《2.4线段、角的轴对称性》同步优生专题提升训练2021-2022学年苏科版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》同步优生专题提升训练（附答案）
1．如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．
求证：（1）OC＝OD，
（2）OE是线段CD的垂直平分线．
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC． （3）试说明CE＝BF．
5．如图，已知∠BAC＝60°，∠B＝80°，DE垂直平分AC交BC于点D，交AC于E．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝10，BC＝12，求△ABD的周长．
6．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．
7．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE．
（1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数；
（2）若AC＝5，DC＝4，求△ABC的周长．
10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：
（1）∠EAD＝∠EDA；
（2）DF∥AC；
（3）∠EAC＝∠B．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
13．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．
（1）求线段BC的长；
（2）连接OA，求线段OA的长；
（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
14．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．
求证：∠FAC＝∠B．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，
①请你判断并写出FE与FD之间的数量关系．
②如果∠ACB不是直角，其他条件不变，①中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
16．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于点D，∠C＝60°．
（1）△ACD是什么特殊三角形？请说明理由；
（2）若AE＝5cm，△ABD的周长为16cm，求△ABC的周长．
17．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC、
∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明．
18．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC面积是27cm2，AB＝10cm，AC＝8cm．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求DE的长．
19．已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．
20．如图，已知锐角△ABC中，AB、AC边的中垂线交于点O，∠A＝α（0°＜α＜90°），
（1）求∠BOC；
（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
参考答案
1．证明：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE＝CE，OE＝OE，
在Rt△ODE与Rt△OCE中，，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），
∴OC＝OD；
（2）∵△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
2．（1）解：∵∠BAC＝50°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠BAC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠EDA＝90°﹣25°＝65°．
（2）证明∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAC，
∵AD＝AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE＝AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，AD平分线段EC，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
3．证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠2，DE⊥AC，∠ABC＝90°
∴DE＝BD，
∵∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴BD＝BF，
∴DE＝BF．
4．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
5．解：（1）∵∠BAC＝60°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B
＝180°﹣60°﹣80°
＝40°，
∵DE垂直平分AC
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝60°﹣40°＝20°；
（2）由（1）知DA＝DC
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC＝10+12＝22．
6．（1）证明：∵∠A＝∠ABE，
∴EA＝EB，
∵AD＝DB，
∴DF是线段AB的垂直平分线；
（2）解：∵∠A＝46°，
∴∠ABE＝∠A＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝67°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝21°，
∠F＝90°﹣∠ABC＝23°．
7．解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
8．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDE＝90°，
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BCE，
∴ED＝EC，
∵ED＝EC，BD＝BC，
∴BE垂直平分CD．
9．（1）解：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠C＝∠EAC＝40°，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠BEA＝2∠C＝80°，
∴∠BAD＝90°﹣80°＝10°；
（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，
∵BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+AE＝DE+CE＝DC，
∴C△ABC＝AB+BC+AC＝2DC+AC＝2×4+5＝13．．
10．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵AD是∠BAC平分线，
∴∠FAD＝∠CAD，
∴∠FDA＝∠CAD，
∴DF∥AC；
（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAC＝∠B．
11．（1）证明：
过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴＝∠DEB+∠ABC，
∴∠DEB＝（∠CDA﹣∠ABC）＝∠BAD＝30°．
12．解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，
∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，
∴∠CED+∠CBF＝90°，
∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．
13．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线
∴DA＝DB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；
（2）∵l1是AB边的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是AC边的垂直平分线，
∴OA＝OC，
∵OB+OC+BC＝16cm，
∴OA＝0B＝OC＝5cm；
（3）∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC+∠ACB＝60°，
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．
14．证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠FDA，
∵∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B．
15．解：①相等，
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°，
∵∠MFC＝45°，∠MFN＝120°，
∴∠NFE＝15°，
∴∠NEF＝75°＝∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
，
∴△DMF≌△ENF（AAS），
∴FE＝FD；
②成立．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC＝60°，
∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°，
∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC）＝180°﹣（180°﹣60°）＝120°，
∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°．
又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM＝∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE＝FD．
16．解：（1）△ACD是等边三角形，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵∠C＝60°，
∴△ACD是等边三角形；
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝2×5＝10，AD＝CD，
∵C△ABD＝AB+BD+AD＝16，
∴C△ABC＝AB+BC+AC，
＝AB+（BD+CD）+AC
＝AB+BD+AD+AC
＝C△ABD+AC
＝16+10＝26，
答：△ABC的周长是26cm．
17．解：OI⊥BC．
理由：连接OA，过点I作IM⊥OB于点M，过点I作IN⊥OC于点N，过点I作IG⊥BC于点G，
∵OE，OF分别是AB，AC边的中垂线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∵∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，
∴IM＝IG，IN＝IG，
∴IM＝IN，
∴点I在∠BOC的角平分线上，
∵OB＝OC，
∴OI⊥BC．
18．解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADE与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD，
∴DE＝DF；
（2）∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵△ABC的面积是27cm2，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴×10?DE+×8?DF＝27，
解得DE＝3cm．
19．证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵CO＝CO，∠DCO＝∠BCO，
∴△DCO≌△BCO（ASA）
∴CB＝CD，
∴OB＝OD，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，又∠DOC＝90°，
∴EC平分∠BED，
∴点O到EB与ED的距离相等．
20．解：（1）AB、AC边的中垂线交于点O，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣∠OAB﹣∠OBA）+（180°﹣∠OAC﹣∠OCA），
∴∠AOB+∠AOC＝（180°﹣2∠OAB）+（180°﹣2∠OAC）＝360°﹣2（∠OAB+∠OAC）＝360°﹣2∠A＝360°﹣2α，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝2α；
（2）∠ABO+∠ACB为定值，
∵BO＝CO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBC＝（180°﹣2∠A）＝90°﹣α，
∵∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠A＝180°，
∴∠ABO+∠ACB＝180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°