4.4.1 一次函数的应用 教学设计

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４.4 一次函数的应用（第 1 课时）教学设计
一、学生起点分析
本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法.在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．
二、教学任务分析
本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练．
本节课的教学目标是：
1.了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．
2.经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；
3.经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
三、教学重点、难点
重点：根据所给信息确定一次函数表达式；并能利用关系式解决有关实际问题.
难点：在实际问题情境中寻找条件，确定一次函数表达式.
四、教学过程设计
第一环节 复习回顾
提问：1.一次函数的表达式是什么？一次函数的图象是什么？
2.正比例函数的表达式是什么？正比例函数的图象是什么？
3.画一次函数图象的步骤是什么？
【设计意图】：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．
第二环节 引入新知
内容1：
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v(米/秒) 与其下滑时间t(秒)的关系如图所示．
(1)写出点A的实际意义；
(2)写出v与t之间的关系式；
(3)下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它
对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
【设计意图】：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．
内容2：
追问：确定正比例函数的表达式,
就是要确定 的值，因此只需要 个条件.
【设计意图】：在实践的基础上学生加以归纳总结.这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于正比例函数有一个基本量k，所以需要一个条件来确定．
第三环节 合作探究
内容1：
在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，一根弹簧不挂物体时长14.5 cm；当所挂物体的质量为3 kg 时，弹簧长16 cm.
(1) 写出y与x之间的关系式;
(2) 求所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度．
解：(1)设 y=kx+b，根据题意，得
14.5=b， ①
16=3k+b，②
将b=14.5代入②，得 k=0.5
所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5
(2)当x=3时，y=0.5×3+14.5=16.5（厘米）
即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米．
【设计意图】：该题中设置的是利用生活中的实际条件求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．
内容 2：
追问：确定一次函数的表达式,
就是要确定 的值，因此只需要 个条件.
【设计意图】：在实践的基础上学生加以归纳总结.这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量k、b，所以需要两个条件来确定．
第四环节 归纳总结
想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．
求一次函数表达式的步骤有：
1．设——设函数表达式y=kx+b；
2．代——将点的坐标代入y=kx+b中，列出关于k、b的方程；
3．求——解方程，求k、b；
4．还原——把求出的k、b值代回到表达式中即可．
【设计意图】：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。以便在求一次函数表达式时有章可循.
第五环节 巩固练习
1.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，
填空：
(1) 函数与x轴的交点是（ ， )与y轴的交点是（ ， ）;
(2)b= ，k= ；
(3)当x=30时，y= ；
(4)当y=30时，x= ；
(5)直线 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积是 .
【设计意图】：该练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．
第六环节 变式训练
已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点（0，2），求直线l的表达式．
【设计意图】：让学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．并体会其实质都是求出k、b，步骤是一样的.
第七环节 课时小结
1．确定正比例函数表达式需要几个条件？
2．确定一次函数表达式需要几个条件？
3．确定一次函数的表达式的步骤有哪些？
【设计意图】：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
第八环节 当堂检测
1.函数y=kx的图象经过点P(3,-1)，则k的值为( )
A．3 B．-3 C． D.
2.若一次函数y=2x+b的图象经过A（－1， 1），则b= ，该函数图象经过点B（1， ）．
3.从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度v(米/秒)是运动时间t(秒)
的一次函数.经测量，该物体的初速度(t=0时物体的速度)为25米/秒，2秒后物体的速度为5米/秒.
(1)求出v、t之间的关系式；
(2)经过多长时间后，物体将达到最高点？(此时物体的速度为0)
【设计意图】：三个不同类型的问题由浅入深，检测学生是否掌握从不同角度求一次函数表达式的方法．
第九环节 作业布置
1.习题４.5：１、２、３
2.收集两个有关一次函数的例子.
【设计意图】：进一步巩固当天所学知识.
四、教学设计反思
1.设计理念
本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题．本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．
2.突出重点、突破难点策略
探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获.
3.分层教学
根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择拓展资源中内容进行补充或拓展，也可留作课后作业．
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