北师大版八年级数学上册 5.1 认识二元一次方程组 教案

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第五章 二元一次方程
5.1 认识二元一次方程组 教学设计
【教材分析】
本节课是学生在一元一次方程已有认识的基础上，学习二元一次方程与二元一次方程组的相关概念. 由于求多个未知数的问题普遍存在，而方程组是解决这些问题的有力工具，因此，有必要研究未知数多于一个的方程或方程组. 《初中数学课程标准》强调要使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解. 本节课具有“承前”的作用：把前面的所有方程思想方法统一起来，利用实际问题背景，将抽象概念具体化，类比一元一次方程的相关概念进行学习，重点研究二元一次方程的定义及其解的意义、求法，这样有利于学生的思维发展. 同时，本节课具有“启后”的意义：通过本节课的“收尾”，让学生学会运用“类比法”的思想，通过类比一元一次方程的学习方法来研究二元一次方程（组）的内容，从而为以后二元一次方程组的解做铺垫. 因此，本节课应突出用类比的思想方法去解决问题：通过类比一元一次方程的方法来思考二元一次方程的相关问题.
【学情分析】
（一）学生的知识技能基础：
学生在此之前已经学习了一元一次方程及其解的概念，已经具备列一元一次方程解决实际问题的经验基础,对方程有了初步的认识，为本节课的学习做好了知识储备及思维储备，这为顺利完成本节课的教学任务打下基础.
（二）学生活动经验基础：
学生的逻辑思维已经从经验型逐渐向理论型发展，具有一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力，学生有能力经过自主探索和交流列出二元一次方程组，解决简单的实际问题.
【学习目标】
1.通过概念的正反例辨析，能准确识别出二元一次方程（组），并会判断一组数是否是某二元一次方程（组）的解.
2. 通过类比学习和合作交流，归纳总结出二元一次方程（组）及其解的概念，提高类比分析和归纳概括的能力.
3.通过经历由实际问题抽象为二元一次方程（组）的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，养成良好的应用数学的意识，感悟方程思想；在数学文化的学习中，感受数学的巨大魅力.
【重难点】
重点：1.掌握二元一次方程及二元一次方程组的概念，理解它们解的含义；
2.判断一组数是否是二元一次方程(组)的解.
难点：从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想.
【教学方法】
在教学中，首先以问题链的形式复旧孕新，引发学生=独立发现问题，经过思考和探究，形成相应的概念，然后通过让学生经历探究数学建模的全过程，引导学生抓住问题的本质，正确、熟练地运用方程模型解决问题，领会数学建模的思想和方法，主要运用：类比教学法、探究式教学法、启发式教学法.
【教学过程】
在教学中，首先以问题链的形式复旧孕新，引发学生独立发现问题，经过思考和探究，形成相应的概念，然后通过让学生经历探究数学建模的全过程，引导学生抓住问题的本质，正确、熟练地运用方程模型解决问题，领会数学建模的思想和方法，主要运用：类比教学法、探究式教学法、启发式教学法.
【教学过程】
学习环节 学习活动 设计意图
问题导入 复旧孕新 17世纪法国数学家、哲学家笛卡尔曾经说过，“一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程.因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解”.
问题1：我们已经知道了方程的定义，学习了最基本的一类方程，即一元一次方程，你能举出几个例子，并说说它的定义吗？
问题2：哪位同学能举例说说你对一元一次方程概念中“元”和“次”含义的理解？
相传，用“元”这个字表示未知数，源于我国宋元时期的天元术；朱世杰在《四元玉鉴》中将天元术拓广为四元术.清末，李善兰用“天、地、人、物”分别代替英文字母x、y、z、w，于是，“天、地、人、物”成了表示未知数的符号，而“元”,即为未知数的统称
（教师结合数学史料丰富学生对“元”的认知）
问题3：类比一元一次方程这个概念，你认为我们还有可能学习哪些方程？ 让学生感受学习方程的重要性！
以问题链的形式导入新课，三个问题基于学生已有认知基础，在数学内部引发问题，由易到难，逐层深入，构成一个系统.特别是问题3，具有一定的开放性，可使学生的思维一下子被激活.他们可能会无所顾忌地说出很多方程，甚至n元n次方程……这组问题不仅可以提高学生对数学知识发生发展过程的逻辑必然性的认识，并且能给他们在思考问题时以类比的对象，有利于学生概括出二元一次方程的抽象定义，从而降低学习难度，加深他们对“元”和“次”的理解，为学生的后继学习奠定发展基础.
合作交流 探究新知 探究一：二元一次方程
思考：类比一元一次方程，你能试着给出二元一次方程的定义吗？
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程.
抢答环节：
判断下列哪些是二元一次方程，哪些不是，并说明理由.
探究二：二元一次方程组
情景一：“老牛小马驮包裹”
老牛和小马驮着包裹行走在路上，小马见老牛驮着沉重的包裹走起来有点吃力，就主动说：“老牛，您驮得太多了，把背上的包裹分点给我吧.”老牛说：“你还小，不能驮太多包裹. 再说我只比你多驮2个，不算多.”小马着急地说：“从我背上拿1个包裹给您，您的包裹数就是我的2倍了，还不算多？
思考：老牛和小马到底各驮了多少包裹？
（1）你是如何利用一元一次方程解决这个问题的？你的等量关系、方程各是什么？
（2）如果设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，你得到了怎样的方程？
（3）上述方程中，x所代表的对象相同吗？y 呢？
（4）你能给这类方程起个名字吗？试着再举出一个例子.
说一说：什么叫二元一次方程组？
规范定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组.
卡片游戏：
从下面6个方程中选择两个方程组成方程组，判断它是否为二元一次方程组？
情景二：公园门票
想一想：等量关系是什么？
你是怎么做的？动手写一写！
的解？
探究三：二元一次方程（组）的解
独立完成下面三个问题，完成后组内交流：
（1）x =6，y =2 适合方程x +y =8吗？x =5，y=3 呢？你还能找到适合方程x+y=8的一组x，y的值吗？你是怎样确定的？
（2）x =5，y =3适合方程5x +3y =34吗？x =2，y=8呢？适合该二元一次方程的未知数 x，y 的值的个数有多少？从中你发现了什么？
类比一元一次方程的解，你能试着给二元一次方程的解下个定义吗？它与一元一次方程的解有何区别？ 如何表示？
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的解.
问题3：你能找到一组同时适合x+y =8和5x +3y =34
的x，y值吗？你是怎样确定的？还能找到另一组同时适合这两个方程的未知数的值吗？
类比二元一次方程的解，你能试着给二元一次方程组的解下个定义吗？
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解. 类比一元一次方 程，学生很容易得出二元一次方程的定义，无形中也增强学生对数 学知识之间内在联系的感性认识.
抢答环节在检测概念的同时，有利于调动学生的学习积极性.
学习任何方程，首先要强调的都应是“解 决实际问题”.所以，在“数学内部”提出问 题后，教师通过设置问题情境，引导学生利用一元一次方程和二元一次方程（组）的知识将实际问题转化为数 学问题，这样就把“理解数学（教材）”与“理解学生”对接起来，实际上也把“数学有用” 真正体现在学习过程 中；学生通过解决具体问题，发现自己的想法“果然有用”，其学习兴趣也就“自然而然”被激发了.改编的老牛小马情境中渗透了德育教育.
卡片游戏的设置意在让学生在轻松的氛围中检测新知.
解决问题过程中， 激发学生对二元一次方程组的解的研究热情.
对于问题1，2，经过尝试，每名学生都能找到一组使方程成立的未知数的值，而且不同的学生所找未知数的值不尽相同，学生初步感受到二元一次方程有无数组解；至于问题 3，学生经过尝试，找不到第二组适合两个方程的公共解，初步感受到二元一次方程组只有一组解. 学生进而明白在解决含有两个未知量的实际问题时，如果设两个未知数，列一个方程无法解决问题，需要列二元一次方程组处理. 随后教师进一步通过问题驱动，引导学生归纳二元一次方程和二元一次方程组的解.
趣味数学 从历史上看，二元一次方程组问题和一元一次方程问题几乎出现得一样早.对于二元问题，我们既可以选择一个量作为未知量，也可以选择两个量作为未知量，前者得到的是一元一次方程，后者得到的则是二元一次方程组.《九章算术》中的“三禾”问题、《孙子算经》中的“鸡兔同笼”、《四元玉鉴》中的“二果问价”、《算法统宗》中的“僧分馒头”问题等都是经典的二元问题.而这仅仅是我们数学文化的冰山一角！ 渗透数学史，让学生感受数学的文化价值.
达标检测 反馈提升 1.如果方程是二元一次方程，那么m= n= .
2.在下面的5组数值中
①②③④⑤
二元一次方程的解有；
二元一次方程组的解是.
3.根据题意，列方程组（不解方程）
《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子， 其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的三分之一，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
【说明】解应用题读懂题意是关键，最主要的是从实际问题中找到两个相等关系，通过设适当的两个未知数，用含有未知数的代数式表示数量关系，列出两个二元一次方程.
4.如果是的解，那么m= n= .
5. 写出一个以为解的二元一次方程组为
（答案不唯一） 反馈教学，升华知识.使学生的认知结构得到优化.
浪漫数学 笛卡尔的心形曲线 营造轻松的课堂氛围
自主小结 总结升华 （1）本节课我们研究了哪些内容？（提示：知识和数学思想方法）你能简单描述一下研究的过程吗？
（2）通过本节课的学习，我们能解决哪些问题？
（3）根据本节课的研究经历，你能提出一个问题作为接下来的研究内容吗？ 问题、直接指向学科思想渗透和学习方法迁移，有利于发展学生的数学核心素养，提高他们的数学学习能力.可以说，研究解决上述问题的过程中，教师启发式讲授的“逻辑链”与学生自主式学习活动的“思维链”之间达到了相互催生牵引、和谐发展的境界，可谓“一箭双雕”.
布置作业 必做题：课本 106 页习题 1,2，3
拓展题：（选做）
1.八张扑克牌恰好可拼成一个大的长方形（图 1），用同样的这八张牌可拼成一个大正方形，但中间留下一个边长为2 cm的小正方形（图 2）.你能算出每张扑克牌的长和宽吗？
2.某人工作1月（30天），得7比赞（古罗马货币），怠工一月，付给工头4比赞.月末，他从工头处得到1比赞.问：此人工作几天，怠工几天.（斐波那契《计算之书》） 必做题是对本节课知识的反馈和巩固，选做题是对本节课知识的延伸，拓展题对本节课知识的拓展，让不同的学生在数学上得到不同的发展，照顾到全体学生.
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