2.7.1 二次根式 教学设计

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第二章 实数
7.二次根式（第1课时）
一、目标确定的依据
（一）课程标准的相关要求
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解实数.
2.掌握必要的运算（包括估算）技能.
3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.
4.了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算.
（二）学情分析
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数.这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础.当然，毕竟是一种新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度.
（三）教材分析
本节分为三个课时.第一课时：认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时：基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时：进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力.
二、学习目标
1.通过观察能说出二次根式和最简二次根式的概念，并会进行判断.
2.通过“做一做”活动能总结出二次根式的性质，并能利用性质将二次根式化为最简二次根式.
三、评价任务
任务一：注重二次根式和最简二次根式概念形成的过程，让学生在概念的形成过程中，逐步理解概念，提高学生的思维水平；
任务二：关注学生经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式概念、性质的过程，提高学生的归纳概括能力和语言表达能力，鼓励学生的自主探索和合作交流；任务三：积极参于活动进行探索，注意运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系，体会学习过程中创造性的乐趣.
四、教学过程
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境、导入新课；第二环节：明确概念、巩固加深：第三环节：探究性质、应用巩固；第四环节：概念辨析与巩固；第五环节：小结与反思；第六环节：当堂检测：第七环节：布置作业.
第一环节：创设情境、导入新课
复习提问：
1.什么叫做算术平方根？
2.5的算术平方根怎么表示？
3. 的算术平方根是多少？
4.什么数才有算术平方根？
问题：如图，正方形ABCD的边长为2，它的对角线AC的长是多少？
第二环节：明确概念、巩固加深
问题1：观察下列代数式：（其中b=24，c=25）
上述式子有什么共同特征？
答：都含有“”；都表示一个数的算术平方根；被开方数都是非负数.
二次根式的概念：一般地，形如（a≥0）式子叫做二次根式，a叫做被开方数，强调条件：a≥0.
问题2：判断一个式子是否为二次根式应该从哪几个方面进行？
答：是否带有“”：被开方数是否是非负数：二次根式具有双重非负性.
练习与巩固：
下列各式是二次根式吗？并说明理由
设计目的：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础.
评价设计：让学生通过观察，得到二次根式的概念，注重了概念的生成，提高了学生的思维水平.
第三环节：探究性质、应用巩固
阅读教材P41“做一做”内容：
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
= , = ；
= , = ；
= , = ；= , = ；
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.
问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a，b有限制条件吗？
通过探究得出：（1）积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积 （各因式必须是非负数，即（a≥0，b≥0）.
（2）商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根 除以 除式的算术平方根（被除式必须是非负数，除式必须是正数），（a≥0，b>0）.
例1：化简（1）：（2）；（3）
设计目的：最终归纳出（a≥0，b≥0），（a≥0，b>0），利用二次根式的性质解决实际问题.
评价设计：怎样利用公式是关键，夯实了学生对公式的理解，应提醒学生注意公式中字母a≥0，b≥0（或b>0）这一条件是公式的一部分.
第四环节：概念辨析与巩固
问题：化简以后的结果，中的被开方数又有什么特征？
答：被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数.
一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
注意：化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式.
设计目的：为最简二次根式的概念的形成做准备，通过例题，学生并不知道化简的方向，因此这里以例题的形式呈现了有关结论.
例2.化简：
解：
议一议：（1）你怎么发现含有开得尽方的因数的？你怎么判断最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴交流.
归纳要点：是最简二次根式的条件
①是二次根式；②被开方数中不含分母，分母中不含根号；③被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.
巩固与提升：
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D. E.
2.化简：
设计目的：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号，让学生在解决问题时体会运用性质的方法.
评价设计：以上化简过程中的规律，希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面.从而明确：被开方数若有开得尽的因数，般需要进行化简.
第五环节：小结与反思
本节课主要内容：
（1）二次根式的概念：形如（a≥0）式子
（2）二次根式的性质：（a≥0，b≥0），（a≥0，b>0）
（3）最简二次根式
第六环节：当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2.式子有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
3.下列根式一定是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4.教材P42“随堂练习”
第七环节：布置作业
教材P43页习题
必做题：1、3
选做题：2、4
五、板书设计
课题：二次根式（1）
一、形如（a≥0）式子叫做二次根式，a叫做被开方数. a≥0，≥0双重非负性
二、性质：（a≥0，b≥0），（a≥0，b>0）.
三、最简二次根式：①“”中不含分母，分母中不含“”②“”不含能开的尽方的因数或因式.
六、教学设计反思
（一）关注类比，提出重点
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系.
（二）对运算技能要求恰当定位
根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会利用性质进行运算.因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求.
（三）分层教学
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有所不同，因此增加了知识拓展的内容，对一些学生的层次要求高一点.
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