4.1 函数 教学设计

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北师大版八年级数学上第四章 一次函数
§4.1 函数
一、学情分析
认知基础：学生在七年级下册第四章已学习了《变量之间的关系》，对变量间互相依存的关系有了一定的认识，但对于变量间的变化规律尚不明确，理解的很肤浅，也缺乏理论高度，另外本章在认知方式和思维深度上对学生有较高的要求，学生在理解和运用时会有一定的难度.
活动经验基础：在七年级下册《变量之间的关系》一章中，学生接触了大量的生活实例，体会了变量之间相互依赖关系的普遍性，感受到了学习变量关系的必要性，初步具备了一定的识图能力和主动参与、合作的意识和初步的观察、分析、抽象概括的能力.
二、教学目标：
知识与技能目标：
（1）初步掌握函数概念，能判断两个变量之间的关系是否可以看作函数.
（2）根据两个变量之间的关系式，给定其中一个变量的值相应的会求出另一个变量的值.
（3）会对一个具体实例进行概括抽象成为函数问题.
过程与方法目标：
（1）通过函数概念初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
（2）经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力.
情感态度与价值观目标：
（1）经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.
（2）能主动从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
教学重点和难点
教学重点：
（1）掌握函数概念.
（2）会判断两个变量之间的关系是否可以看作函数.
（3）能把实际问题抽象概括成函数问题.
教学难点：
（1）理解函数的概念.
（2）能把实际问题抽象概括成函数问题.
三、教学过程设计：
（一）创设问题情境，导入新课
法国数学家笛卡尔曾流落到瑞典，邂逅美丽的瑞典公主克里斯蒂娜（Christina）.笛卡尔发现克里斯蒂娜公主聪明伶俐，便做起了公主的数学老师，于是两人完全沉浸在了数学的世界中.国王知道了这件事后，认为笛卡尔配不上自己的女儿，不但强行拆散他们，还没收了之后笛卡尔写给公主的所有信件.后来，笛卡尔染上黑死病，在临死前给公主寄去了最后一封信，信中只有一行字：r=a(1-sinθ)，这就是一个函数表达式.
自然，国王和大臣们都看不懂这是什么意思，只好交还给公主.公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，终于解开了这行字的秘密——这就是美丽的心形线.也就是函数图象.看来，数学家也有自己的浪漫方式啊.
数学上常用函数来刻画变量之间的关系，那么函数是什么？用函数可以解决现实生活中的哪些问题？你想了解这些吗？这节课我们就一起来学习函数.（板书课题：§4.1函数）
（二）共同探究，构建模型
出示学习目标：
1、通过对具体实例的分析归纳，理解函数的概念，并能判断两个变量间的关系是否可以看成函数.
2、通过对实际问题的分析，能写出两个变量之间的函数关系式，能说出函数的三种表示方法.
3、能根据生活实际说出自变量的取值范围，给出自变量的值会求出相应的函数值.
情境一：天气预报中温度随时间的变化
明年暑期同学们要去参加实践活动，我绘制了郑州市 8 月一天的温度变化图，下图反映了温度T与时间t之间的关系.
（1）根据图象填表：
t/时 0 3 9 15 21 24 ……
T/℃





……
（2）从图象上，你能读出哪些信息？
（3）对于给定的时间t，相应的温度T确定吗？
（首先由学生分组讨论完成，然后相互交流）
情境二：租车费用y和里程x
实践活动启程：调查发现要租一辆容纳全班人的大巴车，租车费用y（元）和里程x（千米）的关系y=5x+800
（1）计算当里程x分别为10千米，18千米，30千米时，相应的费用y是多少？
（2）给定一个x值，你能求出相应的y值吗？
（3）其中对于给定的每一个里程x，租车费用y对应有几个值？
（由学生独立完成，然后相互交流，师生共同订正）
情景三：座位数y与排数n之间的关系
实践活动第一项：看4D科幻片！场地是扇形，第一排坐60人，以后每一排增加4人，思考以下问题：
1、随着排数的增加，座位数如何变化的？
2、请填写下表：
排数n 1 2 3 4 5 ……
座位数y




……
3、其中对于给定的每一个排数 n ，座位数 y 对应有几个值？
（由学生独立完成，然后相互交流，师生共同订正.）
（三）议一议，形成概念
1、议一议
上面的三个变化过程中，有什么共同特点？有什么不同点？
（相同点是：这三个情景中都研究了两个变量。不同点是：在第一个情景中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；第二个情景中是以关系式的形式表示两个变量间的关系；第三个情景是以表格的形式来表示两个变量间的关
系的.）
通过对这三个具体情境的研究，明确“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性.
2、函数的概念
在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定另一个变量的值.
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.
归纳出函数概念后，留几分钟时间给学生消化理解概念，并提出自己的不理解的地方，教师再提出：
（1）你能举出生活中是函数的例子吗？
（2）你是怎样理解“确定”这两个字的含义的？
学生分组讨论，交流以后，教师点评.
理解函数概念应把握三点：
（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应，即是一种对应关系.判断两个量是否具有函数关系就以这三点为依据.
评价任务一
（通过学习做评价任务一检验学生是否掌握住函数的概念和函数的三种表达方式.）
1、下列各题有几个变量？你能将其中一个变量看成另一变量的函数吗？如果能，说出那个变量是那个变量的函数.
(2)每一个同学一个下午能做3个手工艺品，则x个同学共做y个手工艺品.
(3)女生参加跳绳的个数x与得分y之间关系如下：
跳绳x/个 117＜x≤125 125＜x≤135 135＜x≤143
得分y/分 10 10.5 11
活动三自变量的取值范围
3、议一议1：上述情境中，自变量能取哪些值？
（情境1 中一天的时间的范围0≤t≤24；
情境2 中里程x的范围x＞0；
情境3 中场地中排数n的范围，n是正整数）
议一议2函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
（新概念的给出要强化学生的理解，通过情境二中的问题举例回答）
（如：当x=10 时，y的值为850叫做x=10时的函数值.）
（如：当x=18 时，y的值为890叫做x=18时的函数值.）
评价任务二：
一蓄满水的水池正在放水，剩余水量(y)与时间(t)的关系式为 y＝600－50t，给定了t值，请你完成下表：
时间t 0 1 2 3 4 ……
剩余水量y




……
我们说____是_____的函数，t的取值范围是________________
（通过评价任务二检查学生对自变量取值范围和函数值的掌握程度）
（五）归纳总结，加深理解
1、函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可看作函数.
2、函数的三种表达式：
（1）图象法；（2）表格法；（3）关系式（解析式或表达式）.
3、在一个函数关系式中，给定自变量的值，能相应地会求出函数的值。
4、函数值
当堂检测
1、长方形实践场地为 20m，宽 x m，则面积S＝______，我们可以把_____看成是___的函数.当x＝10m时，S＝______m2.
2、下列关于变量x，y的关系式中，y是x的函数的是________
①y＝3x－5；②y＝|x|；③y＝±x；④ y2＝x.
3、活动实践区现有树4000棵，计划我校今后每年来植树300棵．
(1)试写出数x年后的树的棵数y；
(2)预计5年后该实践区有多少棵树？
4、（选做）等腰三角形的周长为20 cm，底边长为y cm，腰长为x cm，写出y与x之间的关系式，并求出x的取值范围.
四、板书设计
§4.1 函数
1、什么叫函数 3、自变量的取值范围
情境一：
情境二： 4、函数值
情境三： 当x=10 时，y=850
2、函数的表示示方法：图象法、表格法、关系式法. y=850是x=10 时的函数值
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