第1章一元二次方程 提升训练（附答案） 2021-2022学年苏科版九年级数学上册

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《第1章一元二次方程》优生辅导
专题提升训练（附答案）
1．已知关于x的方程：（1）ax2+bx+c＝0；（2）x2﹣4x＝8+x2；（3）1+（x﹣1）（x+1）＝0；（4）（k2+1）x2+kx+1＝0中，一元二次方程的个数为（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
3．已知方程a3﹣5a2+3a＝0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值是（　　）
A．﹣5 B．6 C．﹣6 D．3
4．方程25x2＝10x﹣1的解是（　　）
A．x＝± B．x＝ C．x1＝x2＝ D．x＝
5．用配方法解方程2x2﹣x﹣1＝0，变形结果正确的是（　　）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
6．若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8＝0，则此三角形的周长为（　　）
A．8 B．10或8 C．10 D．6或12或10
7．关于x的方程是一元二次方程，则k的值是　 　．
8．若方程x2+kx+6＝0的一个根是3，那么k＝　 　，另一个根是　 　．
9．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1＝0的一根是0，则a＝　 　．
10．如果关于x的方程x2+2（a+1）x+2a+1＝0有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是　 　．
11．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为　 　．
12．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是　 　．
13．等腰△ABC的一边BC的长为6，另外两边AB，AC的长分别是方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为　 　．
14．已知厂计划经过两年的时间，把某种产品年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是　 %．按此年平均增长率，预计第4年该工厂年产量应为　　万台．
15．解方程：（1）12x﹣5＝3x2 （2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
16．三角形两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，求此三角形的面积．
17．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值．
18．理解：（1）若直线l上有四个点A、B、C、D，则共有线段　 　条；
（2）若直线l上有五个点A、B、C、D、E，则共有线段　 　条；
（3）若直线l上有n个点A、B、C、…，则共有线段　 　条；
应用：（4）在一次有10人的聚会上，每两个人握一次手，共握手　 　次．
（5）从A火车站到B火车站，中途有5站，若各车厢收费标准一样，则票价共有　 　种；
（6）某n边形共有54条对角线，求n．
19．受今年疫情的影响，原材料价格上涨，为提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种新型电子产品进行提价销售，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为60元时，每天可售出100个；若销售单价每提高10元，每天就少售出20个．已知每个电子产品的固定成本为50元．
（1）若销售单价提高20元，则平均每天可售出多少个？
（2）既要考虑公司的利润，保证公司每天可获利1600元，又要让利于消费者，这种电子产品的销售单价定为多少元合适？
20．已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于cm？
（3）△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．
参考答案
1．解：（1）ax2+bx+c＝0中，a可能为0，所以不一定是一元二次方程；
（2）x2﹣4x＝8+x2化简后只含有一个未知数，是一元一次方程；
（3）1+（x﹣1）（x+1）＝0和（4）（k2+1）x2+kx+1＝0符合定义，是一元二次方程．
一元二次方程的个数为2个．
故选：B．
2．解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，
∴α+β＝2，α2﹣2α﹣4＝0，
∴α2＝2α+4
∴α3+8β+6＝α?α2+8β+6
＝α?（2α+4）+8β+6
＝2α2+4α+8β+6
＝2（2α+4）+4α+8β+6
＝8α+8β+14
＝8（α+β）+14＝30，
故选：D．
3．解：解方程a3﹣5a2+3a＝0，得a（a2﹣5a+3）＝0，
令a1＝0，则a2，a3是一元二次方程a2﹣5a+3＝0的两个根，
∴a2a3＝3，a2+a3＝5
∴a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）＝0+a2a3+a2a3＝2a2a3＝6．
故选：B．
4．解：移项得，
25x2﹣10x+1＝0，
∴（5x﹣1）2＝0，
解得x1＝x2＝．
故选：C．
5．解：∵2x2﹣x﹣1＝0
∴2x2﹣x＝1
∴x2﹣x＝
∴x2﹣x+＝+
∴（x﹣）2＝
故选：D．
6．解：由方程x2﹣6x+8＝0，得x＝2或x＝4，
当三边是2，4，4时，周长是10；
当三边是2，2，4不能构成三角形，应舍去；
当三边都是2时，周长是6；
当三边都是4时，周长是12．
此三角形的周长为10或6或12，故选D．
7．解：由题意得：k2﹣2＝2；k﹣2≠0；
解得k＝±2；k≠2；
∴k＝﹣2．
8．解：把x＝3代入方程x2+kx+6＝0，得9+3k+6＝0，解得k＝﹣5，
再把k＝﹣5代入原方程，得x2﹣5x+6＝0，解得x＝2或3，
那么k＝﹣5，另一个根是x＝2．
故答案为k＝﹣5，另一个根是x＝2．
9．解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1＝0
∴a2﹣1＝0，即a＝±1；
∵a+1≠0，∴a≠﹣1；
∴a＝1．
10．解：根据方程的求根公式可得：
x＝[（﹣2（a+1）±]÷2＝[（﹣2a﹣2）±2a]÷2＝﹣a﹣1±a，
则方程的两根为﹣1或﹣2a﹣1，
或（x+1）（x+2a+1）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝﹣2a﹣1，
∵﹣1＜0，
∴小于1的正数根只能为﹣2a﹣1，
即0＜﹣2a﹣1＜1，
解得﹣1＜a＜﹣．
故填空答案为﹣1＜a＜﹣．
11．解：设x2﹣x＝m，则原方程可化为：
m2﹣4m﹣12＝0，解得m＝﹣2，m＝6；
当m＝﹣2时，x2﹣x＝﹣2，即x2﹣x+2＝0，△＝1﹣8＜0，原方程没有实数根，故m＝﹣2不合题意，舍去；
当m＝6时，x2﹣x＝6，即x2﹣x﹣6＝0，△＝1+24＞0，故m的值为6；
∴x2﹣x+1＝m+1＝7．
故答案为：7．
12．解：△＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2
＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）
∵a，b，c分别是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0
∴△＜0，
则方程没有实数根．
13．解：∵方程x2﹣8x+m＝0有两个根，
∴△＝（﹣8）2﹣4m≥0解得m≤16，
由根与系数的关系可得：AB+AC＝8，AB?AC＝m，
∵等腰△ABC的一边BC的长为6，
∴AB，AC的长分别是4、4或2、6或6、2，
当AB，AC的长分别是4、4时，即方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实根，此时△＝（﹣8）2﹣4m＝0，解得m＝16；
AB，AC的长分别是2、6或6、2时，即方程x2﹣8x+m＝0有两个不相等的实根，此时△＝（﹣8）2﹣4m＞0，AB?AC＝2×6＝m，解得m＝12．
∴m的值为12或16．
14．解：设年平均增长率为x，依题意列得100（1+x）2＝121
解方程得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）
所以第4年该工厂的年产量应为121（1+10%）2＝146.41万台．
故答案为：10，146.41
15．解：（1）12x﹣5＝3x2，
整理为：3x2﹣12x+5＝0，
这里a＝3，b＝﹣12，c＝5，
∵b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×3×5＝144﹣60＝84＞0，
∴x＝＝，
则x1＝，x2＝；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣3）[2（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
即（x﹣3）（x﹣9）＝0，
可得x﹣3＝0或x﹣9＝0，
解得：x1＝3，x2＝9．
16．解：∵x2﹣16x+60＝0，
∴（x﹣6）（x﹣10）＝0，
解得：x1＝6，x2＝10，
当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高，
∴BD＝4，AD＝＝2，
∴S△ABC＝BC?AD＝×8×2＝8；
当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
S△ABC＝BC?AC＝×8×6＝24．
∴该三角形的面积是：24或8．
故答案为：24或8．
17．解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（不合题意，舍去）或a＝0.2．
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设一次下降的百分率为b，根据题意，得：
50（1﹣b）﹣2.5≥40，
解得 b≤0.15．
答：一次下降的百分率的最大值为15%．
18．解：理解：
（1）直线l上有A、B、C、D四点，线段总条数是：3+2+1＝6．
（2）若直线l上有五个点A、B、C、D、E，线段总条数是：4+3+2+1＝10，
（3）若直线上有n个点时，线段总条数（n﹣1）+…+3+2+1＝n（n﹣1）．
应用：（4）在一次有10人的聚会上，每两个人握一次手，共握手的次数是：×10×9＝45（次）．
（5）从A火车站到B火车站，中途有5站，若各车厢收费标准一样，则票价共有：×7×6＝21（种）．
（6）依题意得：n（n﹣3）＝54，
解得：n1＝12，n2＝﹣9（舍去）．
所以n＝12．
故答案是：6；10；n（n﹣1）；45；21；n＝12．
19．解：（1）根据题意，可得现在销售数量为：100﹣×20＝60（个）．
答：平均每天可售出60个；
（2）设销售单价提高了x元，
依题意，得：（60+x﹣50）（100﹣×20）＝1600，
整理，得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝30，x2＝10．
因为要让利于消费者，所以x＝10符合题意．
所以60+x＝70．
答：这种电子产品的销售单价定为70元合适．
20．解：（1）设经过x秒以后，△PBQ面积为4cm2（0＜x≤3.5）此时AP＝xcm，BP＝（5﹣x）cm，BQ＝2xcm，
由，得，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或x＝4（舍）；
答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；
（2）设经过t秒后，PQ的长度等于，由PQ2＝BP2+BQ2，
即40＝（5﹣t）2+（2t）2，
解得：t＝﹣1（舍去）或3．
则3秒后，PQ的长度为；
（3）假设经过t秒后，△PBQ的面积等于7cm2，即，，
整理得：t2﹣5t+7＝0，
由于b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，
则原方程没有实数根，所以△PQB的面积不能等于7cm2