模块综合测评 1-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 模块综合测评 1-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 204.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-15 09:28:33 | ||
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文档简介
模块综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
2.＋1与－1的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D.
3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )
A. B. C．2 D．3
4．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )
A．y＝7x＋4 B．y＝x－4
C．y＝7x＋2 D．y＝x－2
5．在等差数列{an}中，a5，a10是方程x2－10x－6＝0的两个根，则{an}的前14项和为( )
A．55 B．60 C．65 D．70
6．已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于( )
A．1或－ B．－
C. D．1
7．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos x
C．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝
8．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( )
A．3(3n－2n) B．3n＋2n
C．3n D．3·2n－1
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为( )
A．li B．li
C．f′(t0) D．f′(t)
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S3＝2a1，则下列结论正确的是( )
A．a4＝0 B．S4＝S3
C．S7＝0 D．{an}是递减数列
11．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n可能是( )
A．4 B．5 C. 6 D．7
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图像恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：
①y＝sin x; ②y＝cos；③y＝ex－1；④y＝x2.
其中为一阶格点函数的序号有( )
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则公比q＝________，S6等于________．(本题第1空2分，第2空3分)
14．已知f(x)＝x(2 019＋ln x)，f′(x0)＝2 020，则x0＝________.
15．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
16．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3.
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．
19．(本小题满分12分)求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
模块综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
A [由题意得即解得a1＝－2，d＝3.]
2.＋1与－1的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D.
C [设x为＋1与－1的等比中项，则x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝±1.]
3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )
A. B. C．2 D．3
D [由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3.]
4．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )
A．y＝7x＋4 B．y＝x－4
C．y＝7x＋2 D．y＝x－2
D [y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.]
5．在等差数列{an}中，a5，a10是方程x2－10x－6＝0的两个根，则{an}的前14项和为( )
A．55 B．60 C．65 D．70
D [∵在等差数列{an}中，a5，a10是方程x2－10x－6＝0的两个根，∴a5＋a10＝10，
∴{an}的前14项和S14＝(a1＋a14)＝7(a5＋a10)＝7×10＝70.故选D.]
6．已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于( )
A．1或－ B．－
C. D．1
B [在等比数列{an}中，由a1≠a2，得q≠1，
因为a7，a1，a4成等差数列，所以a7＋a4＝2a1，
即a4(q3＋1)＝2，所以q6＋q3－2＝0，解得q3＝1(舍)或q3＝－2.所以q＝－.]
7．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos x
C．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝
B [对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0处没有定义，所以x＝0不可能成为极值点．综上可知，答案选B.]
8．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( )
A．3(3n－2n) B．3n＋2n
C．3n D．3·2n－1
C [由Sn＝(an－1)(n∈N*)可得Sn－1＝(an－1－1)(n≥2，n∈N*)，两式相减可得an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝3an－1(n≥2，n∈N*)．又a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，则an＝3n.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为( )
A．li B．li
C．f′(t0) D．f′(t)
AC [物体在时刻t0的瞬时速度，即为该点处的导数，故选AC.]
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S3＝2a1，则下列结论正确的是( )
A．a4＝0 B．S4＝S3
C．S7＝0 D．{an}是递减数列
ABC [设等差数列{an}的公差为d，由S3＝2a1，得3a1＋3d＝2a1，即a1＋3d＝0，所以a4＝0，S4＝S3，S7＝7a1＋21d＝7(a1＋3d)＝0，故选项A，B，C正确．]
11．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n可能是( )
A．4 B．5 C. 6 D．7
BC [由题设可知a1＝－a11，所以a1＋a11＝0，所以a6＝0.因为d<0，故a5>0，a7<0，所以n＝5或6.]
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图像恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：
①y＝sin x; ②y＝cos；③y＝ex－1；④y＝x2.
其中为一阶格点函数的序号有( )
A．① B．② C．③ D．④
AC [对于①，注意到y＝sin x的值域是[－1,1]；当sin x＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时相应的整数x＝0；当sin x＝±1时，x＝kπ＋(k∈Z)，此时没有相应的整数x，因此函数y＝sin x仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y＝cos不是一阶格点函数．对于③，令y＝ex－1＝k(k∈Z)得ex＝k＋1>0，x＝ln(k＋1)，仅当k＝0时，x＝0∈Z，因此函数y＝ex－1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y＝x2的图像经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y＝x2不是一阶格点函数．综上所述知选AC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则公比q＝________，S6等于________．(本题第1空2分，第2空3分)
－2 [∵{an}为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝＝－8，∴q＝－2.
又a5＝a1q4，∴a1＝＝－，∴S6＝＝＝.]
14．已知f(x)＝x(2 019＋ln x)，f′(x0)＝2 020，则x0＝________.
1 [f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，
又∵f′(x0)＝2 020，
∴f′(x0)＝2 020＋ln x0＝2 020，则ln x0＝0，x0＝1.]
15．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
10 [观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10.]
16．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x){x|x<1} [令g(x)＝2f(x)－x－1.因为f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)为单调增函数．因为f(1)＝1，
所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.
所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
[解] 由题意，设这三个数分别是，a，aq，且q≠1，则＋a＋aq＝114.①
令这个等差数列的公差为d，则a＝＋(4－1)·d,
∴d＝.
又有aq＝＋24××，②
由②得(q－1)(q－7)＝0，∵q≠1，∴q＝7，
代入①得a＝14，则所求三个数为2,14,98.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3.
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．
[解] (1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意得f′(0)＝b＝3.∴b＝3.
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，
∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．
②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x －∞，
，1 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.
19．(本小题满分12分)求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
[解] 当a＝0时，Sn＝1.
当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2.
当a≠0且a≠1时，
Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1，
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，
两式相减，有
(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an＝1＋2－(2n－1)an，
此时Sn＝＋.
当a＝0时，也满足此式．
综上，Sn＝
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
[解] (1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.
[解] (1)由Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)，得Sn－1＝an＋n(n≥2，n∈N*)，
两式相减，并化简，得an＋1＝3an－2，
即an＋1－1＝3(an－1)．
因为a1－1＝－2－1＝－3≠0，
所以{an－1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，
所以an－1＝(－3)·3n－1＝－3n，故an＝－3n＋1.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈[2，＋∞)时， f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3·(x－2)>0，
所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
2.＋1与－1的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D.
3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )
A. B. C．2 D．3
4．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )
A．y＝7x＋4 B．y＝x－4
C．y＝7x＋2 D．y＝x－2
5．在等差数列{an}中，a5，a10是方程x2－10x－6＝0的两个根，则{an}的前14项和为( )
A．55 B．60 C．65 D．70
6．已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于( )
A．1或－ B．－
C. D．1
7．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos x
C．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝
8．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( )
A．3(3n－2n) B．3n＋2n
C．3n D．3·2n－1
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为( )
A．li B．li
C．f′(t0) D．f′(t)
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S3＝2a1，则下列结论正确的是( )
A．a4＝0 B．S4＝S3
C．S7＝0 D．{an}是递减数列
11．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n可能是( )
A．4 B．5 C. 6 D．7
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图像恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：
①y＝sin x; ②y＝cos；③y＝ex－1；④y＝x2.
其中为一阶格点函数的序号有( )
A．① B．② C．③ D．④
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则公比q＝________，S6等于________．(本题第1空2分，第2空3分)
14．已知f(x)＝x(2 019＋ln x)，f′(x0)＝2 020，则x0＝________.
15．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
16．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)
17．(本小题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3.
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．
19．(本小题满分12分)求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
模块综合测评(一)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么( )
A．它的首项是－2，公差是3
B．它的首项是2，公差是－3
C．它的首项是－3，公差是2
D．它的首项是3，公差是－2
A [由题意得即解得a1＝－2，d＝3.]
2.＋1与－1的等比中项是( )
A．1 B．－1 C．±1 D.
C [设x为＋1与－1的等比中项，则x2＝(＋1)(－1)＝1，∴x＝±1.]
3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝( )
A. B. C．2 D．3
D [由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3.]
4．曲线y＝4x－x3在点(－1，－3)处的切线方程是( )
A．y＝7x＋4 B．y＝x－4
C．y＝7x＋2 D．y＝x－2
D [y′|x＝－1＝(4－3x2)|x＝－1＝1，∴切线方程为y＋3＝x＋1，即y＝x－2.]
5．在等差数列{an}中，a5，a10是方程x2－10x－6＝0的两个根，则{an}的前14项和为( )
A．55 B．60 C．65 D．70
D [∵在等差数列{an}中，a5，a10是方程x2－10x－6＝0的两个根，∴a5＋a10＝10，
∴{an}的前14项和S14＝(a1＋a14)＝7(a5＋a10)＝7×10＝70.故选D.]
6．已知等比数列{an}(a1≠a2)的公比为q，且a7，a1，a4成等差数列，则q等于( )
A．1或－ B．－
C. D．1
B [在等比数列{an}中，由a1≠a2，得q≠1，
因为a7，a1，a4成等差数列，所以a7＋a4＝2a1，
即a4(q3＋1)＝2，所以q6＋q3－2＝0，解得q3＝1(舍)或q3＝－2.所以q＝－.]
7．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )
A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos x
C．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝
B [对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0处没有定义，所以x＝0不可能成为极值点．综上可知，答案选B.]
8．设Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝(an－1)(n∈N*)，则an＝( )
A．3(3n－2n) B．3n＋2n
C．3n D．3·2n－1
C [由Sn＝(an－1)(n∈N*)可得Sn－1＝(an－1－1)(n≥2，n∈N*)，两式相减可得an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝3an－1(n≥2，n∈N*)．又a1＝S1＝(a1－1)，解得a1＝3，所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，则an＝3n.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为( )
A．li B．li
C．f′(t0) D．f′(t)
AC [物体在时刻t0的瞬时速度，即为该点处的导数，故选AC.]
10．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S3＝2a1，则下列结论正确的是( )
A．a4＝0 B．S4＝S3
C．S7＝0 D．{an}是递减数列
ABC [设等差数列{an}的公差为d，由S3＝2a1，得3a1＋3d＝2a1，即a1＋3d＝0，所以a4＝0，S4＝S3，S7＝7a1＋21d＝7(a1＋3d)＝0，故选项A，B，C正确．]
11．等差数列{an}的公差d<0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时的项数n可能是( )
A．4 B．5 C. 6 D．7
BC [由题设可知a1＝－a11，所以a1＋a11＝0，所以a6＝0.因为d<0，故a5>0，a7<0，所以n＝5或6.]
12．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数图像恰好经过k个格点，则称函数为k阶格点函数．已知函数：
①y＝sin x; ②y＝cos；③y＝ex－1；④y＝x2.
其中为一阶格点函数的序号有( )
A．① B．② C．③ D．④
AC [对于①，注意到y＝sin x的值域是[－1,1]；当sin x＝0时，x＝kπ(k∈Z)，此时相应的整数x＝0；当sin x＝±1时，x＝kπ＋(k∈Z)，此时没有相应的整数x，因此函数y＝sin x仅过唯一的整点(0,0)，该函数是一阶格点函数．同理可知，对于②，函数y＝cos不是一阶格点函数．对于③，令y＝ex－1＝k(k∈Z)得ex＝k＋1>0，x＝ln(k＋1)，仅当k＝0时，x＝0∈Z，因此函数y＝ex－1是一阶格点函数．对于④，注意到函数y＝x2的图像经过多个整点，如点(0,0)，(1,1)，因此函数y＝x2不是一阶格点函数．综上所述知选AC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则公比q＝________，S6等于________．(本题第1空2分，第2空3分)
－2 [∵{an}为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝＝－8，∴q＝－2.
又a5＝a1q4，∴a1＝＝－，∴S6＝＝＝.]
14．已知f(x)＝x(2 019＋ln x)，f′(x0)＝2 020，则x0＝________.
1 [f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，
又∵f′(x0)＝2 020，
∴f′(x0)＝2 020＋ln x0＝2 020，则ln x0＝0，x0＝1.]
15．已知数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________.
10 [观察可知a1＋a2＝2，a3＋a4＝2，…，a9＋a10＝2，故a1＋a2＋a3＋…＋a10＝10.]
16．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)
所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.
所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)
17．(本小题满分10分)和为114的三个数是一个公比不为1的等比数列的连续三项，也是一个等差数列的第1项，第4项，第25项，求这三个数．
[解] 由题意，设这三个数分别是，a，aq，且q≠1，则＋a＋aq＝114.①
令这个等差数列的公差为d，则a＝＋(4－1)·d,
∴d＝.
又有aq＝＋24××，②
由②得(q－1)(q－7)＝0，∵q≠1，∴q＝7，
代入①得a＝14，则所求三个数为2,14,98.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－2ax2＋bx，其中a、b∈R，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为3.
(1)求b的值；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极大值，求a的值．
[解] (1)f′(x)＝a2x2－4ax＋b，由题意得f′(0)＝b＝3.∴b＝3.
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极大值，
∴f′(1)＝a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.
①当a＝1时，f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1) 1 (1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意．
②当a＝3时，f′(x)＝9x2－12x＋3＝3(3x－1)(x－1)，
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
x －∞，
，1 1 (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由上表知，函数f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意．
综上所述，若函数f(x)在x＝1处取得极大值，a的值为1.
19．(本小题满分12分)求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
[解] 当a＝0时，Sn＝1.
当a＝1时，Sn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝＝n2.
当a≠0且a≠1时，
Sn＝1＋3a＋5a2＋…＋(2n－3)an－2＋(2n－1)an－1，
aSn＝a＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＋(2n－1)an，
两式相减，有
(1－a)Sn＝1＋2a＋2a2＋…＋2an－1－(2n－1)an＝1＋2－(2n－1)an，
此时Sn＝＋.
当a＝0时，也满足此式．
综上，Sn＝
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
[解] (1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－2，且满足Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝log3(－an＋1)，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn<.
[解] (1)由Sn＝an＋1＋n＋1(n∈N*)，得Sn－1＝an＋n(n≥2，n∈N*)，
两式相减，并化简，得an＋1＝3an－2，
即an＋1－1＝3(an－1)．
因为a1－1＝－2－1＝－3≠0，
所以{an－1}是以－3为首项，3为公比的等比数列，
所以an－1＝(－3)·3n－1＝－3n，故an＝－3n＋1.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈[2，＋∞)时， f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3·(x－2)>0，
所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.