5.6 二元一次方程与一次函数 教学设计

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北师大版八上 5.6《二元一次方程和一次函数》教学设计
一、学情分析
学生已经学会了解方程（组），从“数”与“形”的两方面的联系理解了一次函数的概念及其性质，初步具备了用函数模型解决问题的能力．对数形结合的思想也有了一些认识.
二、教材分析
（一）理解：
本节课的主要内容是揭示二元一次方程（组）与一次函数的联系与区别，方法是从“式”（数）与“形”两方面的相互转换来进行研究，以期引导学生发现“静”与“动”，“离散” 与“连续”之间的关系，从而进一步培养学生数形结合的意识，发展几何直观．
（二）学习目标的确定：
1.通过从“数”的角度和“形”的角度对二元一次方程与一次函数进行对比分析，学生初步认识二元一次方程和一次函数的关系；
2.通过思考和操作，探索二元一次方程组的解与相应两条直线交点坐标之间的关系，学生进一步体会二元一次方程和一次函数之间的联系；
3. 通过操作，学生会用图象法得到二元一次方程组的近似解，了解二元一次方程组无解的几何意义，体会数形结合思想.
（三）教学重难点：
1.重点：探索二元一次方程的解与相应一次函数的图象之间的关系．
2.难点：渗透转化和数形结合的数学思想．
三、教学方法
问题探究法
四、教学过程
A.情景导入
1.通过右边一张图片让学生从不同角度观察是什么小动物？
设计意图：通过学生从不同角度的观察得到不同的结果，让学生意识到因为看待事物的角度不同，所得的结果也不同，也就是说同一事物往往有两面性甚至是多面性，顺势引入下一个问题.
2.问x+y=5是什么？
（学生可能回答是二元一次方程，还有学生可能回答一次函数）
设计意图：体会从不同角度看，二元一次方程和一次函数可以互相转化的，为下面探索二元一次方程和一次函数的关系做铺垫.
B.教学过程
（一）活动一：探究二元一次方程与一次函数的关系：
1. x+y=5 有多少个解？请写出其中的几个.
……
2.将以上述解中x的值为横坐标，y的值为纵坐标所得到的点的坐标填到下列表格
(x,y) …


…
3.在平面直角坐标系上描出上述坐标对应的点.
思考：
①上述描出的点的坐标都适合关系式y=5-x吗？
②这些点是否都在一次函数 y=5-x 的图象上？
③在一次函数 y=5-x 的图象上任取一点，它的坐标满足方程 x+y=5 吗？
④以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5-x 的图象相同吗？
设计意图：以问题串的形式推进学生知识的形成过程，通过让学生感受二元一次方程的解如何转化为相应一次函数图象上的点的坐标，启发引导学生总结二元一次方程和相应一次函数的关系，顺其自然引入下一个环节.
（二）知识归纳一
二元一次方程和一次函数的关系
1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的一次函数图象上.
2.一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
（三）活动二：探究二元一次方程组的解和相应的两条直线交点坐标的关系：
1.解方程组：
2.在同一平面直角坐标系内分别画出一次函数 y=5-x 和 y=2x-1 的图象.
解：列表：
描点、连线

思考：1. 在同一直角坐标系中，一次函数y=5－x和y=2x－1的图象 的位置有什么关系？有无交点？如有，写出交点坐标.
2. 以方程 x+y=5的解为坐标的点（2,3）在一次函数 y=5-x 的图象上吗？
3. 以方程 2x-y=1的解为坐标的点（2,3）在一次函数 y=2x-1 的图象吗？
4. 以二元一次方程组的解为坐标的点与两个一次函数y=5-x, y=2x－1 图象的交点有什么关系？
5.二元一次方程组的解与相应两个一次函数图象的交点的坐标有什么关系？
设计意图：通过解方程组和画对应一次函数图象，引导学生观察二元一次方程组的解和两个一次函数图象交点坐标的关系，并类比二元一次方程和一次函数的关系顺势得出二元一次方程组和两个一次函数的关系，也让学生自然建立了数形结合的意识.
（四）知识归纳二
1. 确定两条直线的交点坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解.
2. 解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点坐标.
3. 用两个一次函数的图象解二元一次方程组的方法称图象法(这种解法很好的体现了数形结合思想)
（五）针对训练：
1.已知是方程组的解，那么一次函数 和一次函数 的交点坐标是 .
2.若一次函数 y= - x+1 和 y=x+b 的图象交点为(2,a)，则 a= b= ，方程组的解是 .
设计意图：加深对二元一次方程组和对应一次函数关系的理解.
（六）活动三：探究二元一次方程组的解与对应的一次函数图象关系的特殊情况：
1.解方程组
2.题1中方程组中两个方程可以表示哪两个一次函数？在同一直角坐标系中画出两个函数图象.
3.题 1 中方程组解的情况如何？相应的两条直线有怎么样的位置关系？
思考：你有什么发现？
（七）知识归纳三
若两直线的k值相等，b值不同时，两直线平行，对应的二元一次方程无解.
设计意图：通过解方程组和画图象，将两条直线的另一种特殊位置关系平行与方程组无解相结合，进一步挖掘出两直线平行于 k 的关系，这也是对第二个环节的补充，体现的从一般到特殊的思想方法，有利于培养学生全面思考问题的习惯.
（八）当堂检测：
1.根据右边图象，回答：方程组 的解是 .
2.已知方程组无解，则一次函数与的图象必定 .
3.已知，在平面直角坐标系中，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C, 求：
（1）两直线与y轴交点A、B的坐标
（2）点C的坐标
（3）求△ABC的面积
设计意图：通过三个练习题，及时检测学生对本节知识的掌握情况，加深了两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解得印象，培养学生计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟应用数形结合思想解题的作用.
（九）学后反思：
这节课我学到了什么？还有哪些疑惑？
设计意图：使学生进一步明确本节课学习的知识点和如何运用这些知识解决问题，使本节课的知识点系统化，结构化.
五、作业布置：
课本 124 页习题 5.7 1、2、3、4 题
六、板书设计
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