第五章函数的应用复习课第五课时课件（复合函数的零点问题）-2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册（33张PPT）

第五课时
（复合函数的零点问题）
第五章函数的应用复习
北师大（2019）必修1
看看这一节我们要学什么
1.复合函数零点个数判断
2.复合函数零点求参.
3.复合函数零点分布.
复合函数定义
复合函数定义： 设 y =f（ t ） ， t= g （x ） ， 且函数 g （x ）的值域f （t） 定义域的子集，那么 y 通过 t 的联系而得到自变量 x 的函数， 称 y 是 x 的复合函数， 记y=f[g(x)]
复合函数求零点原则
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3.解方程和根的存在定理也会用到
环节一
零点个数
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复合函数零点个数
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复合函数零点个数
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复合函数零点个数
例2.定义域和值域均为[-a,a] (常数 a>0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解； (2) 方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个解；(3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解； (4)方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解。那么， 其中正确命题的个数是
( )A． 1 B. 2 C. 3 D. 4
解： 选 B. （1） 方程 f[g（x） ]=0 有且仅有三个解； g（x） 有三个不同值， 由于 y=g（x） 是
减函数， 所以有三个解， 正确；
复合函数零点个数
例2.定义域和值域均为[-a,a] (常数 a>0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解； (2) 方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个解；(3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解； (4)方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解。那么， 其中正确命题的个数是
( )A． 1 B. 2 C. 3 D. 4
（2） 方程 g[f（x） ]=0 有且仅有三个解； 从图中可知， f（x） ∈（0， a） 可能有 1， 2， 3 个
解， 不正确；
复合函数零点个数
例2.定义域和值域均为[-a,a] (常数 a>0)的函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像如图所示，给出下列四个命题中：(1) 方程 f[g(x)]=0 有且仅有三个解； (2) 方程 g[f(x)]=0 有且仅有三个解；(3) 方程 f[f(x)]=0 有且仅有九个解； (4)方程 g[g(x)]=0 有且仅有一个解。那么， 其中正确命题的个数是
( )A． 1 B. 2 C. 3 D. 4
（3） 方程 f[f（x） ]=0 有且仅有九个解； 类似（2） 不正确；
（4） 方程 g[g（x） ]=0 有且仅有一个解． 结合图象， y=g（x） 是减函数， 故正确
复合函数零点个数
例3.已知函数 y=f（x） 和 y=g（x） 在[﹣ 2， 2]上的图象如图所示： 给出下列四个命题
①方程 f[g（x） ]=0 有且仅有 6 个根； ②方程 g[f（x） ]=0 有且仅有 3 个根；
③方程 f[f（x） ]=0 有且仅有 7 个根； ④方程 g[g（x） ]=0 有且仅有 4 个根．
其中正确命题的序号为 ．
解： ①设 t=g（x）， 则由 f[g（x） ]=0， 即 f（t） =0， 则 t 1 =0 或﹣ 2＜t 2 ＜﹣ 1 或 1＜t 3 ＜2，
当 t 1 =0 时， t=g（x） 有 2 个不同值，
当﹣ 2＜t 2 ＜﹣ 1 时， t=g（x） 有 2 个不同值，
当 1＜t 3 ＜2， 时， t=g（x） 有 2 个不同值， ∴方程 f[g（x） ]=0 有且仅有 6 个根，
故①正确．
复合函数零点个数
例3.已知函数 y=f（x） 和 y=g（x） 在[﹣ 2， 2]上的图象如图所示： 给出下列四个命题
①方程 f[g（x） ]=0 有且仅有 6 个根； ②方程 g[f（x） ]=0 有且仅有 3 个根；
③方程 f[f（x） ]=0 有且仅有 7 个根； ④方程 g[g（x） ]=0 有且仅有 4 个根．
其中正确命题的序号为 ．
②设 t=f（x）， 若 g[f（x） ]=0， 即 g（t） =0，
则﹣ 2＜t 1 ＜﹣ 1 或 0＜t 2 ＜1，
当﹣ 2＜t 1 ＜﹣ 1 时， t=f（x） 有 1 个不同值，
当 0＜t 2 ＜1 时， t=f（x） 有 3 个不同值，
∴方程 g[f（x） ]=0 有且仅有 4 个根， 故②错误．
复合函数零点个数
例3.已知函数 y=f（x） 和 y=g（x） 在[﹣ 2， 2]上的图象如图所示： 给出下列四个命题
①方程 f[g（x） ]=0 有且仅有 6 个根； ②方程 g[f（x） ]=0 有且仅有 3 个根；
③方程 f[f（x） ]=0 有且仅有 7 个根； ④方程 g[g（x） ]=0 有且仅有 4 个根．
其中正确命题的序号为 ．
③设 t=f（x）， 若 f[f（x） ]=0， 即 f（t） =0，
则 t 1 =0 或﹣ 2＜t 2 ＜﹣ 1 或 1＜t 3 ＜2，
当 t 1 =0 时， t=f（x） 有 3 个不同值，
当﹣ 2＜t 2 ＜﹣ 1 时， t=f（x） 有 1 个不同值，
当 1＜t 3 ＜2， 时， t=f（x） 有 1 个不同值， ∴方程 f[f（x） ]=0 有且仅有 5 个根， 故③错误．
复合函数零点个数
例3.已知函数 y=f（x） 和 y=g（x） 在[﹣ 2， 2]上的图象如图所示： 给出下列四个命题
①方程 f[g（x） ]=0 有且仅有 6 个根； ②方程 g[f（x） ]=0 有且仅有 3 个根；
③方程 f[f（x） ]=0 有且仅有 7 个根； ④方程 g[g（x） ]=0 有且仅有 4 个根．
其中正确命题的序号为 ．
④设 t=g（x）， 若 g[g（x） ]=0， 即 g（t） =0，
则﹣ 2＜t 1 ＜﹣ 1 或 0＜t 2 ＜1，
当﹣ 2＜t 1 ＜﹣ 1 时， t=g（x） 有 2 个不同值，
当 0＜t 2 ＜1 时， t=g（x） 有 2 个不同值， ∴方程 g[g（x） ]=0 有且仅有 4 个根， 故④正确．
故正确的是①④.
复合函数零点个数
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正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负 半轴图像。 通过数形结合可得共有 7 个交点
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复合函数零点个数
答案：5
环节二
零点求参
复合函数零点求参
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t
x
t
k
k<0 时， 存在唯一的 t(t>1),由 t= t=| f( x)| 的图像知， 存在两个 x, ①正确
复合函数零点求参
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t
x
t
k
k=0,t=0（对应 x=1,-1） 或 1(对应 3
个 x),此时有 5 个不同的实根， ③正确，
复合函数零点求参
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t
x
t
k
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复合函数零点求参
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复合函数零点求参
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复合函数零点求参
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复合函数零点求参
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分析： 由题意得， 函数 f ( x ) 是具体的， 应先画出， 根据图像分析方程 f 2 (x)+bf(x)+c=0 的解的情况， 讨论两同根或两异根，根据图像写范围， 得解画出图像如下：
f 2 (x)+bf(x)+c=0， 设 f(x)=u，
则 u 2 +bu+c=0
① 当 u 1 =u 2 =u 0 ， 不可能有 7 个 x 满足， 舍去
复合函数零点求参
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分析： 由题意得， 函数 f ( x ) 是具体的， 应先画出， 根据图像分析方程 f 2 (x)+bf(x)+c=0 的解的情况， 讨论两同根或两异根，根据图像写范围， 得解画出图像如下：
f 2 (x)+bf(x)+c=0， 设 f(x)=u，
当有两解 u 1 ， u 2 时， u 1 =0， u 2 ＞ 0 即， u 1 u 2 =c=0， u 1 +u 2 =-b
＞ 0， 故 c=0， b ＜ 0
综上可知： 充要条件是 c=0， b ＜ 0。
复合函数零点求参
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复合函数零点求参
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复合函数零点求参
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复合函数零点求参
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环节三
零点分布
复合函数零点分布
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x
t
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t
y
t=1
t=1
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t=0.5
t=0.5
故若 f（x） =1， 则 x=2 或 x=3 或 x=1；
若 f（x） =0.5 ， 则 x=0 或 x=4；
故 原式为30， 故选： C．
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复合函数零点分布