21.1 一元二次方程 教案—2021-2022学年人教版数学九年级上册

21.1
一元二次方程
一、教学目标
1.让学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化
为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.
2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.
二、教学重难点
重点
了解一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单的问题.
难点
一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别.
重难点解读
1.一元二次方程定义中“等号两边都是整式”是指原方程中等号两边都是整式，而不是“整理合并（指去分母、去括号、移项和合并同类项）”之后是整式；定义中“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2”是对方程“整理合并”以后而言的.
2.同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.像这样的方程才是一元二次方程.
3.判断一个数是否为一元二次方程的解的方法：将数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数是一元二次方程的解，反之不是一元二次方程的解.
4.确定一元二次方程各项的系数，必须先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），通常要将二次项系数化负为正，化分为整，写项和各项的系数时都包含它前面的符号.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.回顾方程的概念.
2.下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式.
（1）2x-1=0；（2）mx+n=0；（3）+1=0；（4）x2=1.
3.下列哪个实数是方程2x-1=3的解？并给出方程的解的概念.
A.0
B.1
C.2
D.3
活动2
探究新知
1.教材第2页
问题1.
提出问题：
（1）正方形的大小由什么决定？本题应该设哪个量为未知数？
（2）本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？
（3）这个方程能整理为比较简单的形式吗？如果能，请说出整理之后的方程.
2.教材第2页
问题2.
提出问题：
（1）参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
（2）全部比赛的场数是多少场？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛的场数？根据数量关系，你列出的方程是什么？
（3）这个方程能整理为更简单的形式吗？如果能，请说出整理之后的方程.
3.一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数.
提出问题：
本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？
4.一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？（列出方程即可）
活动3
知识归纳
提出问题：
（1）上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？
（2）类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？
（3）归纳一元二次方程的概念.
1.等号两边都是
整式
，只含有
一
个未知数（一元），并且未知数的最高次数是
2（二次）
的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0（a≠0）
.其中ax2是
二次项
，a是
二次项系数
；bx是
一次项
，b是
一次项系数
；c是
常数项
.
（1）一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右两边分别是什么？
（2）为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？
（3）2x2-x+1=0的一次项系数是1吗？为什么？
3.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的
根
.
活动4
典例赏析及练习
例1
在下列方程中，属于一元二次方程的是
（1）（3）（6）
.
（1）1-x2=0；（2）2（x2-1）=3y；（3）2x2-3x-1=0；
（4）+=2；（5）（x+3）2=（x-3）2；（6）9x2=5-4x.
判断一个方程是否为一元二次方程的依据：（1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）含有未知数的项的最高次数是2.（注意：有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程）
例2
将方程3x（x-1）=5（x+2）化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
【答案】解：一元二次方程的一般式形式为3x2-8x-10=0.二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.
例3
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4中哪些数是方程x2-x-6=0的根？
判断一个数是否为方程的根（解），可以将这个数代入方程，看方程左、右两边的值是否相等.
【答案】-2，3是方程x2-x-6=0的根.
练习：
1.若（a-1）x2+3ax-1=0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是
a≠1
.
2.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2+1=6x；（2）（3x-2）（x+1）=x（2x-1）.
【答案】解：（1）一元二次方程的一般形式为3x2-6x+1=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1；（2）一元二次方程的一般形式为x2+2x-2=0.其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-2.
3.根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）一个圆的面积是6.28
m2，求半径；
【答案】解：设半径为r
m，根据圆的面积公式，得πr2=6.28.一元二次方程的一般形式为πr2-6.28=0；
（2）一个直角三角形的两条直角边相差3
cm，面积是9
cm2，求较长的直角边的长.
【答案】解：设较长的直角边的长为x
cm，则较短的直角边的长为（x-3）cm，根据面积公式，得x（x-3）=9.一元二次方程的一般形式为x2-3x-18=0.
4.若-4是关于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一个根，则k的值为
4
.
活动5
课堂小结
1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），特别注意a≠0.
3.使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
四、作业布置与教学反思