章末综合测评 2 导数及其应用-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（Word含答案解析）

章末综合测评(二)　导数及其应用
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为(　　)
A．f′(x0) B．2f′(x0)
C．－2f′(x0) D．0
2．函数f(x)＝ln x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)
A．－1 B. C. D．1
3．下列各式正确的是(　　)
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(cos x)′＝sin x
C．(sin x)′＝cos x
D．(x－5)′＝－x－6
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
5．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0 B．2 C．1 D．－1
6．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
7．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)
A．－5 B．7
C．10 D．－19
8．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(　　)
A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，以下命题错误的是(　　)
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
10．下列函数中，存在极值点的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝2|x|
C．y＝－2x3－x D．y＝xln x
11．若函数f(x)＝2x3－ax2(a<0)在上有最大值，则a的取值可能为(　　)
A．－6 B．－5 C．－4 D．－3
12．设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在区间(1,2)上有最大值
B．x∈(0,1)时，f(x)图像位于x轴下方
C．f(x)存在单调递增区间
D．f(x)有且仅有两个极值点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
14．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．
15．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
16．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据上面的探究结果，解答问题．(本题第1空2分，第2空3分)
(1)函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心坐标为________；
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
18．(本小题满分12分)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
章末综合测评(二)　导数及其应用
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为(　　)
A．f′(x0) B．2f′(x0)
C．－2f′(x0) D．0
B　[
＝2 ＝2f′(x0)，故选B.]
2．函数f(x)＝ln x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)
A．－1 B. C. D．1
B　[对函数求导f′(x)＝－a，k＝f′(2)＝－a＝a，所以a＝.]
3．下列各式正确的是(　　)
A．(sin a)′＝cos a(a为常数)
B．(cos x)′＝sin x
C．(sin x)′＝cos x
D．(x－5)′＝－x－6
C　[由导数公式知选项A中(sin a)′＝0；选项B中(cos x)′＝－sin x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.]
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
D　[f′(x)＝(x－2)ex，令f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．]
5．若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)
A．0 B．2 C．1 D．－1
A　[f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.]
6．函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是(　　)
A．2 B．1
C．0 D．由a确定
C　[f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.]
7．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为(　　)
A．－5 B．7
C．10 D．－19
A　[∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.
∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.]
8．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是(　　)
A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C　[不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f′(x)－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式?g(x)>0?g(x)>g(1)．
∴x>1，故选C.]
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，以下命题错误的是(　　)
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
BD　[根据导函数的图像可知当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3,1)时，f′(x)≥0，∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，函数y＝f(x)在(－3,1)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的极值点；∵函数y＝f(x)在(－3,1)上单调递增，则－1不是函数y＝f(x)的最小值点；∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，则y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零；所以命题错误的选项为BD，故答案选BD.]
10．下列函数中，存在极值点的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝2|x|
C．y＝－2x3－x D．y＝xln x
BD　[由题意，函数y＝x－，则y′＝1＋>0，所以函数y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，没有极值点．函数y＝2|x|＝，根据指数函数的图像与性质可得，当x<0时，函数y＝2|x|单调递减，当x≥0时，函数y＝2|x|单调递增，所以函数y＝2|x|在x＝0处取得极小值；函数y＝－2x3－x，则y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点；
11．若函数f(x)＝2x3－ax2(a<0)在上有最大值，则a的取值可能为(　　)
A．－6 B．－5 C．－4 D．－3
ABC　[令f′(x)＝2x(3x－a)＝0，
得x1＝0，x2＝(a<0)，
当当x<或x>0时，f′(x)>0，
12．设函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)在区间(1,2)上有最大值
B．x∈(0,1)时，f(x)图像位于x轴下方
C．f(x)存在单调递增区间
D．f(x)有且仅有两个极值点
BC　[∵f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，令g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋(x>0)，所以g′(x)>0，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1<0，g(2)＝ln 2－>0，所以函数在(1,2)上先减后增，没有最大值，所以A不正确；由f(x)＝，当x∈(0,1)时，ln x<0，∴f(x)<0，所以f(x)在(0,1)上的图像都在x轴的下方，所以B正确；因为f′(x)>0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，所以C是正确的；由g(x)＝ln x－，则g′(x)＝＋(x>0)，所以g′(x)>0，函数g(x)单调递增，则函数f′(x)＝0只有一个根x0，使得f′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增．所以函数只有一个极小值，所以D不正确，故选BC.]
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(－ln 2,2)　[设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，
∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)．]
14．直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．
(－2,2)　[令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，
如图所示，当－215．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
π　[设矩形的长为x，则宽为10－x(0∴V′(x)＝20πx－3πx2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝，
且当x∈时，V′(x)>0，函数V(x)单调递增；
当x∈时，V′(x)<0，函数V(x)单调递减．
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.]
16．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据上面的探究结果，解答问题．(本题第1空2分，第2空3分)
(1)函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心坐标为________；
(1)　(2)2 020　[(1)因为f(x)＝x3－x2＋3x－，所以f′(x)＝x2－x＋3，
所以f″(x)＝2x－1，
令f″(x)＝2x－1＝0得x＝，此时
f＝－＋－＝1，
由题意可得，即为函数
f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心；
(2)由(1)知，函数f(x)＝x3－x2＋3x－关于中心对称，
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
[解]　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又因为点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－，
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，
即x＋4y＋17＝0.
18．(本小题满分12分)已知a为实数，f(x)＝(x2－4)·(x－a)．
(1)求导数f′(x)；
(2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值．
[解]　(1)由原式得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，
∴f′(x)＝3x2－2ax－4.
(2)由f′(－1)＝0，得a＝，
此时有f(x)＝(x2－4)·，
f′(x)＝3x2－x－4.
令f′(x)＝0，得x＝或x＝－1.
又f＝－，f(－1)＝，f(－2)＝0，f(2)＝0，
∴f(x)在[－2,2]上的最大值为，最小值为－.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
[解]　(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，∴f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，
即＝0.
解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为：
x (－1,0) 0 (0，a－1) a－1 (a－1，
＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln a－a2＋.
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得0＜r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>.
[解]　(1)f′(x)＝－，
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即解得
(2)证明：由(1)知，f(x)＝＋，
所以f(x)－＝.
设函数h(x)＝2ln x－(x>0)，
则h′(x)＝－＝－.
所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，
所以当x∈(0,1)时，h(x)>0，得f(x)>；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>.
故当x>0，且x≠1时，f(x)>.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－mln x，h(x)＝x2－x＋a.
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
[解]　(1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，
当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln 3，φ(2)＝2－2ln 2，
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln 2所以实数a的取值范围为(2－2ln 2,3－2ln 3]．