24.1.3弧、弦、圆心角 课件（24张ppt）

(共25张PPT)
24.1.3弧、弦、圆心角
人教版
九年级上
教学目标
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间的关系定理并利用其解决相关问题.（重点）
回顾旧知
把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
★中心对称图形的定义:
1、说一说什么是中心对称图形？
2、圆是中心对称图形吗？
圆是中心对称图形，就是它的旋转中心。
不仅如此，把圆绕圆心旋转任意角度，所得的图形都与原图形重合。
合作探究
O
B
A
思考1：观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
顶点在圆心上
A
B
O
定义：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB
.
C
D
趁热打铁
判一判：判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角
(后面会学到)
圆心角
合作探究
O
A
B
M
2.圆心角
∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
1.圆心角
∠AOB
所对的弧为AB.
⌒
弦
圆心角的相关概念：
思考2：圆心角、弧、弦三者之间有什么关系呢？
合作探究
探究一：在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB=
∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
O
A
B
C
D
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠COD的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
合作探究
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，
∠AOB＝∠COD，
射线
OA与OC重合，OB与OD重合．
而同圆的半径相等，OA=OC，OB=OD，
∴点
A与
C重合，B与D重合．
A
B
C
D
∴
AB与
CD重合，AB与CD重合．
（
（
·O
∴
AB=
CD，AB=CD.
（
（
合作探究
·
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？
·
O
′
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：
如果∠AOB=∠CO′D，那么AB=CD，弦AB=弦CD.
⌒
⌒
探究二：在等圆中探究
合作探究
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒
⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
归纳总结：弧、弦与圆心角的关系定理:
合作探究
思考2：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
合作探究
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论：
类比探究可得：
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
合作探究
关系结构图
温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
在同圆或等圆中
典例精析
A
B
C
O
证明：
∴
AB=AC.∴△ABC是等腰三角形．
又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例1
如图，在⊙O中，AB=AC
，∠ACB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
⌒
⌒
知识点拨：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键．
∵AB=AC，
⌒
⌒
趁热打铁
证明：∵AC=BC
∴∠AOC=∠BOC，
∵D、E分别是OA、
OB的中点,
且OA=OB，
∴OD=OE，
变式训练：
如图，OA、OB、OC分别是⊙O的半径，且AC=BC，D、E分别是OA、OB的中点，求证：CD=CE．
∴△DOC≌△EOC，
∴CD=CE．
OD＝OE
∠AOC＝∠BOC
OC＝OC
在△DOC和△EOC中，
综合演练
1．如果两个圆心角相等，那么（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
A.
AB=2CD
⌒
⌒
B.
AB>CD
⌒
⌒
C.
AB⌒
⌒
D.
不能确定
2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（
）
⌒
⌒
A
21cnjy
综合演练
3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么_________，__________
__；
（2）如果
，那么_________，
；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_________，_______；
·
C
A
B
D
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB=∠COD
∠AOB=∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
综合演练
4、如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
解：OE=OF.
理由如下：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∵AB=CD，
∴AE=CF.
∵OA=OC，
∴Rt△AOE≌Rt△COF.
∴OE=OF.
∴
综合演练
5、如图，已知AB、CD是⊙O的两条弦，
.
求证:AB＝CD.
.
C
A
B
D
O
证明：
综合演练
变式训练：
1、如图，在⊙O中，AD=BC．求证：DC=AB．
∴DC=AB．
证明：∵AD=BC，
2、如上图，在⊙O中，DC=AB．求证：AD=BC．
证明：∵DC=AB，
∴AD=BC.
提能训练
6、如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立吗？CD=2AB成立吗？请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又分别是什么？
⌒
⌒
解：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.
如图：取CD
的中点E，连接OE，CE，DE，
则∠AOB=∠COE=∠DOE，
.
所以
CD=2AB
，弦AB=CE=DE.
在△CDE中，CE+DE>CD，
则CD＜2AB.
⌒
⌒
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
O
⌒
⌒
⌒
课堂总结
说一说：
1、什么是圆心角？
2、圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论分别是什么？
3、以上关系定理需要特备注意什么条件？
本节课你有哪些收获？
作业布置
习题24.1
P89页：3、13
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