5.4 应用二元一次方程组--增收节支 教学设计

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第五章 二元一次方程组
●教学课题：5.4 应用二元一次方程组——增收节支
●教学目标：
1.借助表格分析较为复杂问题的数量关系，并建立方程组解决问题.
2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
3.体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识.
●教学重点：
1.初步体会列方程组解决实际问题的步骤.
2.学会用图表分析较复杂的数量关系问题.
●教学难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；会用图表分析数量关系.
●教学方法：自学、讨论、引导法.
●教学过程：
Ⅰ.巧设情境，引入新课
［师］“数学来源于生活，又服务于生活”，今天早上小明请教老师一个问题(用PPT展示).对学生提出目标，相信学完本节课的内容之后我们就可以帮小明解决他的疑问.引出本节课的课题.5.4应用二元一次方程组——增收节支（板书）
PPT展示问题：开商店
小明想开一家时尚G点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他？
设计意图：通过同学们熟悉的生活中经济问题去激发学生学习本节课的兴趣，导入课题.开商店、购物等生活实例，再配以精美的图片，进一步提高学生兴趣，激发他们的求知欲和学习热情.更重要的是，这个实例又作为学生学完本节课后的一道巩固提高练习题，使本节课前后照应，形成一个整体.
教学效果：这个生活实例是学生感兴趣的实例，带给学生新奇，带给了学生解决问题的欲望.此外，前后照应，使整节课浑然一体.
［师］我们先来了解本节课的学习目标.老师展示学习目标.
［生］一起看.
学习目标：
1.借助表格分析较为复杂问题的数量关系，并建立方程组解决问题.
2.进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程.
3.体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识.
Ⅱ.讲授新课
［师］带着我们的学习目标让我们开启今天的数学学习之旅吧！
一、复习回顾
［师］我们在七年级已经对增长率和利润有了一些了解，让我们先完成三道题.（PPT展示）
1.某工厂去年的总收入是x万元, 今年的总收入比去年增加了20%, 则今年的总收入是__________万元;
2.若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;
3.若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________.
［师］谁来分享一下这三道题的答案.
［生］
［师］我们能找出这三道题的法宝吗？
［生］1.某工厂去年的总收入是x万元, 今年的总收入比去年增加了20%, 则今年的总收入是__________万元;
2.若该厂去年的总支出为y万元, 今年的总支出比去年减少了10%, 则今年的总支出是__________万元;
3.若该厂今年的利润为780万元, 那么由1, 2可得方程___________________.
［师］老师补充并板书:a(1±x)=b
利润=总收入-总支出
［师］我们能不能用所学的公式及结论解决类似地问题呢？
【收获】常用的两个结论：1. a(1±x)=b 2.利润=总收入-总支出
设计意图：“知识回顾”，减少学生学习新课的困难.
教学效果：经验提升使学生在表示数量关系时更加准确.
下面让我们继续我们的数学之旅！进行我们的第二个学习环节：
二、合作探究
［师］小组合作探究.
（在学生谈论的过程中，老师在班级巡视，发现问题及时解决.）
经激烈的谈论之后：
［师］谁来给大家分享一下你们小组讨论的结果.
某工厂去年的利润（总收入—总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元？
［生］先根据题意填写表格:
分析：设去年的总收入为x万元，总支出为y元.则有
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年 x y 200
今年 (1+20%)x (1-10%)y 780
［生］找出等量关系.
［生］根据上表及等量关系，可列方程组：
解得：
答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元.
［师］其他学生有问题吗？
［生］有.
［生］这个方程的系数不是整数，我在解的时候把系数化整再消元，用的时间比较长，有没有简单的方法来解方程组呢?
［师］谁能来帮帮这位同学呢？
［生］解：
整理得:
得: ③
②-③得:
把y=1800代入①得：x=2000
［师］我们在解方程组时选择合适的方法会使计算简便，更省时.注意在今后的学习中积累经验.
［师］提升追问：能求出今年的总收入和总支出吗？
［生］可以,直接由表格可得：
今年的总收入为：
今年的总支出为：
［师］继续追问：如果题中的问题是求今年的总收入和总支出，可以直接设未知数吗？
［生］填写表格并讲解：
设今年的总收入为x万元，总支出为y元，
总收入/万元 总支出/万元 利润/万元
去年

200
今年 x y 780
解:设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，由题意，得
［师］通过例题和变式题的比较，即直接设未知数与间接设未知数的比较，让学生感受到列方程（组）时，应选取思维难度和计算难较低的未知数设法.
例2 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品．每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质．若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？
［生］先根据题意填写表格：
分析：设每餐需要甲、乙两种原料各x, y克，则有下表：
甲原料x克 乙原料y克 所配制的营养品
其中含蛋白质量 0.5x单位 0.7y单位 35单位
其中含铁质量 x单位 0.4y单位 40单位
［生］找出等量关系.
［生］由上表及等量关系可列方程组：
化简得：
解得：
答：每餐需甲原料28克，乙原料30克.
［师］评价：此题数量关系较为复杂，挑选一名程度比较好的学生进行讲解.该学生先用不同颜色的笔画出题目的已知数量（起到了较好效果），引导其他学生思考，然后教学生先填表格分析数量关系的方法；再由等量关系来列方程组.
［师］学法小结：
1.图表分析有利于理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚.
2.借助方程组可解决实际问题.
思路总结：
1.明确所求，设未知数.
2.根据题目中的数量关系，填写表格.
3.找出等量关系，列方程组.
4.解方程组，并作答.
设计意图：
通过“例题1”、“例题2”使学生初步利用图表理清题目中的数量关系.再结合学生在以前的学习中已掌握的通过等量关系列方程的方法，使学生基本掌握运用图表去解决有关应用题的方法，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.
通过学法小结，加强学生对图表分析数量关系的概念和应用意识.
通过思路总结，规范做题过程.
教学效果：由于有了例题1的探索，学生在例题2的探索的分析过程中很快通过表格理清了数量关系，利用等量关系列出正确的方程组，培养了学生分析问题的能力.
［师］你学会了吗？
［生］学会了.
［师］让我们来解决小明的困惑吧?
三、解决问题
小明想开一家时尚G点专卖店，开店前他到其它专卖店调查价格．他看中了一套新款春装，成本共500元，专卖店店员告诉他在上市时通常将上衣按50﹪的利润定价，裤子按40﹪的利润定价。由于新年将至，节日优惠，在实际出售时，为吸引顾客，两件服装均按9折出售，这样专卖店共获利157元，小明觉得上衣款式好，销路会好些，想问问上衣的成本价，但店员有事走开了，你能帮助他吗？
［生］填写表格并讲解：
分析：设上衣的成本价为x元，裙子的成本价为y元：
上衣（元） 裤子（元） 总和
成本 x y 500
售价


［生］找出等量关系.
［生］由上表及等量关系可列方程组

整理得：
解得：
答：上衣成本300元，裙子成本300元.
设计意图：
在探讨过“例题 1 及变式题”、“例题 2”的基础上来解决小明的问题，不少学生跃跃欲试.此外，前后照应，使整节课浑然一体.也加深了学生利用图表理清题目中的数量关系.
教学效果：学生能较好地填完表格，并分析解答.但由于时间较紧，只列方程组，未解答.
［师］我们利用表格较快的分析了题目中的数量关系，从而列出方程组解决了生活中的实际问题.帮了小明一个大忙，掌声鼓励一下自己吧！
四、课堂小结
［师］同学们，经历了课上的探究活动，你有哪些收获？今后你会选择什么样的方法解决数学和生活中的较为复杂问题中的数量关系呢？（学生畅所欲言, 不足的地方教师补充和强调）
［师］
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
2．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
3．利用图表分析的方法的思路可总结如下：
①明确所求，设未知数；
②根据题目中的数量关系，填写表格；
③找出等量关系，列方程组；
④解方程组，并作答.
同学们通过本节课的学习，不仅学会了用表格解决较为复杂的问题，还要会用数学知识来解决实际问题.下面我们检查一下大家这节课的收获，请完成达标检测.
设计意图：通过学生的畅所欲言，谈谈自己这节课的收获，使学生养成学习—总结—学习的良好学习习惯，发挥自我评价的作用，进一步培养学生的语言表达能力.
教学效果: 学生认识数学与现实世界密切联系.培养学生的必要的经济意识，增强他们节约成本、有效合理利用资源的意识.
五、达标检测
1．一二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%.如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，那么一、二两班各有多少名学生?
设一、二两班分别有学生人数为x名，y名,填写下表并求出x，y的值.
一班 二班 两班总和
学生人数


达标学生人数


2.甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？
设甲、乙两人的速度分别是x千米/时，y千米/时，填写下表并求x，y的值.
甲行走的路程 乙行走的路程 甲、乙两人行走的路程之和
第一种情况 （甲先走2h）


第二种情况 （乙先走2h）


［师］哪位同学分享一下你的答案？
［生］学生的分享.
［师］同学们在以上的学习环节表现的非常棒！用我们所学的数学知识解决了实际问题.希望把这种学习劲头发扬下去.让我们再来挑战一下自己吧！
设计意图: 巩固学生所学的知识和方法.强化图表分析数量关系的应用.
教学效果：学生能正确的用表格分析、思考问题,并能讲解清楚自己的做题过程.增强了学生学习的信心.
六、提升训练
3.编题
能根据这个方程组编一个实际背景的应用题吗？
活动规则：六个同学一组编题，互评；然后推选出有创意，符合实际生活的例子进行全班交流.设计意图：巩固、提高学生所学的知识和方法，强化图表分析数量关系的应用.通过学生的编题活动，形成互动，促进合作学习，培养学生逆向思维能力，通过合作学习培养学生合作、创新的学习方式.通过学生互相评价、修正，使课堂气氛轻松，让学生思路开阔，富有创意.
教学效果：本例是符合本校学生实际，激发学习兴趣，图表分析收到了良好的效果；编题时，学生相互交流，互相启发，使整个课堂到此时创新频出，高潮迭起.虽然在编题的过程中出现的问题很多，但问题没有办法多.学生通过相互合作，互相提醒，互相指正，大家越战越勇，毫无退缩之意.同时也对生活中的很多实际问题感兴趣，更加有用数学知识解决问题的欲望.
七、布置作业
课本 119 页：2、3、4 .
IV、课后反思
1．突破难点策略---列表分析法
列方程解应用题的分析方法多种多样，本课着力于介绍分析问题的一种比较有效的方法— —图表分析法.列表分析有助于学生明确各数量间的关系，将较复杂的数量关系转化的更加清晰简洁，帮助学生理清题中的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚很容易根据相等关系列方程，较易突破难点；在实际教学中，学生掌握了图表分析的方法后，降低了思维难度，有效提高了准确率.学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同时，学到了一种分析数据的方法，为以后的学习生活做了方法的准备.也使学生进一步认识到数学来源于生活，因此，要努力学好数学以便更好地服务于生活.
2．学生能力的培养本节课是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的教育理念上，融入了新课标的思想内涵，尊重学生，在设计中突出体现了学生的主体地位.学生各种综合能力的培养也融合在这节课的教学设计中.本课为达成教学目标，通过设置与经济生活密切相关的一些问题，以及编写应用题环节，希望学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活 环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成用数学的意识；并且通过对问题的解决，培养学生的合理优化的经济意识，增强他们的节约成本，有效合理利用资源的意识.
3．评价方式本课从学生回答问题、练习情况等方面反馈学生对知识的理解、运用.教师根据反馈信息适时点拨与指导；同时从新课标评价理念出发，教师在课堂教学中应尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表达方式和解题方法的多样化，形成发展性评价．提高学生学数学，用数学的信心.通过达标检测的结果，发现A、B层和C层次大部分同学对这节课的知识掌握的很扎实，并会领会运用，达到了本节课的预设的三个目标，但在学生的展示和探究的过程中，有的同学出现做题不完整，有的同学太紧张，以至于分享时出现错误.我会在以后的教学中加以引导和改进.
4．注意改进的方面由于受教学时间限制，强调利用方程组对经济类实际问题的解决，对其他类型的问题有所忽略，教学中可以根据学情加以补充；同时对于方程组的解法教学中也可根据学情适当加强.
此外特别需要说明的是，由于本班学生状况较好，因此，整体而言，课堂容量偏大，因此，对于一般班级，建议在练习提升部分仅仅选择或者改变部分问题，供课堂教学使用.
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