2.4线段、角的轴对称性 能力达标专题突破训练2021-2022学年苏科版八年级数学上册 （Word版 含答案）

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》能力达标
专题突破训练（附答案）
1．如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（　　）
A．27 B．36 C．18 D．20
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC交边BC于D点．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）
A．15 B．30 C．10 D．20
3．如图，在△ABC中，D是AB垂直平分线上一点，∠CAD＝80°，∠C＝50°，则∠B的度数是（　　）
A．25° B．30° C．40° D．50°
4．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　）
A．58° B．64° C．122° D．124°
7．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）
A．10.5 B．12 C．15 D．18
8．如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（　　）
A．80° B．90° C．100° D．105°
9．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
10．如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（　　）
A．0 B．5 C．6 D．7
11．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它的三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　 　．
13．如图，AE是∠CAM的角平分线，点B在射线AM上，DE是线段BC的中垂线交AE于E，过点E作AM的垂线交AM于点F．若∠ACB＝28°，∠EBD＝25°，则∠AED＝　 　°．
14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC＝90°，∠A＝13°，则∠C＝　 　°．
15．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝3，BC＝6，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　 　．
16．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是　 　．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，∠EAF＝60°，求AD的长．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
（1）若∠A＝35°，求∠CBE的度数；
（2）若AE＝3，EC＝1，求△ABC的面积．
19．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
20.教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容
．
定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
如图②，△ABC的周长是12，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3，求△ABC的面积．
21．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
23．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．
参考答案
1．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∴四边形ABOC的面积＝S△ABO+S△ACO
＝?AB?OE+?AC?OF
＝×3×（AB+AC）
＝×3×18
＝27．
故选：A．
2．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝AB?DE＝×10×3＝15．
故选：A．
3．解：∵∠CAD＝80°，∠C＝50°，
∴∠ADC＝50°，
∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝∠ADC＝25°．
故选：A．
4．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故选：B．
5．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PE＝AP，
同理可得：PE＝PD，
∴PE＝AD，
∵AD＝8，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4，
故选：B．
6．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×64°
＝122°．
故选：C．
7．解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝AD+BD+AC＝AB+AC，
∵AB＝9，AC＝6，
∴△ACD的周长＝9+6＝15，
故选：C．
8．解：∵∠B＝20°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B＝20°，∠QAC＝∠C＝25°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠PAB﹣∠QAC＝135°﹣20°﹣25°＝90°，
故选：B．
9．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，
∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．
故选：B．
10．解：连接OP1，OP2，P1P2，
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2≥P1P2，
0＜P1P2≤5.6，
故选：B．
11．解：作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故选D．
12．解：如图，作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为30，40，50，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，
故答案为：3：4：5．
13．解：连接CE，过E作ER⊥AC于R，CD交ER于Q，AE交BC于O，
∵DE是线段BC的中垂线，
∴∠EDC＝90°，CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBD，
∵∠EBD＝25°，
∴∠ECB＝25°，
∴∠DEB＝∠CED＝90°﹣25°＝65°，
∵ER⊥AC，ED⊥BC，
∴∠QRC＝∠QDE＝90°，
∴∠ACB+∠CQR＝90°，∠EQD+∠QED＝90°，
∵∠CQR＝∠EQD，
∴∠ACB＝∠QED，
∵∠ACB＝28°，
∴∠QED＝28°，
∵AE平分∠CAM，ER⊥AC，EF⊥AM，
∴ER＝EF，
在Rt△ERC和Rt△EFB中，
，
∴Rt△ERC≌Rt△EFB（HL），
∴∠EBF＝∠ACE＝∠ACB+∠ECD＝28°+25°＝53°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝90°﹣53°＝37°，
∴∠REF＝∠RED+∠BED+∠BEF＝28°+65°+37°＝130°，
∵∠ARE＝∠AFE＝90°，
∴∠CAM＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∵AE平分∠CAM，
∴∠CAE＝CAM＝25°，
∴∠DOE＝∠CAE+∠ACB＝25°+28°＝53°，
∵ED⊥BC，
∴∠EDB＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DOE＝90°﹣53°＝37°，
故答案为：37．
14．解：如图，连接OB，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠A＝13°，
∴∠AOB＝180°﹣13°﹣13°＝154°，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣154°＝116°，
∵OE垂直平分BC，
∴∠C＝∠OBC＝（180°﹣116°）＝32°．
故答案为：32．
15．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，＝AB?DE+BC?CD，＝×3×4+×6×4，＝18．
故答案为：18．
16．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
17．证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB?ED+AC?DF＝DE（AB+AC）＝15，
∵AB+AC＝10，
∴×10DE＝15，
∴DE＝3，
∵∠EAF＝60°，
∴∠DAF＝∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE＝6．
18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝55°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠A＝35°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠EBA＝55°﹣35°＝20°；
（2）在Rt△ECB中，∠C＝90°，EC＝1，BE＝AE＝3，
由勾股定理得：BC＝＝＝2，
∵AE＝3，EC＝1，
∴AC＝AE+EC＝3+1＝4，
∴△ABC的面积是＝＝4．
19．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
20．定理证明：∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO＝∠PDO＝90°，
在△OEP和△ODP中，
∵，
∴△OEP≌△ODP（AAS），
∴PE＝PD；
定理应用：过O作OE⊥AB与E，OF⊥AC于F，
∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴EO＝DO，OF＝DO，
∵OD＝3，
∴EO＝FO＝3，
∵△ABC的周长是12，
∴AB+BC+AC＝12，
∴△ABC的面积：AB?EO+AC?FO+CB?DO＝（AB+AC+BC）＝×12＝18，
故答案为：18．
21．解：如图，点P为所作．
22．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
23．证明：如图：
过M作ME⊥AD于E，
∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，
∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，
在△MCD和△MED中
∴△MCD≌△MED（AAS），
∴CD＝DE，
同理：AE＝AB，
∴AD＝AE+DE＝CD+AB