《2.4线段、角的轴对称性》能力提升训练2021-2022学年苏科版八年数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年苏科版八年数学上册《2.4线段、角的轴对称性》能力提升训练（附答案）
1．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（　　）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
2．如图，在△ABC中，∠B＝15o，∠C＝30o，MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，已知BC的长为6+2，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．6
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
5．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝12，DE＝4，则△ABD的面积是（　　）
A．4 B．12 C．24 D．48
二．填空题（共5小题）
6．如图，△ABC中，AB与AC的垂直平分线EF和MN分别交BC于E，N，垂足分别为F，M若∠EAN＝40°，则∠BAC的度数是 　 　．
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是　 　．
8．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为　 　．
9．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠FAC＝65°，则∠B的度数为　 　．
10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若AE＝6，EF＝8，FC＝10，则△ABC的周长是　 　．
三．解答题（共12小题）
11．如图，已知AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，试说明AF⊥BE的理由．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．
14．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝25cm，DA＝15cm，CB＝10cm．动点
E从A点出发，以2cm/s的速度向B点移动，设移动的时间为x秒．
（1）当x为何值时，点E在线段CD的垂直平分线上？
（2）在（1）的条件下，判断DE与CE的位置关系，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，连接CE．求证：∠BCE＝∠A+∠ACB．
16．如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，
（1）求∠PAB的度数；
（2）直接写出∠APB与∠ACB的数量关系　 　．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．求证：DE＝EC．（用三种方法证明）
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
19．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
20．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
21．如图，AB垂直平分线段CD（AB＞CD），点E是线段CD延长线上的一点，且BE＝AB，连接AC，过点D作DG⊥AC于点G，交AE的延长线于点F．
（1）若∠CAB＝α，则∠AFG＝　 　（用α的代数式表示）；
（2）线段AC与线段DF相等吗？为什么？
（3）若CD＝6，求EF的长．
22．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　．
参考答案
1．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．
故选：B．
2．解：∵∠B＝15o，∠C＝30o，
∴∠BAC＝180°﹣15°﹣30°＝135°，
∵MN是AB的中垂线，PQ是AC的中垂线，
∴NA＝NB，QA＝QC，
∴∠NAB＝∠B＝15o，∠QAC＝∠C＝30o，
∴∠NAQ＝135°﹣15°﹣30°＝90°，∠ANQ＝30°，
∴NQ＝2AQ，
∴AN＝AQ，
∴AQ+AQ+2AQ＝6+2，
解得，AQ＝2，
∴AN＝AQ＝2，
∴阴影部分的面积＝×2×2＝2，
故选：B．
3．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB?DE＝×10?DE＝15，
解得DE＝3，∴CD＝3．故选：A．
4．解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
5．解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝4，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故选：C．
6．解：EF、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
故答案为：110°．
7．解：∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×4×2+AC?2＝7，
解得AC＝3．
故答案为：3．
8．解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝5，
连接BD，
∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，
设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，
即（4﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝，
即BD＝，
在Rt△DEB中，DE＝，
故答案为：．
9．解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
设∠CAD＝∠BAD＝x°，
∵EF垂直平分AD，
∴FA＝FD，
∴∠FDA＝∠FAD，
∵∠FAC＝65°，
∴∠FAD＝∠FAC+∠CAD＝65°+x°，
∵∠FDA＝∠B+∠BAD＝∠B+x°，
∴65°+x°＝∠B+x°，
∴∠B＝65°，
故答案为：65°．
10．解：连接BE，BF，
∵AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，AE＝6，FC＝10，
∴BE＝AE，BF＝CF＝10，
∵EF＝8，
∴BE2+EF2＝BF2，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AB＝AE＝6，
∵CE＝18，
∴△ABC的周长＝6+24，
故答案为：6+24．
11．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE∥AD，
∴∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，
∴∠EBA＝∠E，
∴AE＝AB，
又∵F是BE的中点，
∴AF⊥BE．
12．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
13．证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，
∴∠C＝∠BAM，
∵AD平分∠MAC，
∴∠MAD＝∠CAD，
∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴AB＝BD，
∵BE平分∠ABC，
∴BF⊥AD，AF＝FD，
即线段BF垂直平分线段AD．
14．解：（1）设AE＝acm，则BE＝（25﹣a）cm，
∵点E在线段CD的垂直平分线上，
∴DE＝CE，
由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，BC2+BE2＝CE2，
∴AD2+AE2＝BC2+BE2，
即152+a2＝102+（25﹣a）2，
解得：a＝10，
即AE＝10（cm），
∴x＝＝5，
即当x＝5时，点E在线段CD的垂直平分线上；
（2）DE与CE的位置关系是DE⊥CE，
理由是：∵△ADE≌△BEC，
∴∠ADE＝∠CEB，
∵∠A＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠AED+∠CEB＝90°，
∴∠DEC＝180°﹣（∠AED+∠CEB）＝90°，
∴DE⊥CE．
15．证明：∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，
∴CE＝BE，
∴∠ECB＝∠EBC，
∵∠EBC＝∠A+∠ACB，
∴∠BCE＝∠A+∠ACB．
16．解：（1）∵P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PC＝PB，
∴∠PAC＝∠PCA＝20°，
∠PBC＝∠PCB＝30°，
∵∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝（180°﹣2×20°﹣2×30°）＝40°．
（2）∵∠APB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝50°，
∴∠APB＝2∠ACB．
故答案为∠APB＝2∠ACB．
17．证明：方法一：如图1，连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE＝AE，∠ABE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠CBE＝∠DBE＝30°，
∵DE⊥AB，CE⊥BC，
∴CE＝DE；
方法二：如图2，连接CD，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∴△BDC是等边三角形，
∴∠BCD＝∠BDC＝60°，
∵∠BDE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴DE＝CE；
方法三：如图3，延长DE交BC的延长线于F，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，BC＝AB，
∵DE垂直平分AB，
∴BD＝AD＝AB，∠BDF＝90°，
∴∠F＝30°，
∴BD＝BF，
∴CF＝BD＝AD，
在△ADE与△FCE中，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴DE＝CE．
18．证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠2，DE⊥AC，∠ABC＝90°
∴DE＝BD，
∵∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴BD＝BF，
∴DE＝BF．
19．解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
20．（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME＝MC，
∵M为BC中点，
∴MB＝MC，
又∵ME＝MC，
∴ME＝MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠DMA＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，
即DM⊥AM．
（3）解：CD+AB＝AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C＝∠DEM＝90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD＝DE，
同理AE＝AB，
∵AE+DE＝AD，
∴CD+AB＝AD．
21．解：（1）∵AB⊥CD，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∵∠CAB＝α，∠CDG＝90°﹣（90°﹣α）＝α＝∠EDF．
∴∠AFG＝∠AED﹣∠EDF＝45°﹣α；
故答案为：45°﹣α；
（2）相等，
证明：连接AD，
∵AB垂直平分线段CD，
∴AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°﹣α，
∴∠DAE＝∠ADC﹣45°＝45°﹣α，
∴∠DAE＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∴AC＝DF；
（3）∵CD＝6，
∴BD＝CB＝3，
过F作FH⊥CE交CE的延长线于H，
则△EHF是等腰直角三角形，
∴FH＝HE，
∵∠H＝∠ABC＝90°，∠CAB＝∠CDG＝∠FDH，AC＝AD＝DF，
∴△ACB≌△DFH（AAS），
∴FH＝CB＝3，
∴EF＝FH＝3．
22．解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．