点，
所以恰有两个极值点，故正确；
C．因为，所以，
所以有两个极值点，不妨设为，所以，
所以
，
所以，故正确；
D．设，因为与有三个交点，
所以方程有三个解，所以有三个解，
所以有两个解，所以有两个零点，
所以，所以，故正确；
故选：BCD.
【点评】关键点点睛：分析本例的B选项时，要确定函数极值点个数，其实需要分析导函数的零点情况，但是要注意极值点个数与的零点个数并不等价；分析本例的C选项时，发现极值点以及极值的计算较为麻烦，这里采用因式分解结合韦达定理的简化计算；分析本例的D选项时，转化思想是关键，将复杂问题转化为更简单的问题去求解.
三、填空题
13．写出导函数是的一个函数为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】根据导数的运算法则，结合题意，即可求解.
【解答】由题意，导函数，则函数可能为.
故答案为：
14．若商品的年利润（万元）与年产量（百万件）的函数关系式为，则获得最大利润时的年产量为________百万件．
【答案】3
【解析】利用导数求出函数的最值可得答案．
【解答】∵，
∴，
当时，，当时，，
∴在上是增函数，在上是减函数，
在x=3时有最大值，
故当x=3时，获得最大利润，获得最大利润时的年产量为3百万件.
故答案为：3.
15．已知函数在处有极小值，则实数的值为________．
【答案】2
【解析】函数在处有极小值，即此时导数为0，且在此点处单调性先减后增，从而判断参数的值.
【解答】由题可得：
因为函数在处有极小值，
所以，解得：或，
当时，，函数在上单调递增，上单调递减，即函数在处有极大值，不满足，舍去；
当时，，函数在上单调递增，上单调递减，即函数在处有极小值，满足，所以．
故答案为：2.
16．已知函数.当时，的增区间为___________；若有两个零点，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】（1）时，根据导数大于0，可求得单增区间；
（2）若使有2个零点，根据零点存在定理，在两端均大于0时，只需求得函数的最小值，使最小值大于0，即可求得参数范围.
【解答】（1）当时，，求导得，
令，解得，单调递增；
（2），
①当时，因为，所以，恒成立，
单调递增，不存在两个零点，故舍去；
②当时，易知，，单调递增；
，，单调递减；
又时，，时，，
若使有2个零点，只需最小值即可.
，解得，或（舍）.
故.
故答案为：；
【点评】关键点点睛：导数是研究复合函数单调性，最值问题的优良工具，本题借助零点存在性定理可以求解函数零点问题.
四、解答题
17．已知函数，讨论的单调性．
【答案】答案见解析
【解析】就分类讨论导数的符号后可得函数的单调区间.
【解答】的定义域为，，
若，则恒成立，故在上为减函数；
若，则当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
综上，当时，在上为减函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数．
18．求曲线在点处的切线方程.
【答案】
【解析】求出函数的导数，从而可得切线的斜率，故可得切线方程.
【解答】设，则，所以，
所以切线方程为，即.
19．求下列函数的导数．
①；
②；
③；
④；
【答案】①；②③；④=－.
【解析】对于①④，直接利用导数的加法和除法法则可求，②③需要先化简，再用求导公式和导数的运算法则可求.
【解答】解：①.
②因为，
所以
．
③因为，
所以.
④
＝－.
【点评】函数求导常用类型：
(1)
基本初等函数：利用求导公式和导数四则运算法则；
(2)复合函数：利用复合函数求导法则
(3)一些复杂函数需要先化简，再求导.
20．已知函数.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间和极值.
【答案】（1）；（2）函数的增区间为，该函数无极值.
【解析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）利用导数分析函数的单调性，由此可得出结论.
【解答】（1）当时，，则，所以，，.
所以，函数在处的切线方程，
因此，所求切线的方程为；
（2）当时，，该函数的定义域为，，
所以，函数的增区间为，该函数无极值.
21．已知函数，，函数在处与直线相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断函数在上的单调性．
【答案】（1）；（2）增区间是，减区间是．
【解析】（1）由函数得，根据曲线切点处导数的几何意义，列方程求参数a，b的值；
（2）由（1）知，结合给定区间讨论的符号，进而确定的单调性.
【解答】（1）由题意，得：，
∴，得.
（2）由（1），得，
∴，
∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．
∴函数的增区间是，减区间是．
22．已知函数，且在点处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围.
【答案】（1）0；（2）.
【解析】（1）依题意得，解方程即可；
（2）原方程化为，令，求导分析单调性，求值域即可求的取值范围．
【解答】（1），，
∵函数在点处取得极值，，
即当时，，
，解得，经检验符合题意；
（2），，.
令，则.
∴当时，，随的变化情况如下表：
1
2
3
+
0
-
极大值
计算得，，，，
所以的取值范围为．
【点评】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
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