第4章 一元一次方程 单元练习 2021-2022学年苏科版七年级数学上册（Word版 含解析）

第4章 一元一次方程
一．选择题
1．下列四个式子中，是方程的是（　　）
A．5+3+4＝12 B．2x﹣3 C．z+x D．1﹣0.5y＝0
2．根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
3．在方程3x﹣y＝2，，，x2﹣2x﹣3＝0中一元一次方程的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨．若经过x个月后，两厂库存钢材相等，则x＝（　　）
A．3 B．5 C．2 D．4
5．如果关于x的方程3x+2a+1＝x﹣6（3a+2）的解是x＝0，那么a的值为（　　）
A． B． C． D．
6．下列方程是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣5＝y B．3x﹣2＝2x+6 C．x2﹣1＝0 D．x+＝5
7．下列变形：①如果a＝b，则ac2＝bc2；②如果ac2＝bc2，则a＝b；③如果a＝b，则3a﹣1＝3b﹣1；④如果，则a＝b，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
8．若干本书分给某班同学，每人6本则余18本，每人7本则少24本．设该班有学生x人，或设共有图书y本，分别得方程（　　）
A．6x+18＝7x﹣24与
B．7x﹣24＝6x+18与
C．与7x+24＝6x+18
D．以上都不对
9．“实现五水共治，绿化美丽东吴”，东吴镇计划把某一河岸的一侧全部栽上杨柳树，要求岸边的两端各栽上一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔4米栽1棵，则树苗缺25棵；如果每隔5米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．4（x+25）＝5x B．4（x+25）＝5（x﹣1）
C．4（x+25﹣1）＝5x D．4（x+25﹣1）＝5（x﹣1）
二．填空题
10．把方程3x+y＝6写成用含有x的代数式表示y的形式为：y＝　 　．
11．方程3x＝2x﹣6经过两边同时 　 　得到x＝﹣6．
12．已知关于x的方程与的解互为倒数，则m的值　 　．
13．如果关于x的方程ax+b＝0的解为1，则a，b的关系是　 　．
14．甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程　 　
15．轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度是2千米/时，则两码头之间的距离是　 　．
16．有一道古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？”题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，则有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间？多少客人？若有x间房，则根据题意可列出方程为 　 　．
17．甲、乙两人从相距1200米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车7.5米/秒，乙步行2.5米/秒．甲出发20秒钟后，想起忘带东西，迅速返回去取（取东西时间不计），则在乙出发 　 　秒钟后，两人相距100米．
18某商贩卖出两双皮鞋，相比进价，一双盈利30%，另一双亏本10%，两双共卖出200元．商贩在这次销售中刚好不亏不赚，则亏本的那双皮鞋的进价是　　元．
三、解答题
19.解方程：
（1）；
（2）．
20甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
21.A、B两站相距300千米，一列快车从A站开出，行驶速度是每小时60千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时40千米，快车先开15分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？（只列出方程，不用解）
22某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
23某班的一次数学小测验中，共出了20道选择、填空题，每题5分，总分为100分．现从中抽出5份试卷进行分析，如下表：
试卷 正确个数 错误个数 得分
A 19 1 94
B 18 2 88
C 17 3 82
D 14 6 64
E 10 10 40
（1）某同学得70分，他答对了多少道题？
（2）刘婧婧同学告诉老师：她和同桌张欣都考到了及格（60分以上），而且比张欣的分数高，她俩的平均分是76分，通过你的计算她们俩各考了多少分？
24列一元一次方程解应用题：
国家大剧院举行了《可爱的中国》庆祝改革开放40周年音乐会．本次演出的票价分为以下几个类别，如表所示：
演出票类别 A类 B类 C类 D类 E类
演出票单价（元） 300 280 240 180 100
小宇购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张E类票．问小宇购买A类和C类的演出票各几张？
25疫情后为了复苏经济，龙岗区举办了“春暖龙城，约惠龙岗”的促消费活动，该活动拿出1.1亿元，针对全区零售，餐饮，购车等领域出台优惠政策．为配合区的经济复苏政策，龙岗天虹超市同时推出了如下促销活动：
龙岗天虹超市促销活动方案：
①购物不足500元优惠15%（打8.5折）；
②超过500元，其中500元优惠15%（打8.5折），超过部分优惠20%（打8折）．
（1）小哲在促销活动时购买了原价为200元商品，他实际应支付多少元？
（2）小哲在第一次购物后，在“龙岗发布”微信公众号中参与摇号抢到了一张满300减100的购物券（即微信支付300元以上自动减100元），又到龙岗天虹超市去购物，用微信实际支付了381元，他购买了原价多少元的商品？

参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．下列四个式子中，是方程的是（　　）
A．5+3+4＝12 B．2x﹣3 C．z+x D．1﹣0.5y＝0
【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．
【解答】解：A、该等式不含有未知数，故不是方程；故本选项错误；
B、不是方程，因为它是代数式而非等式；故本选项错误；
C、不是方程，因为它是代数式而非等式；故本选项错误；
D、是方程，y是未知数，式子又是等式；
故选：D．
2．根据“x与5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】仔细审题，x与5的和的4倍即是4（x+5），x的即是x，由此根据可列出方程．
【解答】解：由题意列方程式为：．
故选：C．
3．在方程3x﹣y＝2，，，x2﹣2x﹣3＝0中一元一次方程的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．
【解答】解：①3x﹣y＝2含有两个未知数，故不是一元一次方程；
②是分式方程；
③符合一元一次方程的形式；
④是一元二次方程．只有x＝正确．
故选：A．
4．A厂库存钢材为100吨，每月用去15吨；B厂库存钢材82吨，每月用去9吨．若经过x个月后，两厂库存钢材相等，则x＝（　　）
A．3 B．5 C．2 D．4
【分析】题目中的相等关系是经过x个月后，两厂库存钢材相等．A厂经过x个月后库存钢材为100﹣15x；B厂经过x个月后库存钢材为82﹣9x．根据题意可列方程．
【解答】解：根据题意列方程得100﹣15x＝82﹣9x，
解得：x＝3．
故选：A．
5．如果关于x的方程3x+2a+1＝x﹣6（3a+2）的解是x＝0，那么a的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】把x＝0代入方程求出a的值即可．
【解答】解：把x＝0代入方程2a+1＝x﹣6（3a+2）得：2a+1＝﹣6（3a+2），
解得：a＝﹣，
故选：B．
6．下列方程是一元一次方程的是（　　）
A．2x﹣5＝y B．3x﹣2＝2x+6 C．x2﹣1＝0 D．x+＝5
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式．
故选：B．
7．下列变形：①如果a＝b，则ac2＝bc2；②如果ac2＝bc2，则a＝b；③如果a＝b，则3a﹣1＝3b﹣1；④如果，则a＝b，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①③ D．②④
【分析】分别利用等式的性质进而判断得出答案．
【解答】解：①如果a＝b，则ac2＝bc2，正确；
②如果ac2＝bc2，则a＝b（c≠0），故此选项错误；
③如果a＝b，则3a﹣1＝3b﹣1，正确；
④如果，则a＝b，正确．
故选：B．
8．若干本书分给某班同学，每人6本则余18本，每人7本则少24本．设该班有学生x人，或设共有图书y本，分别得方程（　　）
A．6x+18＝7x﹣24与
B．7x﹣24＝6x+18与
C．与7x+24＝6x+18
D．以上都不对
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：每人分6本时的图书的总数量＝每人分7本时的图书的总数量，根据此等式列方程即可．
【解答】解：（1）设该班有学生x人，则每人6本则余18本，可表示出图书有（6x+18）本；每人7本则少24本，可表示出图书有（7x﹣24）本．根据图书数量相等列方程得：6x+18＝7x﹣24．
（2）设共有图书y本，由每人6本则余18本，可表示出学生有人；每人7本则少24本可表示出学生有人．
根据学生人数相等列方程得：．
故选：B．
9．“实现五水共治，绿化美丽东吴”，东吴镇计划把某一河岸的一侧全部栽上杨柳树，要求岸边的两端各栽上一棵，并且每两棵树的间隔相等，如果每隔4米栽1棵，则树苗缺25棵；如果每隔5米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．4（x+25）＝5x B．4（x+25）＝5（x﹣1）
C．4（x+25﹣1）＝5x D．4（x+25﹣1）＝5（x﹣1）
【分析】设原有树苗x棵，根据两种栽种方法树苗的数量相等，可得出方程．
【解答】解：设原有树苗x棵，可得：4（x+25﹣1）＝5（x﹣1），
故选：D．
二．填空题
10．把方程3x+y＝6写成用含有x的代数式表示y的形式为：y＝　6﹣3x　．
【分析】根据等式的性质1进行变形即可．
【解答】解：3x+y＝6，
y＝6﹣3x，
故答案为：y＝6﹣3x．
11．方程3x＝2x﹣6经过两边同时 　减去2x　得到x＝﹣6．
【分析】根据等式的基本性质，由方程3x＝2x﹣6两边同时减去2x得x＝﹣6．
【解答】解：∵3x＝2x﹣6，
∴3x﹣2x＝2x﹣6﹣2x．
∴x＝﹣6．
故答案为：减去2x．
12．已知关于x的方程与的解互为倒数，则m的值　﹣　．
【分析】先将与的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的值．
【解答】解：∵，
∴x＝1，
由题意可知：x＝1是＝x+的解，
∴＝1+
解得：m＝，
故答案为：﹣，
13．如果关于x的方程ax+b＝0的解为1，则a，b的关系是　互为相反数　．
【分析】把x＝1代入已知方程可以得到a+b＝0，则根据相反数的定义可知a、b互为相反数．
【解答】解：由题意，得
a×1+b＝0，即a+b＝0，
所以，a、b互为相反数．
故填：互为相反数．
14．甲、乙两班共有98人，若从甲班调3人到乙班，那么两班人数正好相等．设甲班原有人数是x人，可列出方程　x﹣3＝98﹣x+3　
【分析】设甲班原有人数是x人，则乙班原有人数是（98﹣x）人，根据从甲班调3人到乙班后两班人数正好相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设甲班原有人数是x人，则乙班原有人数是（98﹣x）人，
依题意，得：x﹣3＝98﹣x+3．
故答案为：x﹣3＝98﹣x+3．
15．轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度是2千米/时，则两码头之间的距离是　80千米　．
【分析】根据船在静水中的速度得到等量关系为：航程÷顺水时间﹣水流速度＝航程÷逆水时间+水流速度，把相关数值代入即可求出答案．
【解答】解：设A、B两码头之间的距离是x千米，根据题意得：
﹣2＝+2，
解得x＝80．
即：A、B两码头间距离是80千米．
故答案是：80千米．
16．有一道古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问多少房间多少客？”题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房住7人，则有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间？多少客人？若有x间房，则根据题意可列出方程为 　7x+7＝9x﹣9　．
【分析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数，得出等式方程求出即可．
【解答】解：设有x间房间，根据题意可得：
7x+7＝9x﹣9，
故答案为：7x+7＝9x﹣9．
17．甲、乙两人从相距1200米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车7.5米/秒，乙步行2.5米/秒．甲出发20秒钟后，想起忘带东西，迅速返回去取（取东西时间不计），则在乙出发 　125或145　秒钟后，两人相距100米．
【分析】由题意可知：甲出发20秒钟后忘记带东西，迅速返回去取，相当于乙提前20秒钟，由此分两种情况探讨：①甲、乙相遇前相距100米；②甲、乙相遇后相距100米；由此设出未知数，列出方程解答即可．
【解答】解：乙出发x秒后，两人相距100米．由题意得
①甲、乙相遇前相距100米；
2.5x+7.5（x﹣20）＝1200﹣100．
解得：x＝125；
②甲、乙相遇后相距100米；
7.5（x﹣20）+2.5x＝1200+100．
解得x＝145；
答：则在乙出发125或145秒后，两人相距100米．
故答案为：125或145．
18某商贩卖出两双皮鞋，相比进价，一双盈利30%，另一双亏本10%，两双共卖出200元．商贩在这次销售中刚好不亏不赚，则亏本的那双皮鞋的进价是　　元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】销售问题；应用意识．
【答案】150．
【分析】可设亏本的那双皮鞋的进价是x元，则盈利的那双皮鞋的进价是（200﹣x）元，根据等量关系：一双盈利30%，另一双亏本10%，商贩在这次销售中刚好不亏不赚，列出方程，再解方程即可求出答案．
【解答】解：设亏本的那双皮鞋的进价是x元，则盈利的那双皮鞋的进价是（200﹣x）元，依题意有
（1+30%）（200﹣x）+（1﹣10%）x＝200，
解得x＝150．
故亏本的那双皮鞋的进价是150元．
故答案为：150．
19.解方程：
（1）；
（2）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝；
（2）y＝．
【分析】（1）先去括号，再去分母，移项合并同类项，系数化为1可求解；
（2）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化为1可求解．
【解答】解：（1）去括号得，
去分母得x+5x+4＝16﹣2x，
移项得x+5x+2x＝16﹣4，
合并同类项得8x＝12，
系数化为1得x＝；
（2）去分母得3（3y﹣1）﹣2（5y+1）＝6﹣（7y+1），
去括号得9y﹣3﹣10y﹣2＝6﹣7y﹣1，
移项9y﹣10y+7y＝6﹣1+3+2，
合并同类项得6y＝10，
系数化为1得y＝．
20甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】应用题；经济问题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500﹣x）元．根据公式：总利润＝总售价﹣总进价，即可列出方程．
【解答】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500﹣x）元，
根据题意得：90%?（1+50%）x+90%?（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157，
解得：x＝300，500﹣x＝200．
答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．
21.A、B两站相距300千米，一列快车从A站开出，行驶速度是每小时60千米，一列慢车从B站开出，行驶速度是每小时40千米，快车先开15分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？（只列出方程，不用解）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】设快车开出x小时后两车相遇，根据题意可得，两辆车总共走了300千米，据此列方程．
【解答】解：设快车开出x小时后两车相遇，
根据题意得：60x+40（x﹣）＝300．
22某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．
【解答】解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：
2x+10﹣x＝18，
解得：x＝8，
则10﹣x＝2，
答：甲队胜了8场，则负了2场；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：
2a+（10﹣a）＞15，
解得：a＞5，
答：乙队在初赛阶段至少要胜6场．
23某班的一次数学小测验中，共出了20道选择、填空题，每题5分，总分为100分．现从中抽出5份试卷进行分析，如下表：
试卷 正确个数 错误个数 得分
A 19 1 94
B 18 2 88
C 17 3 82
D 14 6 64
E 10 10 40
（1）某同学得70分，他答对了多少道题？
（2）刘婧婧同学告诉老师：她和同桌张欣都考到了及格（60分以上），而且比张欣的分数高，她俩的平均分是76分，通过你的计算她们俩各考了多少分？
【考点】一元一次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先设答错一道得x分，根据图表数据建立方程求出x的值，再设某同学得70分，他答对了y道题，由答对的得分+答错的得分＝70建立方程求出其解即可；
（2）设刘婧婧同学答对a道题，张欣同学答对b道题，根据条件建立不等式组求出其解即可．
【解答】解：（1）先设答错一道得x分，由题意，得
5×19+x＝94，
解得：x＝﹣1．
设某同学得70分，他答对了y道题，由题意，得
5y﹣（20﹣y）＝70，
解得：y＝15．
答：某同学得70分，他答对了15道题；
（2）设刘婧婧同学答对a道题，张欣同学答对b道题，由题意，得
，
由①，得
a+b＝32，
a＝32﹣b
由②、③，得
a＞，b＞，
∵a＞b，
∴32﹣b＞，
∴b＜．
∵a、b为整数，
∴b＝14，15，16，17，18，
∴a＝18，17，16，15，14．
∵a＞b，
∴a＝18，17．
∴b＝14，15，
∴刘婧婧的得分为：88，82，
张欣的得分为：64，70
答：当刘婧婧考88分时，张欣考64分，当刘婧婧考82分时，张欣考70分．
24列一元一次方程解应用题：
国家大剧院举行了《可爱的中国》庆祝改革开放40周年音乐会．本次演出的票价分为以下几个类别，如表所示：
演出票类别 A类 B类 C类 D类 E类
演出票单价（元） 300 280 240 180 100
小宇购买了A类和C类的演出票共10张，他发现这10张演出票的总价恰好可以购买8张B类票和4张E类票．问小宇购买A类和C类的演出票各几张？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意，设小宇购买A类的演出票x张，则C类的演出票有10﹣x张；然后根据：A类演出票的价格+C类演出票的价格＝8张B类票的价格+4张E类票的价格，列出方程，求出A类的演出票的数量，进而求出C类的演出票的数量即可．
【解答】解：设小宇购买A类的演出票x张，则C类的演出票有10﹣x张，
所以300x+240（10﹣x）＝280×8+100×4，
整理，可得60x+2400＝2640，
解得x＝4，
∴10﹣4＝6（张）．
答：小宇购买A类的演出票4张，C类的演出票6张．
25疫情后为了复苏经济，龙岗区举办了“春暖龙城，约惠龙岗”的促消费活动，该活动拿出1.1亿元，针对全区零售，餐饮，购车等领域出台优惠政策．为配合区的经济复苏政策，龙岗天虹超市同时推出了如下促销活动：
龙岗天虹超市促销活动方案：
①购物不足500元优惠15%（打8.5折）；
②超过500元，其中500元优惠15%（打8.5折），超过部分优惠20%（打8折）．
（1）小哲在促销活动时购买了原价为200元商品，他实际应支付多少元？
（2）小哲在第一次购物后，在“龙岗发布”微信公众号中参与摇号抢到了一张满300减100的购物券（即微信支付300元以上自动减100元），又到龙岗天虹超市去购物，用微信实际支付了381元，他购买了原价多少元的商品？
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】销售问题；应用意识．
【答案】（1）170元；
（2）570元．
【分析】（1）根据促销活动方案列出算式计算即可求解；
（2）可设他购买了原价x元的商品，根据用微信实际支付了381元，列出方程计算即可求解．
【解答】解：（1）200×（1﹣15%）＝170（元）．
故他实际应支付170元；
（2）设他购买了原价x元的商品，依题意有
500×（1﹣15%）+（1﹣20%）（x﹣500）﹣100＝381，
解得x＝570．
故他购买了原价570元的商品．