《第2章轴对称图形》同步达标测评（附答案） 2021-2022学年苏科版八年级数学上册

2021-2022学年苏科版八年级数学上册《第2章轴对称图形》同步能力达标测评（附答案）
一、单选题（每小题3分，共计30分）
1．如图，在等腰中，，垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，过边长为3的等边的边上一点，作于，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC＝BC，AD＝AO，若∠BAC＝80°，则∠BCA的度数为（　　）
A．80° B．60° C．40° D．30°
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，则图中一定是等腰三角形的有（ ）个
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，已知△ABC，AB＝AC=5，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )
A．BC B．CE C．AD D．AC
7．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，点D是AB中点，AF⊥CD于点H，交BC于点F，BE∥AC交AF的延长线于点E，给出下列结论：①∠BAE＝∠ACD，②△ADC≌△BEA，③AC＝AF，④∠BDE＝∠EDC，⑤BC⊥DE．上述结论正确的序号是（ ）
A．①②⑤ B．②④⑤ C．①②④ D．①②③
9．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．如图，点为的角平分线上一点，过点作一条直线分别与的边交于两点，点为的中点，过作的垂线交的延长线于点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．如图所示，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是______．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D为线段BC上一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，取AE＝AD，连接BE交AC于F．当EA＝EF时，则CD＝___．
13．如图，在中， ，点D在边上，关于直线，对称， 的角平分线交边于点G、连接，当的值等于_______时，为等腰三角形．
14．如图，在中，，是边的中点，垂直平分边，动点在直线上，若，，则线段的最小值为______．
15．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP＝_____°．
16．如图所示，AD是△ABC的平分钱，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为________．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AD平分∠BAC交BC于D，现把△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．若∠ADE恰为直角，则∠B=______°．
18．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，则的度数是______．
19．如图，在中，，点D是的中点，点E在上，将沿折叠，若点B的落点在射线上，则与所夹锐角的度数是________．
20．如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是________．

三、解答题（每小题10分，共计60分）
21．已知：如图，与相交于点P．
求证：（1）．
（2）是等腰三角形．
22．如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．
（1）试判断∠BCE与∠BCD是否互补，并说明理由；
（2）求证：AE=EC；
（3）求证：BE+BD=2BF．
23．如图，和均为等腰三角形，点，，在同一直线上，连接．
（1）如图1，若．填空：= ________，________ ；
（2）如图2，若，试猜想之间的关系，并证明你的结论．
24．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，回答下列问题：

（1）证明：ED=FD；
（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由．
25．已知，是等边三角形，点在边上，且，点在延长线上．
（1）如图1，若点是的中点，求证：；
（2）如图2，若点不是的中点，（1）中的结论还成立吗？若成立给出证明，若不成立，说明理由．
26．如图1，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度是1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，求证：∠CMQ=60°；
（2）当运动时间为多少时，△PBQ是直角三角形？
（3）如图2，若点P、Q运动到终点B、C后继续在AB、BC的延长线上运动，直线AQ、CP交点为M，求∠CMQ的度数
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B B B B B A A C
1．C
解:在等腰中，，
∴AB=CB，∠A=∠C=，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=，
同理：，
∴∠EBQ=∠ABC-∠ABE-∠QBC=，
故选：C．
2．C
解：过作交于，
，是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
3．B
解：∵△ABC三个内角的平分线交于点O，
∴∠ACO＝∠BCO，
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB，
∴∠D＝∠CBO，
∵∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝100°，
∴∠BAO＝40°，
∴∠DAO＝140°，
∵AD＝AO，∴∠D＝20°，
∴∠CBO＝20°，
∴∠ABC＝40°，
∴∠BCA＝60°，故选B．
4．B
解：①正确，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的余角相等，所以∠BDE＝∠BAC；
④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE；
⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
故正确的个数为4个.
故选：B．
5．B
解：如图，令∠A=，∠ABE＝∠BCD =，
∴∠BEC=（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∵BE＝BC，
∴∠BCE=，
∴∠DCE=
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=，
∴∠OBC=，
∴∠EOC=，
将以上各角在图中标注，依据等角对等边，由图可知：这四个三角形是等腰三角形，
故选：B．
6．B
解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选：B．
7．B
解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故选：B．
8．A
解:，，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，①正确；
，
，
，
在和中，
，②正确；
，
③不正确；
，
，
点是中点，
，
，
，④不正确；
，，，
，即平分，△BDE为等腰直角三角形，
根据“三线合一”可得BC⊥DE，⑤正确．
故选：A．
9．A
解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，
由题意得或，
解得或．
，不能构成三角形，
故等腰三角形的底边长为2cm，
故选：A．
10．C
解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，
∵∠MON=130°，
∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，
∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，
∴DE=DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB=∠CDF，
∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．
故选：C．
11．
解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE=OF=OD=3，
∴△ABC的面积= ，
故答案为：．
12．2
解：如图，过点E作EH⊥AC于H．
∵EA=EF，EH⊥AF，
∴AH=FH，
∵EA⊥AD，
∴∠EAD=∠EHA=∠C=90°，
∴∠EAH+∠CAD=90°，∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠EAH=∠ADC，
在△EHA和△ACD，
，
∴△EHA≌△ACD（AAS），
∴AH=CD，EH=AC=CB．
在△EHF和△BCF中，
，
∴△EHF≌△BCF（AAS），
∴FH=CF，
∴AH=FH=CF=CD，
∴CD=AC=2，
故答案为：2．
13．10°，25°或40°
解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°．
∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，
∴△ADB≌△ADF，
∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，
∴AF=AC．
∵AG平分∠FAC，
∴∠FAG=∠CAG．
在△AGF和△AGC中，
，
∴△AGF≌△AGC（SAS），
∴∠AFG=∠C．
∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，
∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．
①当GD=GF时，
∴∠GDF=∠GFD=80°．
∵∠ADG=40°+θ，
∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，
∴θ=10°．
②当DF=GF时，
∴∠FDG=∠FGD．
∵∠DFG=80°，
∴∠FDG=∠FGD=50°．
∴40°+50°+40°+2θ=180°，
∴θ=25°．
③当DF=DG时，
∴∠DFG=∠DGF=80°，
∴∠GDF=20°，
∴40°+20°+40°+2θ=180°，
∴θ=40°．
∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形．
故答案为：10°，25°或40°．
14．14
解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
又∵BC=12，S△ABC=84，
∴×12×AD=84，
∴AD=14，
∵EF垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD，
∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD，
即AD的长度=PB+PD的最小值，
∴PB+PD的最小值为14，
故答案为：14．
15．32
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
解得：∠ABP＝32°，
故答案为：32．
16．5
解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∵，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积=2，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积=9-2=7，
∴△ADE的面积=7-2=5．
故答案是：5．
17．30
解:∵∠C=
∴，
∵AD平分∠BAC交BC于D
∴
∴
∵把△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕为EF
∴
∵∠ADE恰为直角
∴
∴，即
∴
∴，
故答案为：30．
18．60°
解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE=BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，
故答案为：60°．
19．．
解:如下图，连接DE，与相交于点O，
将 △BDE 沿 DE 折叠，
，
,
又∵D为BC的中点，，
，
,
,
,
即与所夹锐角的度数是．
故答案为：．
20．
解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，
由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，
∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，
∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，
∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，
∴2∠AOB+∠GDF=180°，
故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．
21．解：（1）∵∠C=∠D=Rt∠，AC=BD，AB=BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABP=∠BAP，
∴PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形．
22．（1）解：∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵BD=BC，BA=BE，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BDC=∠BDA+∠BDC=180°；
（2）∵BD=BC，BA=BE，
∴∠BCD=∠BDC，∠BEA=∠BAE，
由（1）知，∠ABD=∠CBD，
∴∠BCD=∠BEA，
∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD=EC，
∴AD=AE=EC，
（3）如图，过E作EG⊥BC于G点，

∵E是BD上的点，
∴EF=EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG=BF，
在Rt△CEG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL），
∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF．
23．（1）70°，70°；（2）AE= BE+CD．
解：（1）∵∠CAB=∠CBA=55°，
∴CA=CB,∠ACB=70°，
∵∠CDE=∠CED=55°，
∴CD=CE，∠DCE=70°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD于△BCE中，
∵,
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=125°，
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=70°，
故答案为：70°，70°；
（2）AE=CD+BE，
理由如下：∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴等腰△ABC和等腰△COE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=DE，同（1）可证△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，AE=AD+DE=BE+CD．
24．解:（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，
∴∠EKD=∠FHD=90°，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴DK=DG=DH，
∵AE=AF，
∴，
在△EKD和△FHD中，
，
∴△EKD≌△FHD（AAS），
∴ED=FD；
（2）解：∠BDC=90°+∠A．
理由如下：
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），
∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠BDC+（180°-∠A）=180°，
∴∠BDC=90°+∠A．
25．解:（1）证明：是等边三角形，
，
又∵是的中点，
平分，，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）（1）中的结论还成立，
理由如下：过点作，交于点，
，
，，，
又，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
26．（1）60°；（2）第2秒或第4秒；（3）120°．
解：（1）证明：∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=6-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形；
（3）解：∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，AC=BC
∴△PBC≌△QCA（SAS），
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°