模块综合测评 2-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word含答案解析）

模块综合测评(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知在等比数列{an}中，a5＝4，a8＝，则公比q＝(　　)
A．2 B．－2 C. D．－
2．设正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
3．已知函数f(x)＝x2＋2f′(1)ln x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
4．已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是(　　)
A．24 B．27 C．30 D．33
5．等比数列{an}满足a2＋8a5＝0，设Sn是数列的前n项和，则＝(　　)
A．－11 B．－8 C．5 D．11
6.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq等于(　　)
A．10 B．15 C．－5 D．20
8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　)
A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则(　　)
A．a＝－3 B．a＝3
C. b＝24 D. b＝－24
10．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么(　　)
2
4

1
2 m

x



y



z
A.x＝1 B．y＝
C．z＝ D．m＝5
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 020>0，S2 021<0，则下列说法正确的是(　　)
A．S1 010最大
B．|a1 010|>|a1 011|
C．a1 011>0
D．数列中绝对值最小的项为a1 011
12．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(　　)
A．a＝－3，b＝－3 B．a＝－3，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝0，b＝2
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
14．曲线y＝cos x－在点(0,1)处的切线方程为________．
15．已知三次函数 f(x)过原点，且当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，则函数 f(x)＝__________________________.
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，则k＝________，ak＝________.(本题第1空2分，第2空3分)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a3＝5，S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
20．(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和，(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额72万元)．
(1)该厂从第几年开始盈利？
(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋2kn(k∈N*)，且Sn的最大值为4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
模块综合测评(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知在等比数列{an}中，a5＝4，a8＝，则公比q＝(　　)
A．2 B．－2 C. D．－
C　[因为{an}为等比数列，a5＝4，a8＝，所以a8＝a5q3，即＝4q3，解得q＝.故选C.]
2．设正弦函数y＝sin x在x＝0和x＝附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为(　　)
A．k1>k2 B．k1C．k1＝k2 D．不确定
A　[y＝sin x，y′＝cos x，∴k1＝cos 0＝1，k2＝cos ＝0，k1>k2.]
3．已知函数f(x)＝x2＋2f′(1)ln x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．－2
D　[f′(x)＝2x＋，令x＝1得
f′(1)＝2×1＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2.
即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝－2，故选D.]
4．已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是(　　)
A．24 B．27 C．30 D．33
D　[根据等差数列的性质可知a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，故a3＋a6＋a9＝2×39－45＝33.故选D.]
5．等比数列{an}满足a2＋8a5＝0，设Sn是数列的前n项和，则＝(　　)
A．－11 B．－8 C．5 D．11
A　[由a2＋8a5＝0得a1q＋8a1q4＝0，解得q＝－.易知是等比数列，公比为－2，首项为，所以S2＝＝－，S5＝＝，所以＝－11，故选A.]
6.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
A　　　　B　　　　C　　　　　D
D　[观察导函数f′(x)的图像可知，f′(x)的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A，C.如图所示，f′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3，且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D正确，故选D.]
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq等于(　　)
A．10 B．15 C．－5 D．20
D　[因为Sn＝2n2－3n(n∈N*)，所以an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n≥2)．又a1＝S1＝－1，适合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－5(n∈N*)．于是ap－aq＝4(p－q)＝20.故选D.]
8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布(　　)
A．30尺 B．90尺 C．150尺 D．180尺
B　[由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{an}，其中a1＝5，a30＝1，∴S30＝＝90，即共织布90(尺)．故选B.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则(　　)
A．a＝－3 B．a＝3
C. b＝24 D. b＝－24
AD　[由题意知，－2,4是函数f′(x)＝0的两个根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以?故选AD.]
10．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么(　　)
2
4

1
2 m

x



y



z
A.x＝1 B．y＝
C．z＝ D．m＝5
ABC　[由表格知，第三列为首项为4，公比为的等比数列，∴x＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字分别为5，，故第四列所成的等比数列的公比为，∴y＝5×3＝，同理z＝6×4＝，故选ABC.]
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2 020>0，S2 021<0，则下列说法正确的是(　　)
A．S1 010最大
B．|a1 010|>|a1 011|
C．a1 011>0
D．数列中绝对值最小的项为a1 011
ABD　[∵S2 020>0，S2 021<0, ∴>0，＝2 021a1 011<0，∴a1 010＋a1 011>0，a1 011<0，可得a1 010>0，a1 011<0，|a1 010|>|a1 011|，故A，B都正确，C错误，由等差数列的单调性即可得出：此数列中绝对值最小的项为a1 011，故D正确．故选ABD.]
12．设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是(　　)
A．a＝－3，b＝－3 B．a＝－3，b＝2
C．a＝1，b＝2 D．a＝0，b＝2
ACD　[令f(x)＝x3＋ax＋b，求导得f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，所以f(x)单调递增，且至少存在一个数使f(x)<0，至少存在一个数使f(x)>0，所以f(x)＝x3＋ax＋b必有一个零点，即方程x3＋ax＋b＝0仅有一根，故CD正确；当a<0时，若a＝－3，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，易知，f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使方程仅有一根，则f(x)极大＝b＋2<0或者f(x)极小＝b－2>0，解得b<－2或b>2，故A正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是ACD.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.
1　[设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d和q，则－1＋3d＝－q3＝8，
解得q＝－2，d＝3，那么＝＝1.]
14．曲线y＝cos x－在点(0,1)处的切线方程为________．
y＝－x＋1　[y′＝－sin x－，将x＝0代入，可得切线斜率为－.所以切线方程为y－1＝－x，即y＝－x＋1.]
15．已知三次函数 f(x)过原点，且当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，则函数 f(x)＝__________________________.
x3－6x2＋9x　[设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
∵函数图像过原点，∴d＝0，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得，即，解得，∴f(x)＝x3－6x2＋9x.]
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，则k＝________，ak＝________.(本题第1空2分，第2空3分)
7　　[因为＋＋…＋＝＝－，＋＋…＋＝＝，所以数列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首项为，公差为的等差数列，
所以该数列的前n项和Tn＝＋1＋＋…＋＝.令Tn＝＝14，解得n＝7，所以ak＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，a3＝5，S10＝100.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得解得
所以an＝2n－1.
(2)因为bn＝2an＋2n＝×4n＋2n，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n)
＝＋n2＋n＝×4n＋n2＋n－.
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
[解]　(1)因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex, f′(2)＝(2a－1)e2.
由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.
若a>1，则当x∈时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
[解]　(1) ∵{an}为等差数列，∴ a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，
∴a3∴∴
∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝，
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，
∴2c2＋c＝0，∴c＝－(c＝0舍去)．
20．(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和，(f(n)＝前n年的总收入－前n年的总支出－投资额72万元)．
(1)该厂从第几年开始盈利？
(2)该厂第几年年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值．
[解]　(1)由题意知f(n)＝50n－－72＝－2n2＋40n－72.
由f(n)＞0，即－2n2＋40n－72＞0，解得2由n∈N*知，从第三年开始盈利．
(2)年平均纯利润＝40－2≤16，当且仅当n＝6时等号成立．
即第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值为16万元．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2＋2kn(k∈N*)，且Sn的最大值为4.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和．
[解]　(1)由题意知，当n＝－＝k时，Sn取得最大值4，所以－k2＋2k·k＝k2＝4，解得k＝2或k＝－2(舍去)，所以Sn＝－n2＋4n.当n＝1时，a1＝S1＝3.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝5－2n.经验证n＝1时也符合该式．
故数列{an}的通项公式为an＝5－2n(n∈N*)．
(2)由(1)知bn＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝＋＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋＋＋…＋，
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
[解]　(1)当k＝2时，f(x)＝ln (1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－ln 2＝(x－1)，即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f′(x)＝－.
所以，在区间(－1,0)上，f′(x)＞0；在区间(0，＋∞)上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．
当0＜k＜1时，由f′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝＞0.
所以，在区间(－1,0)和上，f′(x)＞0；在区间上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和，单调递减区间是.
当k＝1时，f′(x)＝.
故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当k＞1时，由f′(x)＝＝0，
得x1＝∈(－1,0)，x2＝0.
所以，在区间和(0，＋∞)上，f′(x)＞0；
在区间上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是和(0，＋∞)，
单调递减区间是.