5.8 三元一次方程组 教学设计

中小学教育资源及组卷应用平台
第五章 二元一次方程组
8．三元一次方程组
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用，认识了二元一次方程组的模型，并应用它们解决许多现实和有趣的问题，具备了用消元法解方程组的基本技能.
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些在实际应用问题中寻找等量关系建立方程并求解的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了利用方程组解决实际问题的简便性和作用，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
二、教学任务分析
教科书基于学生已熟练的掌握了二元一次方程组的概念、解法和应用的基础之上，提出了本课的具体学习任务：了解三元一次方程组的概念，会用“代入消元” “加减消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程来解决.作为选学内容使有较好数学基础，对数学知识感兴趣的同学能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法并解决实际问题，能根据具体问题中的数量关系列出方程，更深的体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型.
为此，本节课的教学目标是：
①通过对二元一次方程组的类比学习，能总结出三元一次方程组的概念，会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元” 、进而化为“一元”方程来解决；
②再次经历找等量关系、建立方程模型的活动过程. 在解方程组的过程中体会其基本思想就是“消元”.无论是解二元一次方程组、还是三元一次方程组，推广到四元、五元、多元一次方程组，基本策略都是化多为少、逐一解决，具体措施都是“代入”或“加减”，以实现“消元”，转化为一元一次方程，从而得解；
③让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想；感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好习惯.
教学重点
1．使学生会解简单的三元一次方程组．
2．通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想．
教学难点
针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
三、评价任务
针对目标1，设计了表现式过程性评价，通过发现问题、解决问题，归纳出三元一次方程组的相关概念；
针对目标2，设计了交流式和表现式过程性评价，通过小组活动、交流，发现联系、找到解三元一次方程组的方法（消元转化），并能运用其法解题；
针对目标3，设计了当堂检测式诊断性评价，来检测目标的达成情况.
四、教法与学法
本节课采用了类比探究和小组合作探究的学习方法，鼓励学生先思考，后交流再进行语言表 述和应用提升.
五、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节，创设情境，导入新课；第二环节，类比学习，探究新知；第三环节，理解巩固；第四环节，实际应用；第五环节，课堂小结；第六环节，当堂测试；第七环节，布置作业．
第一环节：创设情景，导入新课
内容：
问题 我校八年级啦啦操、文学、创客三大社团共有社员78名，啦啦操比文学社多1 人，啦啦操社员的两倍与文学社员一共只比创客多20人，八年级三大社团各有社员多少人？
(这里虽然有三个要求的量，但是由于刚学习完二元一次方程组，还是会有部分学生用二元一次方程组模型来解决问题，在这里不予否定，在探究完三元一次方程消元转化成二元一次方程组时，点明二元一次方程组模型解本问题的实质是在设未知数时进行了代入消元.大部分学生在问题中有三个要求量和课题的引导下，就能够直接设出三个未知数列出三元一次方程组.)
教师提问：请设计自己的方案尝试解答.
预测学生回答：①二元一次方程组模型，②三元一次方程组模型
教师提问：类比二元一次方程组的学习，对三元一次方程组的学习要研究哪些问题？（呈现学习目标，明确学习任务）
第二环节：类比学习，探究新知
（一）概念
教师提问：什么是三元一次方程？什么是三元一次方程组？
预测学生回答：
概念：①三元一次方程：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫做三元一次方程.
②共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
关注概念中的三个要点：①未知数的个数；②未知数的次数；③未知数同时满足三个等量关系,
概念辨析：下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
三元一次方程组的解：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
目的：通过引入情境，希望学生能找出等量关系，设出未知数建立方程，此环节既是学习了二元一次方程组后对建立方程组基本方法的练习，也通过类比引出本节课要解决的问题——三元一次方程组的相关概念.
教学要求与效果：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题，强调审题抓住的三个等量关系，从而表示成以上三个方程，这个问题的解答必须同时满足这三个条件，因此，把这三个方程联立起来，成为，引出三元一次方程组的概念.
（二）解法
内容：引导学生回顾前面所学二元一次方程组解法的基本指导思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加减消元），尝试对进行消元，从而解决问题 1.
步骤（1）选取一种方法解此三元一次方程组，由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达.
步骤（2）合作探究
小组合作要求：
①合作寻找2种以上方法，把三元一次方程组转化为二元一次方程组；
②3名组员每人用一种方法，写出消元转化过程；
③组长指导3名组员，并对不同的方法做出对比、总结.
小组展示要求：
①三人负责讲解； ②一人负责投影、点评.
在学生独立选择方法解决的基础上，引导学生进行比较：在解三元一次方程组时的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？解上面的方程组时，你能先消去未知数y（或z），从而得到方程组的解吗？
（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行小组讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点）
1.三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行；
2.用代入消元法：由于方程组②式的特点，可将②式分别代入①式③，消去 x，从而转化为关于 y，z 的二元一次方程组的求解；
3.用加减消元法：由于②式中没有含 z，可以将①，③式联立相加，消掉 z，从而得到关于 x，y 的二元一次方程组的求解；
……学生会给出更多的解法；
4.总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现三元->二元->一元的转化.在消元过程中，消“谁”都行，用哪种消法（代入法、加减法）均可，但如果选择合适，可提高计算的效率.
总结：提高消元效率的具体做法是：①如果已有某个未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减消元.②用加减消元时，如果方程组中有至少一个方程只有两个未知数，缺哪个未知数就消哪个.③用加减消元时，如果方程组中三个方程均含有三个未知数，通常要进行两次消元才能转化为二元一次方程组.
目的：结合情境问题中列出的方程组，类比前面所学二元一次方程组的解法，得到解三元一次方程组的整体思路——消元，并找出相应的消元方法.
教学要求与效果：
（1）教师板书用代入法消元的求解过程，强调解题的格式.求解完后引导学生总结三元一次方程组的求解思路：三元->二元->一元，关键在于消元；
（2）引导学生类比二元一次方程组的消元法对三元一次方程组进行消元.
第三环节：理解巩固
1.判断把三元一次方程组转化成是否合适？请你独立解这个方程组.
2.谋定而动，寻找方程组的最简解法.
目的：（1）让学生注意到，消元转化前一定要确定要消哪个未知数，并且尝试解三个方程均含有三个未知数的三元一次方程组，使其进一步理解三元一次方程组的求解方法，培养计算能力.（2）举一反三，在掌握常规消元方法的同时能够根据方程特征灵活使用整体思想巧妙、熟练解题.
教学要求与效果：
（1）引导学生观察方程组(1)的特点，此方程组与前面不一样，三个方程都不缺“谁” ，消谁好，用什么方法消？
（2）培养学生三思而后行，谋定而动的优秀思维品质.
第四环节：实际应用
建模应用：
引导学生回顾引例的建模过程，对比二元一次方程组建模应用的过程，总结三元一次方程组建模应用的步骤依然是：审、设、列、解、验、答.
目的：运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.本环节回归用三元一次方程组解决实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．
教学要求与效果：让学生用已有知识解决新问题的同时，进一步体会“化归”的数学思想.
第五环节：课堂小结
内容：
（1）三元一次方程组的概念；
（2）三元一次方程组的解法；
注意选好要消的“元”，选好要消的“法”：代入消元、加减消元；
(3)谈谈求解多元一次方程组的思路，提炼化归的思想.
目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识.
教学要求与效果：学生能够在课堂上畅所欲言，并通过自己的归纳总结，进一步巩固了所学知识，教师视其情况对学生的总结从知识、方法和思想层面去总结和提高，让学生体会到数学与生活的联系，激发学生的学习热情．
第六环节：当堂测试
内容：请根据自己的情况，选择一道题目在5分钟之内完成.
1.全校三大社团总人数是一个三位数，各数位上的数字和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2，求三大社团总人数.
2.解方程组：
目的：检测本课所学，验收学生的学习成效.
教学要求与效果：学生可以根据自己的情况自行选择检测题，限时练习、及时反馈，多进行激励性评价.
第七环节：布置作业
☆课本 P131
1.知识技能 T1
2.问题解决 T3、T4
☆☆拓展延伸
设计一道四元一次方程组，并解答
目的：课后作业设计包括了两个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业 2是为了扩展学生的思维深度，增加学生对数学问题本质的思考而设计，通过此题可让学生进一步运用消元思想解决问题．
六、板书设计
七、教学设计反思
1. 本节课的内容属于选修学习的内容，主要突出对数学兴趣浓厚、学有余力的同学进一步探究和拓展使用，在数学方法和思想方面需重点引导，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组，使学生明白解多元方程组的一般方法和思想，理解巩固环节需多注意多种解题方法的引导，并且比较各种解题方法之间的优劣，能够根据方程组的特点灵活选择恰当的方法，在应用的过程中形成技能技巧.
2. 因需要而学习，在应用中发展，结合实际问题引入三元一次方程组的有关概念，要让学生理解为什么要用三元一次方程组甚至多元方程组去求解实际问题的必要性，从而掌握本堂课的基础知识．在教学的过程中，要让学生充分理解对复杂的实际问题方程中元越多，等量关系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加减法解方程的优点和缺点，有关这一方面的题目要让学生充分讨论、交流、合作，其理解才会深刻．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_