2021-2022学年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷（word答案版）

2021-2022学年湘教新版九年级上册数学《第4章
锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
2．比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（　　）
A．tan46°＜cos29°＜sin59°
B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29°
D．sin59°＜cos29°＜tan46°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则cosA的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知∠A是锐角，且sinA＝，则tanA的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（　　）
A．
B．
C．
D．3
6．2cos30°的值等于（　　）
A．
B．
C．
D．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin∠B的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则∠A的正切值为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（　　）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．cosB＝
10．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）
A．不变
B．增大
C．减小
D．先变大再变小
二．填空题
11．已知∠A为锐角且4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A＝0，则tanA＝　
　．
12．在△ABC中，AC＝2，点D为直线AB上一点，且AB＝3BD，直线CD与直线BC所成锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为　
　．
13．一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为　
　．
14．比较下列三角函数值的大小：sin40°　
　cos40°（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cosB＝，则AC的长为　
　．
16．若tanα＝，则sinα＝　
　．
17．已知α为一锐角，且cosα＝sin60°，则α＝　
　度．
18．若，那么△ABC的形状是　
　．
19．如图，若点A的坐标为，则sin∠1＝　
　．
20．有四个命题：
①若45°＜a＜90°，则sina＞cosa；
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；
③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；
④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．
其中正确命题的序号是　
　（注：把所有正确命题的序号都填上）．
三．解答题
21．在△ABC中，∠B、∠C
均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
22．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°＝　
　；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
23．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosB，tanA的值．
24．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为　
　
A．
B．1
C．
D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　
　．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
25．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　
　cosα；若∠α＜45°，则sinα　
　cosα；若∠α＞45°，则sinα　
　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴cosB＝＝．
故选：A．
2．解：∵cos29°＝sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故选：D．
3．解：∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝，
故选：B．
4．解：如图所示：
∵sinA＝，
∴设AB＝5x，则BC＝3x，
故AC＝4x，
∴tanA＝．
故选：A．
5．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴cosA＝＝＝，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝cosA＝．
故选：A．
6．解：2cos30°＝2×．
故选：B．
7．解：如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝，
∴sin∠B＝，
故选：A．
8．解：
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝，
∴设BC＝3x，AB＝5x，
由勾股定理得：AC＝＝4x，
∴tanA＝＝＝，
即∠A的正切值为，
故选：D．
9．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sinA＝sin∠BCD＝，
故选：A．
10．解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF＝∠DBE，设∠DCF＝∠DBE＝α，
∴CF＝DC?cosα，BE＝DB?cosα，
∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BC?cosα，
∵∠ABC＝90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B向C运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF＝BC?cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
面积法：S△ABC＝?AD?CF+?AD?BE＝?AD（CF+BE），
∴CF+BE＝，
∵点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的，
∴CF+BE的值是逐渐减小．
故选：C．
二．填空题
11．解：由题意得：（2sinA﹣cosA）2＝0，
解得：2sinA﹣cosA＝0，2sinA＝cosA，
∴tanA＝＝＝0.5．
故答案为：0.5．
12．解：如图1中，当点D在AB的延长线上时，作BE⊥CD垂足为E，
∵AC⊥CD，
∴AC∥BE，
∴＝＝，
∵，
∴BE＝，
∵tan，
∴EC＝2BE＝，
∴BC＝＝＝．
如图2中，当点D在线段AB上时，
作BE⊥CD于E，
∵AC∥BE，AC＝2，
∴＝＝，
∴BE＝，
∵tan∠BCE＝，
∴EC＝2BE＝2，
∴BC＝＝5．
故答案为或5．
13．解：①4cm为腰长时，
作AD⊥BC于D．
∴BD＝CD＝3cm，
∴cosB＝；
②4cm为底边时，
同理可得BD＝CD＝2cm，
∴cosB＝＝，
故答案为或．
14．解：∵cos40°＝sin50°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵40°＜50°，
∴sin40°＜cos40°．
15．解：∵AB＝10，cosB＝，
∴BC＝10×＝8，
∴AC＝＝6，
故答案为：6．
16．解：∵tanα＝，
∴cos2α＝＝＝＝，
∴sin2α＝1﹣＝，
则sinα＝±，
故答案为：±
17．解：∵sin60°＝cos（90°﹣60°），
∴cosα＝cos（90°﹣α）＝cos30°，
即锐角α＝30°．
故答案为：30．
18．解：由题意得：cosA﹣＝0，tanB﹣＝0，
∴cosA＝，tanB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝60°，
∴△ABC的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
19．解：如图，，
由勾股定理，得
OA＝＝2．
sin∠1＝＝，
故答案为：．
20．解：①因为sin45°＝cos45°＝，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；
②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；
③根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝．
∴x1+x2+x1x2＝，是正数．
故此选项错误；
④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．
故正确的有①④．
三．解答题
21．证明：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AD＝ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，
∴AD＝ACsinC，
∴ABsinB＝ACsinC，
而AB＝c，AC＝b，
∴csinB＝bsinC，
∴＝．
22．解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝AB，
∴ctan30°＝＝．
故答案为：；
（2）∵tanA＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴ctanA＝＝＝．
23．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
根据勾股定理可得：AC＝4，
∴sinA＝，cosB＝＝，tanA＝＝．
24．解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．
∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对的定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．
25．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．
26．解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）
（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∵∠B＝∠A，
∴∠AEH＝∠A，，（1分）
∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）
（3）∵，CD＝3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两种可能．（1分）
当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF＝6；（2分）
当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC＝90°，
∵∠FDC+∠F＝90°，
∴∠F＝∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF＝1，∴BF＝7，（2分）
综上所述，BF为6或7．