《2.5等腰三角形的轴对称性》能力达标专题提升训练2021-2022学年苏科版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》能力达标专题提升训练（附答案）
1．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（　　）
A．55°，55° B．70°，40°或70°，55°
C．70°，40° D．55°，55°或70°，40°
2．如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（　　）
A． B． C．a﹣b D．b﹣a
3．如图，将等边△ABC的顶点B放在一组平行线的直线b上，边AB，AC分别交直线a于D，E两点，若∠1＝40°，则∠2的大小为（　　）
A．24° B．22° C．20° D．18°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点D在BC上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则四边形DEAF的周长是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（　　）
A．33° B．30° C．26° D．23°
6．等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm，则此三角形的周长是（　　）
A．15cm B．20cm C．25cm D．20cm或25cm
7．如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（　　）
A．20° B．140° C．20°或140° D．40°或140°
8．如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
9．若一条长为32cm的细线能围成一边长等于8cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为 　 　cm．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E，若∠E＝37°，则∠BAC＝　 　．
11．如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若AB+AC＝10，则△ADE的周长等于　 　．
12．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　 　时，△ABC是等腰三角形．
13．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是　 　．
14．如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
15．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
（1）证明：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，
16．如图，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，连接AD、BE，且AD、BE相交于点P，∠AEB＝∠CDA．
（1）求∠BPD的度数．
（2）过点B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的长．
17．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD．
（1）求证：△DEC是等腰三角形．
（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于M，交AC于N．
（1）若∠ABC＝70°，求∠MNA的度数．
（2）连接NB，若AB＝8cm，△NBC的周长是14cm．求BC的长．
19．如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．
（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
参考答案
1．解：分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
（2）若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
2．解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，
∴∠ABD＝36°＝∠A，
∴BD＝AD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∵AB＝AC＝a，BC＝b，
∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，
故选：C．
3．解：过点C作CF∥a，则CF∥a∥b，
∴∠1＝∠ACF＝40°，∠2＝∠BCF．
∵等边三角形ABC中，∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝60°﹣40°＝20°，
∴∠2＝∠BCF＝20°．
故选：C．
4．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
则四边形AFDE是平行四边形，
∠B＝∠FDC，∠EDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠EDB，∠C＝∠FDC
∴BE＝ED，DF＝FC，
所以：?AFDE的周长等于AB+AC＝12．
故选：D．
5．解：∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝46°，CD⊥AB于D，
∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣46°）＝×134°＝67°，
∴∠DCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣67°＝23°，
故选：D．
6．解：5cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、5cm、10cm，
∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，
10cm是腰长时，三角形的三边分别为5cm、10cm、10cm，
能组成三角形，
周长＝5+10+10＝25cm，
综上所述，此三角形的周长是25cm．
故选：C．
7．解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，
∴∠DFF'＝∠DF'F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB＝∠DEB，
∵DE∥AB，∠ABC＝40°
∴∠DEB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DFB＝140°；
当点F位于点F'处时，
∵DF＝DF'，
∴∠DF'B＝∠DFF'＝40°，故选：D．
8．解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
9．解：若腰长为8cm，则此三角形的另一边长为32﹣8﹣8＝16（cm），
而8+8＝16，无法构成三角形，
∴此情形舍去；
若底边为8cm，则腰长为（32﹣8）÷2＝12（cm），
此时12+12＞8，12+8＞8，可以构成三角形．
故答案为：12．
10．解：∵AE∥BD，
∴∠DBC＝∠E＝37°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠DBC＝74°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝74°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝32°．
故答案为：32°．
11．解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AD+DF+AE+EF＝（AD+BD）+（AE+CE）＝AB+AC＝10，
故答案为：10．
12．解：∵∠A＝80°，
∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°、50°、20°．
13．解：根据三角形外角的性质得：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．
故答案为：∠1＝2∠2．
14．解：（1）∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
15．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
而∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝60°，BD＝4，
∴BE＝BD＝2，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝4．
16．解：（1）由△ABC是等边三角形可得，
∠ABC＝∠C＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∠AEB＝∠CDA，
∴∠BAD＝∠EBC，
∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，
∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；
（2）∵BQ⊥AD于Q，
∴∠BQP＝90°，
∵∠BPD＝60°，
∴∠PBQ＝90°﹣∠BPD＝30°，
在Rt△BPQ中，
∵PQ＝3，∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵PE＝1，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
17．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，
∴∠E＝∠DCE，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形；
（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，
∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，
∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，
∴α＝15°，
∴∠E＝∠DCE＝45°，
∴∠EDC＝90°，
如图，过D作DH⊥CE于H，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴∠EDH＝∠E＝45°，
∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，
∴△EDC的面积＝EC?DH＝8×4＝16．
18．（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝40°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AN＝BN，
∴∠ABN＝∠A＝40°，
∴∠ANB＝100°，
∴∠MNA＝50°；
（2）①∵AN＝BN，
∴BN+CN＝AN+CN＝AC，
∵AB＝AC＝8cm，
∴BN+CN＝8cm，
∵△NBC的周长是14cm．
∴BC＝14﹣8＝6cm．
19．解：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，即△BPQ为直角三角形．
理由是：
∵AB＝AC＝BC＝6cm，∴当点Q到达点C时，BP＝3cm，
∴点P为AB的中点．
∴QP⊥BA（等边三角形三线合一的性质）．
（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，
∴BP＝PQ＝BQ，
∴6﹣t＝2t，
解得t＝2．
∴当t＝2时，△BPQ是个等边三角形．
20．解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（cm），
∴BC+CQ＝22（cm），
∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（cm），
∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形