1.3 勾股定理的应用 教学设计

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课题: 1.3勾股定理的应用
一、课标描述(摘要)及其解读
2011版数学课程标准对本节课要求：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
“探索”是指独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和练习，获得一定的理性认识.
“运用”是指综合使用。已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题.
二、教材分析
本节课是2013义务教育审核北京师范大学出版社实验教科书八年级上册第一章《勾股定理》第3节，运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题.勾股定理是反映直角三角形三边之间数量关系的一条重要结论，将数与形结合起来，历史悠久，在数学发展中有着重要作用.同时，利用勾股定理可以解决现实问题，是一条非常重要的几何定理，是学生后续学习的基础.
三、学情分析
本节知识是利用勾股定理及逆定理解决一些具体实际的问题，需要学生了解空间图形，知道空间图形的展开与折叠.学生在七年级上册第一章《生活中的立体图形》中对常见的几何图形已经有了一定的认识，并进行过动手操作，学生已经具备解决本课问题的知识基础和活动经验基础.初二的学生参与意识强，思维活跃，在解决具体问题的过程中，会进一步发展学生的观察、分析问题、解决问题和应用问题的能力.
四、学习目标
1.通过动手操作、讨论交流，会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离.(重点)
2.通过实际操作，会利用勾股定理的逆定理判定三角形是否是直角三角形.(重点)
3.能够运用方程思想，利用勾股定理解决简单实际的问题，建立模型思想.(重点,难点)
五、评价方案设计
针对本节课的三个学习目标，本节课的评价任务如下:
评价任务一：学生能够画出小蚂蚁从A点到B点的路径，和小组成员讨论交流，扩宽思路，知道多种爬行的路径，并知道将立体图形展成平面图形，会构造直角三角形，利用勾股定理求解;
评价任务二：学生能够结合实例，利用勾股定理逆定理提出具体思路和方案能证明黑板的角是一个直角，通过口答、动手的方式测评;
评价任务三：学生能够积极参与课堂，运用设未知数的方程思想，求解未知边的长度，通过学生自主练习、上台讲解的方式测评.
六、教学重点和难点
重点：通过动手操作、讨论交流，会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离;通过问题分析建立现实问题和数学问题之间的联系，会用方程思想利用勾股定理求解.
难点：能够运用勾股定理解决实际生活中的问题，建立模型思想.
通过例题讲解，变式思考，讨论交流，结合实际重点引导点拨学生运用勾股定理的基本思路和方法，突出“勾股定理的应用”.
七、教学过程设计:
本节课由5个教学环节组成，它们是：
①复习引入，回顾旧知
②动手操作，合作探究
③直观测量，逆用定理
④典例精讲，联系实际
⑤归纳总结，作业布置
第一环节 复习引入，回顾旧知
问：前两节我们已经学习了勾股定理及其逆定理，那勾股定理及其勾股定理的内容是什么呢?
生答:勾股定理的内容是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理是在一个三角形中，如果三边满足a2+b2=c2.
学习这些知识有什么用呢?今天我们一起来探究《勾股定理的应用》.
第二环节 动手操作，合作探究
例1:小明有一个圆柱形的水杯，不小心在B点滴了一滴蜂蜜，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，请你们想一想，蚂蚁怎么走可以从A到达B呢?
学生利用提前准备好的空心圆柱学具动手操作，每6人一小组，和组内成员互相讨论，蚂蚁爬行的路径.
思考1：利用笔，尝试从A点到B点沿圆柱面画出几条线路，你认为这样的线路有几条?哪一条最短呢?
思考2：将圆柱侧面剪开展成一个长方形，A点和B点在什么位置呢?你是如何画的呢?
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm, π取3，则最短路径为多少?
解:圆柱的展开图如图，则AB为蚂蚁的最短距离.
即蚂蚁爬行最短路径为15 cm.
[方法归纳]圆柱的侧面展开在同一个平面上，便是一个长方形，原来上下底面上要求的两点之间所连的线段是最短距离.我们常构造符合要求线段的直角三角形，用勾股定理来求出它的长.
第三环节 直观测量，逆用定理
小明同学在将圆柱展开成长方形时，抬头一看，黑板就是长方形的，他想黑板的角是不是垂直的呢，他手中只有卷尺，你能帮他解决疑惑吗?
1.小明量的黑板边长AC是90 cm, AB边长是120 cm，点B、C之间的距离是150 cm，边AC与AB垂直吗?
2.若你身边只有一个长度为40 cm的刻度尺，你能有办法检验你所用的黑板是否垂直吗?
解:如图所示
第2问学生讨论交流，讲解思路.
第四环节 典例精讲，联系实际
例2：小明在自己动脑过程中既用到了勾股定理，也用到了勾股定理的逆定理，心里特别高兴，就去操场上玩.这时，他看到一个滑滑梯，爱动脑的小明又开始思考了.如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.己知滑梯的高度CE=3 m，CD=1 m，试求滑道AC的长.
解：设滑道AC的长度为x m，则AB的长也为x m, AE的长度为(x-1) m.

故滑道AC的长度为5 m
[方法归纳]在实际问题中，我们需要先找到直角三角形.这时常将未知的边长用一个未知数表示出来，根据勾股定理列方程来求解.
数学思想:
当堂检测:如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端?
学生自主练习，然后上台讲解.
多种思路引导.
第五环节 归纳总结，作业布置
归纳总结:
本节课你学到了哪些知识?
哪些数学思想方法?
作业布置:
借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺，请你设计一个方案，测量出学校旗杆的高度.
板书设计：
1.3勾股定理的应用
例1：
解：圆柱的展开图如图立体图形转化为平面图形
则AB为蚂蚁的最短距离连线
在Rt△A＇AB中，∠AA＇ C=90°直角三角形中利用勾股定理求解
即蚂蚁爬行最短路径为15 cm.
例2：
解：如图所示
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