《1.2一元二次方程的解法》同步优生辅导提升训练（附答案）2021-2022学年九年级数学苏科版上册

2021年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》同步优生辅导提升训练（附答案）
一．选择题
1．用配方法解方程3x2﹣6x﹣1＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝ B．（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
2．方程x（x﹣1）＝2的两根为（　　）
A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2
3．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
4．已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（　　）
A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5 C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7
5．若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≠0 C．m≤且m≠0 D．m＜2
6．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
7．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该菱形的边长为（　　）
A． B．4 C．25 D．5
8．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
9．实数a、b（a≠b）满足a2﹣3a﹣1＝0，b2﹣3b﹣1＝0，则（　　）
A．a+b＝3，a2+2b＞0 B．a+b＝3，a2+2b＜0
C．a+b＝﹣3，a2+2b＞0 D．a+b＝﹣3，a2+2b＜0
二．填空题
10．若关于x的一元二次方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围为　 　．
11．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是　 　．
12．配方4a（ax2+bx+c）＝（2ax+b）2+m，则m＝　 　．
13．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解　 　．
14．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是　 　．
15．若关于x的方程（x+m+1）2+b＝0（b，m为常数）的解是x1＝﹣3或x2＝2，则方程x2+2mx+m2+b＝0的解是　 　．
三．解答题
16．解方程：（1）x2+2x＝2 （2）4（3x﹣2）（x+1）＝3x+3
17．解下列一元二次方程．
（1）解方程（x+4）2＝5（x+4）
（2）解方程2x2+3＝7x．
18．阅读材料后，解答问题：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，
解：可设x2﹣1＝y，即 （x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为 y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1即x2﹣1＝1时，x2＝2，x＝±；
当y＝4即x2﹣1＝4时，x2＝5，x＝±；
请你依据此解法解方程：（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3＝0．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含k的式子表示）；
（3）如果此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，求k的值．
20．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根．
（1）当m取何值时，原方程有两个不相等的实数根？
（2）若以x1，x2为对角线的菱形边长是，试求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．
22．已知关于x的方程x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0．
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
参考答案
一．选择题
1．解：3x2﹣6x﹣1＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝．
故选：D．
2．解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
△＝1+8＝9＞0
∴x＝
解得x1＝﹣1，x2＝2．故选D．
3．解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
4．解：∵方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，
∴x2﹣2px+p2＝7，
∴﹣6＝﹣2p，
解得：p＝3，
即（x﹣3）2＝7，
∴x2﹣6x+9﹣7＝0，
∴q＝2，
即（x+3）2＝7，
即（x+p）2＝7，
故选：D．
5．解：因为方程是一元二次方程，
所以m≠0，
因为方程有实数根，
所以△＝16﹣12m≥0，
所以m≤
所以m≤且m≠0．
故选：C．
6．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，
∴则a2+b2+a+b＝（a2+a）+（b2+b）＝2021+2021＝4042．
故选：D．
7．解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x＝4和2，
即AC＝4，BD＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，
由勾股定理得：AD＝＝，
故选：A．
8．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，
∵x12+x22＝5，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，
∴k2﹣2（k﹣3）＝5，
整理得出：k2﹣2k+1＝0，
解得：k1＝k2＝1，
故选：D．
9．解：∵a2﹣3a﹣1＝0，b2﹣3b﹣1＝0，
∴a、b可看作方程x2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b＝3，
∵a＝3﹣b，
∴a2+2b＝（3﹣b）2+2b＝b2﹣4b+9＝（b﹣2）2+5＞0，
故选：A．
二．填空题
10．解：∵关于x的一元二次方程m2x2+（2m+1）x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≥﹣且m≠0．
故答案为：m≥﹣且m≠0．
11．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝3.5；
根据勾股定理可得：c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣7＝9，
∴c＝3
12．解：4a（ax2+bx+c）＝4a2x2+4abx+b2﹣b2+4ac＝（2ax+b）2﹣b2+4ac＝（2ax+b）2+m，则m＝4ac﹣b2．
故答案是：4ac﹣b2．
13．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
14．解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x＝6或﹣2，
∵一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，
∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是×6×|﹣2|＝6，
故答案为：6．
15．解：∵x2+2mx+m2+b＝0，
∴（x+m）2+b＝0，
∵关于x的方程（x+m+1）2+b＝0的解是x1＝﹣3或x2＝2，
∴[（x﹣1）+m+1]2+b＝0，
设y＝x﹣1，则（y+m+1）2+b＝0，
解得，y1＝﹣3，y2＝2，
即x1﹣1＝﹣3，x2﹣1＝2，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
故答案为：x1＝﹣2，x2＝3．
三．解答题
16．解：（1）x2+2x＝2，
x2+2x+1＝2+1，
（x+1）2＝3，
x+1＝±，
解得x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+；
（2）4（3x﹣2）（x+1）＝3x+3，
4（3x﹣2）（x+1）﹣3（x+1）＝0，
（x+1）（12x﹣8﹣3）＝0，
（x+1）（12x﹣11）＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝．
17．解：（1）∵（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
即（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
解得x＝﹣4或x＝1；
（2）整理成一般式可得2x2﹣7x+3＝0，
∴（x﹣3）（2x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或2x+1＝0，
解得x＝3或x＝﹣．
18．解：设t＝x2﹣2x，则原方程可化为：t2﹣2t﹣3＝0，
（t﹣3）（t+1）＝0，
∴t＝﹣1或3，
即x2﹣2x＝﹣1或x2﹣2x＝3，
解得x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．
19．解：（1）依题意，得△＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（2k﹣2）
＝k2+2k+1﹣8k+8
＝k2﹣6k+9
＝（k﹣3）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）将方程左边因式分解得（x﹣2）[x﹣（k﹣1）]＝0，
则x﹣2＝0或x﹣（k﹣1）＝0，
解得x1＝2，x2＝k﹣1；
（3）∵此方程的根刚好是某个等边三角形的边长，
∴k﹣1＝2．
∴k＝3．
20．解：（1）由题意得△＝[2（m﹣3）]2﹣4（m2+1）＝32﹣24m，
要使方程有两个不相等的实数根，需要△＞0，
即32﹣24m＞0，解得m＜，
即m＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣3）x+m2+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣3），x1?x2＝m2+1．
∵x1，x2为菱形的对角线，
∴x1，x2互相垂直并且平分，
∴（ x1）2+（ x2）2＝3，
∴x12+x22＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴（x1+x2）2﹣2x1?x2＝12，
∴[﹣2（m﹣3）]2﹣2（m2+1）＝12，
∴m2﹣12m+11＝0，
解得，m1＝1，m2＝11．
∵m＜，
∴m2＝11不合题意，舍去，
∴m的值为1．
21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，
解得k≤．
（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，
∵x12+x22＝11，
∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，
∵k≤，
∴k＝4（舍去），
∴k＝﹣1．
22．（1）证明：∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k2+4k+12）＝4（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有两个实数根；
（2）解：x2﹣8x﹣k2+4k+12＝0，
（x+k﹣6）（x﹣k﹣2）＝0，
解得：x1＝﹣k+6，x2＝k+2，
当AB＝AC时，﹣k+6＝k+2，则k＝2；
当AB＝BC时，﹣k+6＝5，则k＝1；
当AC＝BC时，则k+2＝5，解得k＝3，
综合上述，k的值为2或1或3．