24.1.2 垂直于弦的直径 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
人教版
九年级上
教学目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形．
2.掌握垂径定理及其推论．（重点）
3.灵活运用垂径定及其推论解决有关圆的问题．（难点）
情境导入
问题
：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？下面我们一起探究。
合作探究
折一折：拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
探究：垂径定理
你能证明圆是轴对称图形吗？
合作探究
·
O
A
A
’
C
D
M
如图，设CD是是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C、D以外的任意一点，过点A作AA
’⊥CD，交⊙O与点A
’，垂足为M．连接OA、O
A
’。
在△OAA’中，
∵OA=OA’
∴
△OAA’是等腰三角形
又∵
AA
’⊥CD
∴AM=MA’
即CD是AA’的垂直平分线，也就证明对于圆上的任意一点A，在圆上都能有关于直线CD的对称点A’，即证明圆是轴对称图形。
合作探究
思考1：以上我们证明点A、A’关于CD所在的直线对称，如果把圆沿着直线CD折，你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
线段:
AE=BE
劣弧:
AC=BC,
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
D
E
C
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
⌒
⌒
AC
=
BC,
⌒
⌒
AD
=
BD.
★垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．
趁热打铁
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
合作探究
思考3：如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心
；②垂直于弦；
③平分弦；
④平分弦所对的优弧；
⑤平分弦所对的劣弧．
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
合作探究
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
①
CD是直径
②
CD⊥AB，垂足为E
③
AE=BE
④
AC=BC
⑤
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
证明猜想：
合作探究
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？
AD与BD相等吗？为什么？
⌒
（2）由垂径定理可得AC
=BC，
AD
=BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
解：（1）连接AO，BO，则AO=BO.
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE
(SSS).
∴∠AEO=∠BEO=90°.
∴CD⊥AB.
⌒
⌒
合作探究
思考2：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
·
O
A
B
C
D
圆的两条直径是互相平分的.
平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步，我们还可以得到推论：
趁热打铁
1.判断：
(1)平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
(2)平分弦的直线，必定过圆心。
(3)一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这
条直线垂直这条弦。
?
?
?
A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
?O
(2)
A
B
C
D
?O
(3)
趁热打铁
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
(5)平分弧的直线，平分这条弧所对的
弦。
(6)弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
?
?
?
A
B
C
?O
(4)
A
B
C
D
?O
(5)
A
B
C
D
?O
(6)
E
(7)平分弦的直径垂直于弦。
?
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为5
cm，OE=3
cm，则AB=
cm．
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵
OE⊥AB，
∴
AB=2AE=8
cm．
8
∴
(cm)．
趁热打铁
变式训练：如图，⊙O的弦AB＝8
cm
，直径CE⊥AB于D，DC＝2
cm，求半径OC的长．
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵
CE⊥AB于D，
∴
．
设OC=x
cm，则OA=x，OD=(x－2)
cm.
在Rt△OAD中，根据勾股定理，得
解得
x=5.
即半径OC的长为5
cm.
x2=42+(x-2)2，
趁热打铁
趁热打铁
3、
已知：⊙O中弦AB∥CD.
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.
∴AM－CM＝BM－DM.
∴AC＝BD.
⌒
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⌒
合作探究
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结：
典例精析
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
典例精析
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴
AB=37
m，CD=7.23
m.
解得R≈27.3(m).
即主桥拱半径约为27.3
m.
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
∴
AD=
AB=18.5
m，
OD=OC-CD=R-7.23.
=18.52+(R-7.23)2
⌒
⌒
综合演练
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt△AOE中
综合演练
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB，
∴AE=AD.
∴四边形ADOE为正方形.
综合演练
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．你认为AC和BD有什么关系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴
AE－CE＝BE－DE，
即
AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
综合演练
4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600
m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90
m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
●
O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为R
m,则OF=(R－90)
m.
在Rt△OFC中，根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径为545
m.
提能训练
5、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围
.
3≤OP≤5
B
A
O
P
课堂总结
说一说：
1、垂径定理是什么？它有哪些推论？
2、常见的辅助线该如何去作？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题24.1
P89页：2、8、10
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