4.2 一次函数与正比例函数 教学设计

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北师大版数学八年级上册4.2 一次函数与正比例函数
课题 4.2一次函数与正比例函数 单元 第四单元 学科 数学 年级 八
学习目标 1.掌握一次函数、正比例函数的概念．
2.能根据条件求出一次函数的关系式．
重点 理解一次函数和正比例函数的概念.
难点 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
新知导入 师：(1)什么是函数?
在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
(2)函数有哪些表示方式?
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
如果设青蛙的数量为x，y分别表示青蛙的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数关系式吗？
学生思考回答问题。
生：
y=x y=2x
y=4x
为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法.问题(1)(2)复习上节课的内容.
新知讲解 师： 某弹簧的自然长度为3 cm ,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1 kg、2 kg、3 kg、4 kg、5 kg时的弹簧长度,并填入下表:
你能写出x与y之间的关系式吗?
做一做 某辆汽车油箱中原有汽油60 L，汽车每行驶50 km耗油6 L.
（1）完成下表：
(2)你能写出油箱剩余油量 y( L )与汽车行驶路程x( km)之间的关系式吗？
y=60－0.12x
上面的两个函数关系式:
(1)y=3+0.5x
(2) y=60－0.12x
这两个函数关系式有什么特点?
生：若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k不等于0）的形式，则称 y是x的一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
y=x，y=2x，y=4x，有什么特点？它是一次函数吗？
定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
也就是一次函数中当b=0时，称y＝kx是x的正比例函数 .
即正比例函数是特殊的一次函数.
【例】下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？是一次函数的请指出k,b的值。
y＝－x－4
y＝5x2－6；
y＝2πx;
(4)y=－
(5)y=－
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：
(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数.
【总结归纳】
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
例1 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
（2）圆的面积y（cm2)与它的半径x (cm)之间的关系；
(2)由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数；
（3）某水池有水15 m3,现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h, x h后这个水池内有水ym3.
(3)这个水池每时增加5 m3水，x h增加5x m3水，因而y=15 + 5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
例2 根据一次函数定义在参数的情况下，结合绝对值乘方运算，确定参数再次判定一次函数表达式.
例3 我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入不超过3 500元的部分不收税；月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴纳个人工资、薪金所得税为（3860-3500) ×3% = 10.8 (元）.
(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时，写出应缴纳个人工资、 薪金所得税y(元）与月收入x(元)之间的关系式；
解：（1）当月收入超过3500元而不超过5000元时，y = (x -3500) × 3%,即y= 0.03x-105;
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
（2）当 x=4160时，y=0.03×4160-105=19.8 (元)；
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、 薪金收入是多少元？
（3）因为（5000-3500)×3%=45 (元)，19.2<45,
所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.
设此人本月工资、薪金收入是x元，
则19.2=0.03x-105, x=4140.
即此人本月工资、薪金收入是4140元.
【总结归纳】
一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.
生：3；3.5；4；4.5；5；5.5
生：y=3+0.5x.
生：6；12；18；24；30；36
生：
y=60-0.12x
学生在教师的引导下总结归纳
学生通过所学知识做例题.
生：解：(1)由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x 的正比例函数；
生：会存在变量取值范围的问题，根据生成引导学生注意实际问题中对取值范围的认识. 从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量)出发，通过对一般规律的探索过程，从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念.(注意：审题)
从两个具体问题的函数表达式出发，互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.
主要从函数解析式这一角度去研究一次函数，这是学生第一次正式接触函数的表达式，教学中可根据学生状况多加一些例子，让学生逐步学会从函数表达式去认识函数，进一步掌握一次函数的定义.
注意：π是数字，不是字母.
注意：化简彻底
通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.
充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展.
注意：实际问题要考虑变量的取值范围.
根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差异,此时,要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而不能是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都是逻辑思维训练的一部分.
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