《2.5等腰三角形的轴对称性》优生专题提升训练2021-2022学年苏科版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021年苏科版八年级数学上册《2.5等腰三角形的轴对称性》优生专题提升训练（附答案）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形．
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝　 　．
5．如果等腰三角形的一腰上的高等于腰长的一半，则其一个底角的度数是　 　．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝36°，DE交线段AC于点E，点D在运动过程中，若△ADE是等腰三角形，则∠BDA的度数为　 　．
7．一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是　 　．
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，AB＝AC，BD＝BA，点E在BC的延长线上，CA＝CE，连接AE，则∠DAE的度数为　 　°．
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，点E为对角线AC与BD的交点，∠AEB＝70°，若∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD，则∠ACD＝　 　°．
10．已知P是∠AOB（∠AOB＜90°）平分线上一点，点C在射线OA上，且∠OCP＝135°，点D在射线OB上运动．若DP＝CP，则∠ODP＝　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　 　°．
12．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　 　度．
13．在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝　 　秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
14．如图，等边△ABC的边长为4cm，点Q是AC的中点，若动点P以2cm/秒的速度从点A出发沿A→B→A方向运动设运动时间为t秒，连接PQ，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为　 　秒．
15．如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
16．已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．
17．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
18．（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．过D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，请说明EF＝BE+CF的理由．
（2）如图2，BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，若仍然过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，你能否找到EF与BE、CF之间类似的数量关系？
19．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
20．如图，在等边△ABC中，边AB＝6厘米，若动点P从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为1厘米/秒，设点P的运动时间为t秒．
（1）当t＝3时，判断AP与BC的位置关系，并说明理由；
（2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，求t的值；
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为1.5厘米/秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
参考答案
1．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB?DE＝AB?DE＝2AB，
∵S△ABC＝AC?BF，
∴AC?BF＝2AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝2，
∴BF＝4，
故选：B．
2．解：当AB为腰时，点C的个数有2个；
当AB为底时，点C的个数有1个，
故选：C．
3．解：∵AB＝AC＝BD，
∴△ABD与△BAC是等腰三角形，
在△ABD与△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
∴∠D＝∠C＝72°，
∴∠BAD＝∠D＝∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴∠DAE＝∠CBE＝32°，
∴∠AED＝∠BEC＝72°，
∴∠D＝∠AED＝∠C＝∠BE，
∴△ADE和△BCE是等腰三角形，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△ADE≌△BCE（AAS），
∴AE＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
故选：C．
4．解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
5．解：如图①：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝75°；
如图②：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
综上，这个三角形的底角为：75°或15°．
故答案为：15°或75°．
6．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝36°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣36°）＝72°，
∵∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°，
∴∠BAD＝108°﹣72°＝36°；
∴∠BDA＝180°﹣36°﹣36°＝108°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BDA＝180°﹣72°﹣36°＝72°；
∴当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是108°或72°．
故答案为：108°或72°．
7．解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9＝22．
故答案为：22．
8．解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，
在△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝112.5°﹣67.5°＝45°，
故答案为：45．
9．解：设∠CBD＝x，
由题意得：∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD＝4x，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝（180°﹣4x）＝90°﹣2x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°，
∴3x+90°﹣2x+70°＝180°
∴x＝20°，
∴∠CBD＝20°，∠ADB＝40°，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°，
在BD上取一点F使BF＝BA，延长AF交BC的延长线于点G，连接DG，
∴△ABF是等边三角形，
∴AF＝BF，∠BAF＝∠AFB＝60°，
∵∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝80°，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝20°，
∴∠DAF＝∠CBD＝∠CBF，
在△ADF和△BGF中，
，
∴△ADF≌△BGF（ASA），
∴FD＝FG，
∵∠DFG＝∠AFB＝60°，
∴△DFG是等边三角形，
∴DF＝DG，
连接CF，
∴△BCF为等腰三角形，
∴∠BFC＝，
∴∠CFG＝180°﹣∠AFB﹣∠BFC＝40°，
∵∠CGF＝∠BFA﹣∠DBC＝40°，
∴∠CFG＝∠CGF，
∴CF＝CG，
∵DF＝DG，DC＝DC，
∴△DFC≌△DGC，
∴∠FDC＝∠GDC＝＝30°，
∵∠DEC＝∠AEB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DEC﹣∠FDC＝80°，
故答案为：80．
10．解：如图，过P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
又∵P是∠AOB（∠AOB＜90°）平分线上一点，
∴PM＝PN．
在Rt△PMD与Rt△PNC中，
，
∴Rt△PMD≌Rt△PNC（HL），
∴∠PDM＝∠PCN．
∵∠OCP＝135°，
∴∠PCN＝45°，
∴∠PDM＝45°，
当D落在D1的位置时，∠ODP＝135°；
当D落在D2的位置时，∠ODP＝45°．
即∠ODP＝135°或45°．
故答案为：135°或45°．
11．解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A＝×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
12．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，
∵CG＝CD，
∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝15°．
故答案为：15．
13．解：分两种情况：
（1）P点在AB上时，如图，
∵AB＝AC＝12cm，BD＝CD＝BC＝×6＝3cm，
设P点运动了t秒，则BP＝t，AP＝12﹣t，由题意得：
BP+BD＝（AP+AC+CD）或（BP+BD）＝AP+AC+CD，
∴t+3＝（12﹣t+12+3）①或（t+3）＝12﹣t+12+3②，
解①得t＝7秒，解②得，t＝17（舍去）；
（2）P点在AC上时，如图，
∵AB＝AC＝12cm，BD＝CD＝BC＝×6＝3cm，P点运动了t秒，
则AB+AP＝t，PC＝AB+AC﹣t＝24﹣t，
由题意得：BD+AB+AP＝2（PC+CD）或2（BD+AB+AP）＝PC+CD，
∴3+t＝2（24﹣t+3）①或2（3+t）＝24﹣t+3②
解①得t＝17秒，解②得，t＝7秒（舍去）．
故当t＝7或17秒时，过D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
故答案为：7或17．
14．解：如图，连接PQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵△APQ是等腰三角形，
∴△APQ是等边三角形，
又∵Q是AC的中点，
∴AQ＝AP＝2cm，
分两种情况：
①当点P由A向B运动时，t＝＝＝1（秒）；
②当点P由B向A运动时，t＝＝＝3（秒）；
综上所述，当△APQ是等腰三角形时，则t的值为1或3秒．
故答案为：1或3．
15．解：（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN．
16．解：（1）∵EF∥AB．
∴∠FEC＝∠A＝30°．
∠EFC＝∠B＝30°
∴EC＝CF．
又∵AC＝BC
∴AE＝BF
D是AB中点．
∴DB＝AD
∴△ADE≌△BDF．
∴DE＝DF
（2）过D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠ACB）÷2＝30°，
∴∠ADM＝∠BDN＝60°，
∴∠MDN＝180°﹣∠ADM﹣∠BDN＝60°．
∵AC＝BC、AD＝BD，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴DM＝DN．
由∠MDN＝60°、∠EDF＝60°，可知：
一、当M与E重合时，N就一定与F重合．此时：
DM＝DE、DN＝DF，结合证得的DM＝DN，得：DE＝DF，但EF∥AB，不合题意．
二、当M落在C、E之间时，N就一定落在B、F之间．此时：
∠EDM＝∠EDF﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∠FDN＝∠MDN﹣∠MDF＝60°﹣∠MDF，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
三、当M落在A、E之间时，N就一定落在C、F之间．此时：
∠EDM＝∠MDN﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∠FDN＝∠EDF﹣∠EDN＝60°﹣∠EDN，
∴∠EDM＝∠FDN，
又∵∠DME＝∠DNF＝90°、DM＝DN，
∴△DEM≌△DFN（ASA），
∴DE＝DF．
综上一、二、三所述，得：DE＝DF．
17．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
18．（1）∵在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD＝∠DBC，∠DCB＝∠FCD．
又∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝ED，CF＝FD，
∴EF＝ED+DF＝BE+CF．
即：EF＝BE+CF．
（2）不成立．EF＝BE﹣CF．理由如下（如图）：
∵BD平分∠ABC，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线
∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG
∵EF∥BC交AB于E，交AC于F，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，
∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，
∴BE＝DE，DF＝CF，
∴EF＝BE﹣CF．
19．解：（1）△DBC和△EAC会全等
证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°
∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD
∴∠BCD＝∠ACE
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
（2）∵△DBC≌△EAC
∴∠EAC＝∠B＝60°
又∠ACB＝60°
∴∠EAC＝∠ACB
∴AE∥BC
（3）结论：AE∥BC
理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形
∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°
∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE
在△DBC和△EAC中，
∵，
∴△DBC≌△EAC（SAS），
∴∠EAC＝∠B＝60°
又∵∠ACB＝60°
∴∠EAC＝∠ACB
∴AE∥BC．
20．解：（1）判断：AP⊥BC，
理由如下：如图1，
∵t＝3，
∴BP＝CP＝3，
∵AB＝AC，
∴AP⊥BC；
（2）当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，点P为AB中点或点P为AC中点，则CB+CP＝9或CB+BA+CP＝15，
∴t＝9或t＝15，
∴当△PBC的面积为△ABC面积的一半时，t的值为9或15；
（3）当点P在边BC上，且点Q在边AC上时，CP＝t，CQ＝1.5t
则t+1.5t＝9，
∴t＝3.6，
当点P在边AB上，且点Q在边BC上时，BP＝t﹣6，BQ＝1.5t﹣12，
则t﹣6+1.5t﹣12＝9，
∴t＝10.8，
所以当t为3.6或10.8秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．