章末综合测评 1 数列-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word含答案解析）

章末综合测评(一)　数列
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列{an}是首项为4，公差为3的等差数列，如果an＝2 020，则序号n等于(　　)
A．671 B．673 C．674 D．675
2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a5·a11＝16，则a7等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
3．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是(　　)
A．－2 B．－3 C．－4 D．－6
4．若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于(　　)
A．－ B. C．± D.
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3
C．an＝ D．an＝
6．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列是等差数列，则a11等于(　　)
A．0 B. C. D．－1
7．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝(　　)
A．2 B．4 C．5 D.
8．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．在等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为(　　)
A．1 B．－ C．－1 D.
10．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则(　　)
A．an＋1＝3an B．3an＋1＝an
C．a5＋a7＋a9＝35 D．a5＋a7＋a9＝
11．已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A．数列{a}是等比数列
B．若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8
C．若a1D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1＋r，则r＝－1
12．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列说法正确的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．
14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S5＝________.
15．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的第________项．
16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，＝＋2n，则an＝________，Sn＝________.(本题第1空2分，第2空3分)
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.
18．(本小题满分12分)数列{an}对任意n∈N＋，满足an＋1＝an＋1，a3＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋n，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N＋)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 020.
20．(本小题满分12分)一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
21．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N＋都成立，求最小的正整数m的值．
章末综合测评(一)　数列
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．数列{an}是首项为4，公差为3的等差数列，如果an＝2 020，则序号n等于(　　)
A．671 B．673 C．674 D．675
B　[{an}的通项公式an＝3n＋1，令3n＋1＝2 020，得n＝673.]
2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a5·a11＝16，则a7等于(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
B　[由性质得a5a11＝a＝16，由题意知a8＝4，a7＝＝＝2.]
3．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是(　　)
A．－2 B．－3 C．－4 D．－6
C　[由题意，知a6≥0，a7<0.
∴
∴－≤d<－.
∵d∈Z，∴d＝－4.]
4．若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则的值等于(　　)
A．－ B. C．± D.
A　[∵1，a1，a2,4成等差数列，
∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，
∴b2＝2，∴＝＝－.]
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－3 B．an＝2n＋3
C．an＝ D．an＝
C　[当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，又当n＝1时，a1的值不适合n≥2时的通项公式，故选C.]
6．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列是等差数列，则a11等于(　　)
A．0 B. C. D．－1
B　[设数列{bn}的通项公式bn＝，因为{bn}是等差数列，b3＝＝，b7＝＝.公差d＝＝.
∴b11＝b3＋(11－3)×d＝＋8×＝，
即＝，故a11＝.]
7．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝(　　)
A．2 B．4 C．5 D.
B　[依题意得＝＝2，
即＝2，数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此＝4.]
8．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为(　　)
A. B. C. D.
B　[依题意bn＝＝＝＝－，所以{bn}的前10项和为S10＝＋＋＋…＋＝－＝，故选B.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．在等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝18，则公比q的值为(　　)
A．1 B．－ C．－1 D.
AB　[由题知＋＋a3＝18，即＋＋6＝18，化简得，q＝1或－，故选AB.]
10．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N＋)，且a2＋a4＋a6＝9，则(　　)
A．an＋1＝3an B．3an＋1＝an
C．a5＋a7＋a9＝35 D．a5＋a7＋a9＝
AC　[由题知log3an＋1＝log3(3an)＝log3an＋1，
所以an＋1＝3an>0，所以＝3，
所以{an}是公比为3的等比数列．
所以a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)q3＝9×33＝35.故选AC.]
11．已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是(　　)
A．数列{a}是等比数列
B．若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8
C．若a1D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－1＋r，则r＝－1
AC　[B错误，a3，a5，a7同号；若{an}的前n项和Sn＝3n－1＋r，则r＝－，故D错误，AC正确．]
12．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列说法正确的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
ABD　[由S6＝S7得a7＝0，故B正确，由S50，故d＝a7－a6<0，故A正确；由S7>S8得a8<0；∵a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，∴S9S8，故S6，S7是Sn的最大值，故D正确，故选ABD.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．
2　[设前三项为a－d，a，a＋d(d>0)，则有解得所以首项为4－2＝2.]
14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S5＝________.
31　[由题知且{an}是递增数列，得所以q2＝＝4，q＝2，所以S5＝＝＝31.]
15．等比数列{an}的通项为an＝2·3n－1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{bn}，那么162是新数列{bn}的第________项．
13　[162是这个数列{an}的第5项，则它是新数列{bn}的第5＋(5－1)×2＝13项．]
16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝，＝＋2n，则an＝________，Sn＝________.(本题第1空2分，第2空3分)
　2－　[由题意可知，a1＝，－＝2n，
∴＝2，
－＝2，
－＝22，
……
－＝2n－1.
∴以上n个式子相加得
＝2＋2＋22＋…＋2n－1＝2n.
∴an＝.
∴Sn＝＋＋＋…＋， ①
∴Sn＝＋＋…＋＋， ②
①－②得Sn＝＋＋…＋－
＝1－－，
即Sn＝2－.]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.
[解]　(1)由已知Sn＝2an－a1，得
an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.
因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，
所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
故an＝2n.
(2)由(1)得＝，
所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.
18．(本小题满分12分)数列{an}对任意n∈N＋，满足an＋1＝an＋1，a3＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an＋n，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[解]　(1)由已知得an＋1－an＝1，数列{an}是等差数列，且公差d＝1.又a3＝2，所以a1＝0，所以an＝n－1.
(2)由(1)得，bn＝n－1＋n，
所以Sn＝(1＋1)＋＋…＋n－1＋n＝1＋＋＋…＋＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋＝＋.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N＋)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 020.
[解]　(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N＋)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2且n∈N＋)，
∴是等差数列．
(2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝.
∴＝＝＝675.
∴x2 020＝.
20．(本小题满分12分)一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
[解]　用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为：
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
21．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N＋，求{bn}的前n项和Tn.
[解]　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得
解得
因此an＝2n－1，n∈N＋.
(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N＋，
当n＝1时，＝；
当n≥2时，＝1－－＝.
所以＝，n∈N＋.
由(1)知an＝2n－1，n∈N＋，
所以bn＝，n∈N＋.
所以Tn＝＋＋＋…＋，
Tn＝＋＋…＋＋.
两式相减，得
Tn＝＋－
＝－－，
所以Tn＝3－.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N＋.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝(n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，若Sn<对一切n∈N＋都成立，求最小的正整数m的值．
[解]　(1)∵an＋1＝f＝＝an＋，
∴{an}是以a1＝1为首项，为公差的等差数列，
∴an＝n＋.
(2)当n≥2时，
bn＝＝
＝，
当n＝1时，上式同样成立，
∴bn＝.
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝，
∵Sn<对一切n∈N＋都成立，即<对一切n∈N＋都成立．
又随着n的增大而增大，且<，
∴≤，
∴m≥2 020.
∴最小的正整数m的值为2 020.