4.3　指数函数与对数函数的关系-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

1256030010502900第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.3　指数函数与对数函数的关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(a,a),则f(x)=(　　)
A.log2x B.log12x C.12x D.x2
2.(2020山东聊城高一检测)已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,则f-1(1)的值是(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.52
3.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是(　　)
A.[-1,1] B.(-∞,0] C.[-2,4] D.[2,4]
4.已知a>0,且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是(　　)

5.已知函数y=ax+b的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a=　　　　　,b=　　　　　.?
6.函数y=x+1,x<0,ex,x≥0的反函数是　　　　　.?
7.求出下列函数的反函数.
(1)y=log16x;　(2)y=1ex;　(3)y=πx;
(4)y=x2,-1≤x<0,x2-1,0≤x≤1.





能力提升练
1.(2020四川泸县高二月考)已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,则g(-1)+g(-2)=(　　)
A.-7 B.-9 C.-11 D.-13
2.(2020山东临沂高一检测)已知函数f(x)=3x,函数g(x)是f(x)的反函数,若正数x1,x2,…,x2 018,x2 019满足x1·x2…x2 018·x2 019=243,则g(x12)+g(x22)+…+g(x2 0172)+g(x2 0182)+g(x2 0192)的值等于(　　)
A.4 B.8 C.10 D.32
3.(2020上海高一期末)函数f(x)=x2-1(x<0)的反函数f-1(x)=　　　　.?
4.已知函数f(x)=log13(x+2)的定义域为(1,7],则它的反函数为f-1(x)的定义域为　　　　.?
5.已知函数f(x)=a·2x+a2-22x-1(x∈R,x≠0),其中a为常数,且a<0.
(1)若f(x)是奇函数,求a的取值集合A;
(2)当a=-1时,设f(x)的反函数为f-1(x),且y=g(x)的图像与y=f-1(x+1)的图像关于y=x对称,求g(1)的取值集合B.

素养培优练
　已知f(x)=a·2x-12x+1(a∈R),f(0)=0.
(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的反函数;
(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log21+xk.







1256030010502900第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.3　指数函数与对数函数的关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,其图像经过点(a,a),则f(x)=(　　)
A.log2x B.log12x C.12x D.x2
解析函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,由a=logaa=12,得f(x)=log12x.
答案B
2.(2020山东聊城高一检测)已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,则f-1(1)的值是(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.52
解析因为f(x)=x5-a,且f(-1)=0,所以-1-a=0,故a=-1,所以f(x)=x5+1.令x5+1=1,所以x=0,所以f-1(1)=0.
答案A
3.(多选题)函数y=2|x|在下面的区间上,不存在反函数的是(　　)
A.[-1,1] B.(-∞,0] C.[-2,4] D.[2,4]
解析y=2|x|在[-1,1]和[-2,4]上不是单调函数,所以不存在反函数.
答案AC
4.已知a>0,且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图像可能是(　　)

解析由f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,∴0 答案C
5.已知函数y=ax+b的图像过点(1,4),其反函数的图像过点(2,0),则a=　　　　　,b=　　　　　.?
解析由函数y=ax+b的图像过点(1,4),得a+b=4;由其反函数的图像过点(2,0),得原函数的图像必过点(0,2),得a0+b=2,因此a=3,b=1.
答案3　1
6.函数y=x+1,x<0,ex,x≥0的反函数是　　　　　.?
解析当x<0时,y=x+1的反函数是y=x-1,x<1;
当x≥0时,y=ex的反函数是y=ln x,x≥1.
故原函数的反函数为y=x-1,x<1,lnx,x≥1.
答案y=x-1,x<1,lnx,x≥1
7.求出下列函数的反函数.
(1)y=log16x;　(2)y=1ex;　(3)y=πx;
(4)y=x2,-1≤x<0,x2-1,0≤x≤1.
解(1)对数函数y=log16x的底数为16,所以它的反函数是指数函数y=16x.
(2)指数函数y=1ex的反函数是对数函数y=log1ex.
(3)指数函数y=πx的反函数为对数函数y=logπx.
(4)①当x∈[-1,0)时,y∈(0,1],此时x=-y,得原函数的反函数是y=-x,x∈(0,1];
②当x∈[0,1]时,y=x2-1,y∈[-1,0],x=y+1,得原函数的反函数是y=x+1,x∈[-1,0].
∴函数y=x2,-1≤x<0,x2-1,0≤x≤1的反函数为
y=-x,x∈(0,1],x+1,x∈[-1,0].
能力提升练
1.(2020四川泸县高二月考)已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,则g(-1)+g(-2)=(　　)
A.-7 B.-9 C.-11 D.-13
解析∵当x>0时,f(x)的图像与函数y=log2x的图像关于y=x对称,∴当x>0时,f(x)=2x,∴当x>0时,g(x)=2x+x2.又g(x)是奇函数,∴g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.
答案C
2.(2020山东临沂高一检测)已知函数f(x)=3x,函数g(x)是f(x)的反函数,若正数x1,x2,…,x2 018,x2 019满足x1·x2…x2 018·x2 019=243,则g(x12)+g(x22)+…+g(x2 0172)+g(x2 0182)+g(x2 0192)的值等于(　　)
A.4 B.8 C.10 D.32
解析∵函数f(x)=3x,函数g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=log3x,∴g(x12)+g(x22)+…+g(x2 0172)+g(x2 0182)+g(x2 0192)=log3(x1·x2…x2 018·x2 019)2=2log3(x1·x2…x2 018·x2 019)=2log3243=2log335=10.
答案C
3.(2020上海高一期末)函数f(x)=x2-1(x<0)的反函数f-1(x)=　　　　.?
解析当x<0时,f(x)=x2-1>-1,由y=x2-1对调x,y得x=y2-1,解得y=-x+1,因此,f-1(x)=-x+1(x>-1).
答案-x+1(x>-1)
4.已知函数f(x)=log13(x+2)的定义域为(1,7],则它的反函数为f-1(x)的定义域为　　　　.?
解析f-1(x)的定义域即f(x)的值域.
∵1 ∴-2≤log13(x+2)<-1,
即f-1(x)的定义域为[-2,-1).
答案[-2,-1)
5.已知函数f(x)=a·2x+a2-22x-1(x∈R,x≠0),其中a为常数,且a<0.
(1)若f(x)是奇函数,求a的取值集合A;
(2)当a=-1时,设f(x)的反函数为f-1(x),且y=g(x)的图像与y=f-1(x+1)的图像关于y=x对称,求g(1)的取值集合B.
解(1)由于函数y=f(x)为奇函数,且定义域为{x|x≠0},则f(-1)=-f(1).
∵f(1)=2a+a2-22-1=a2+2a-2,
f(-1)=12a+a2-212-1=-2a2-a+4,
∴-2a2-a+4=-a2-2a+2,
整理得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.
∵a<0,∴a=-1,
∴f(x)=-2x-12x-1=-2x+12x-1,定义域为{x|x≠0},关于原点对称,
f(-x)=-2-x+12-x-1=-2x(2-x+1)2x(2-x-1)=-1+2x1-2x=2x+12x-1=-f(x),
此时,函数y=f(x)为奇函数,合乎题意.
因此,A={-1}.
(2)当a=-1时,由y=f(x),得y=1+2x1-2x,可得y(1-2x)=1+2x,得2x=y-1y+1,
∴x=log2y-1y+1,
所以,f-1(x)=log2x-1x+1.
由于y=g(x)的图像与y=f-1(x+1)的图像关于y=x对称,则g(1)为方程f-1(x+1)=1的实数解,解方程f-1(x+1)=1,即log2xx+2=1,
变形得xx+2=2,解得x=-4,即g(1)=-4.
因此,B={-4}.
素养培优练
　已知f(x)=a·2x-12x+1(a∈R),f(0)=0.
(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的反函数;
(3)对任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log21+xk.
解(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=2x-12x+1.
因为f(x)+f(-x)=2x-12x+1+2-x-12-x+1=2x-12x+1+1-2x1+2x=0,所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.
(2)因为f(x)=y=2x-12x+1对调x,y,得x=2y-12y+1,
所以2y=1+x1-x(-1 所以f-1(x)=log21+x1-x(-1 (3)因为f-1(x)>log21+xk,即log21+x1-x>log21+xk,所以1+x1-x>1+xk,-11-k,-1 所以当0 当k≥2时,原不等式的解集为{x|-1