4.6 函数的应用(二)-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 4.6 函数的应用(二)-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 132.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-15 09:33:46 | ||
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文档简介
1188720010515600第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.6 函数的应用(二)
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
2.今有一组数据如下表所示:
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )
A.s=2t-3+1 B.s=32log2t
C.s=12t2-12 D.s=2t-2
3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
4.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a km,休息了一段时间,又沿原路返回b km(b
5.一名体育爱好者为了观看2018年世界杯,从2011年开始,每年5月10日到银行存入a元一年期定期储蓄.假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2018年5月10日将所有的存款和利息全部取出,则可取回的总钱数为( )
A.a(1+p)7
B.a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p)
C.a(1+p)8
D.a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)
6.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图像大致为( )
7.一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,则成本y随经过的年数x变化的函数关系为 .?
8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2 000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.?
9.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
能力提升练
1.(2019湖南株洲高一联考)衣柜里的樟脑丸体积会随着时间挥发而缩小.若刚放进衣柜里的新樟脑丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt,且新樟脑丸经过50天后,体积变为49a,则一个新樟脑丸体积变为827a需经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
2.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
3.某病毒经30 min繁殖为原来数目的2倍,且知该病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k= ,经过5 h,1个这种病毒能繁殖 个.?
4.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确的叙述是 .?
5.某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(单位:万件)与月份数x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c(a≠0),如果已知4月份的产量为1.37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?
6.已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=2(1-kt)(x-b)2其中t为关税的税率,且t∈0,12,x(单位:元)为市场价格,b,k为正常数,当t=18时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图像求k,b的值;
(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=211-12x,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.
素养培优练
为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.
(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式;
(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?
1188720010515600第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.6 函数的应用(二)
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
解析当x=1时,y=100,得a=100,
故当x=7时,y=100log28=300.
答案A
2.今有一组数据如下表所示:
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )
A.s=2t-3+1 B.s=32log2t
C.s=12t2-12 D.s=2t-2
解析画出数据点如图所示.
由上图可知该函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;此函数的图像不是直线,排除选项D;此函数的图像不符合对数函数的图像,排除选项B.
答案C
3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23n≤11 000,即23n≤120,由nlg23≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈7.4.
答案BC
4.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a km,休息了一段时间,又沿原路返回b km(b
答案C
5.一名体育爱好者为了观看2018年世界杯,从2011年开始,每年5月10日到银行存入a元一年期定期储蓄.假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2018年5月10日将所有的存款和利息全部取出,则可取回的总钱数为( )
A.a(1+p)7
B.a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p)
C.a(1+p)8
D.a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)
解析2017年存到银行的钱到期时的本利和为a(1+p),2016年的钱到期时的本利和是a(1+p)2,依次类推,2011年第一次存款到期时的本利和应为a(1+p)7,相加得选项B正确.
答案B
6.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图像大致为( )
答案C
7.一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,则成本y随经过的年数x变化的函数关系为 .?
解析成本经过x年降低到y元,则y=a(1-p%)x(x∈N+,且x≤m).
答案y=a(1-p%)x(x∈N+,且x≤m)
8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2 000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.?
解析当v=12 000时,2 000·ln1+Mm=12 000,
∴ln1+Mm=6.∴Mm=e6-1.
答案e6-1
9.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
解设第x天所得回报是y元,
则方案一可用函数f1(x)=40(x∈N+)进行描述;方案二可用函数f2(x)=10x(x∈N+)进行描述;方案三可用函数f3(x)=0.4×2x-1(x∈N+)进行描述.
作出以上三个函数在[0,+∞)上的图像,如图所示.
由图像可知,每天所得回报,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一、二同样多;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三最多.
我们再看累计回报数,列表如下:
天数
回报/元
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
从上表可知,投资7天以内(不含7天),应选择第一种投资方案;投资7天,选择第一、二种方案均可;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天以上(含11天),应选择第三种投资方案.
能力提升练
1.(2019湖南株洲高一联考)衣柜里的樟脑丸体积会随着时间挥发而缩小.若刚放进衣柜里的新樟脑丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt,且新樟脑丸经过50天后,体积变为49a,则一个新樟脑丸体积变为827a需经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
解析根据题意可知49a=a·e-50k,解得k=-150ln49.①
把V=827a代入关系式得827a=a·e-kt,即e-kt=827,则-kt=ln827,将①代入可知,t=ln827×50ln49=3ln23×502ln23=75.故选A.
答案A
2.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
解析出租车行驶4 km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A错误;出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.
答案BCD
3.某病毒经30 min繁殖为原来数目的2倍,且知该病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k= ,经过5 h,1个这种病毒能繁殖 个.?
解析当t=0.5时,y=2,所以2=e12k,所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
答案2ln 2 1 024
4.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确的叙述是 .?
解析由图像可得,当t=2时,y=49,即a2=49,
解得a=23.故y=23t.
所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=234=1681<15,所以①正确;
第一个月的减少量为1-231=13;
第二个月的减少量为23?232=29,显然两者不同,所以②错误;
③由已知23t1=12,23t2=14,23t3=18,
所以23t1+t2=23t1×23t2=12×14=18,
即23t1+t2=23t3,
所以t1+t2=t3,故③正确.
答案①③
5.某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(单位:万件)与月份数x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c(a≠0),如果已知4月份的产量为1.37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?
解设f(x)=px2+qx+r(p≠0).
由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,
得p+q+r=1,4p+2q+r=1.2,9p+3q+r=1.3,
解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.
∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.
∴f(4)=1.3.
设g(x)=abx+c(a≠0).
由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,
得ab+c=1,ab2+c=1.2,ab3+c=1.3,解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.
∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4.
∴g(4)=1.35.
∵|1.3-1.37|=0.07>0.02=|1.35-1.37|,
∴用y=-0.8×0.5x+1.4作模拟函数较好.
6.已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=2(1-kt)(x-b)2其中t为关税的税率,且t∈0,12,x(单位:元)为市场价格,b,k为正常数,当t=18时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图像求k,b的值;
(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=211-12x,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.
解(1)由题图可知t=18时,图像过点(5,1),(7,2),
所以有21-k8(5-b)2=1,21-k8(7-b)2=2,
解得k=6,b=5.
(2)当P=Q时,得2(1-6t)(x-5)2=211-12x,
解得t=161-22-x2(x-5)2=161-17-(x-5)2(x-5)2
=-11217(x-5)2-1x-5-2.
令m=1x-5,∵x≥9,∴m∈0,14,
在t=-112(17m2-m-2)中,
其图像的对称轴为直线m=134,且134∈0,14,且图像开口向下,
∴当m=14时,t取得最小值19192,此时x=9.
素养培优练
为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.
(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式;
(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?
解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(单位:毫克)是关于时间t(单位:小时)的一个分段函数:
当0≤t≤0.1时,函数的图像是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),
又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.
当t>0.1时,函数解析式为y=18t-a,
而A(0.1,1)在这段函数图像上,代入得1=180.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.
故当t>0.1时,y=18t-0.1.
综上,血液中麻醉剂的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式为y=10t,0≤t≤0.1,18t-0.1,t>0.1.
(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18.
当t>0.1时,由18t-0.1≤18,得t-0.1≥1,
解得t≥1.1.
所以至少需要经过1.1小时病人才能清醒.
4.6 函数的应用(二)
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
2.今有一组数据如下表所示:
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )
A.s=2t-3+1 B.s=32log2t
C.s=12t2-12 D.s=2t-2
3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
4.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a km,休息了一段时间,又沿原路返回b km(b
5.一名体育爱好者为了观看2018年世界杯,从2011年开始,每年5月10日到银行存入a元一年期定期储蓄.假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2018年5月10日将所有的存款和利息全部取出,则可取回的总钱数为( )
A.a(1+p)7
B.a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p)
C.a(1+p)8
D.a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)
6.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图像大致为( )
7.一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,则成本y随经过的年数x变化的函数关系为 .?
8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2 000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.?
9.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
能力提升练
1.(2019湖南株洲高一联考)衣柜里的樟脑丸体积会随着时间挥发而缩小.若刚放进衣柜里的新樟脑丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt,且新樟脑丸经过50天后,体积变为49a,则一个新樟脑丸体积变为827a需经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
2.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
3.某病毒经30 min繁殖为原来数目的2倍,且知该病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k= ,经过5 h,1个这种病毒能繁殖 个.?
4.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确的叙述是 .?
5.某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(单位:万件)与月份数x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c(a≠0),如果已知4月份的产量为1.37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?
6.已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=2(1-kt)(x-b)2其中t为关税的税率,且t∈0,12,x(单位:元)为市场价格,b,k为正常数,当t=18时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图像求k,b的值;
(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=211-12x,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.
素养培优练
为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.
(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式;
(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?
1188720010515600第四章指数函数、对数函数与幂函数
4.6 函数的应用(二)
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某种动物繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,第7年它们发展到( )
A.300只 B.400只
C.500只 D.600只
解析当x=1时,y=100,得a=100,
故当x=7时,y=100log28=300.
答案A
2.今有一组数据如下表所示:
t
1.993
3.002
4.001
5.032
6.121
s
1.501
4.413
7.498
12.04
17.93
现准备用下列函数中的一个近似地表示数据满足的规律,其中接近的一个是( )
A.s=2t-3+1 B.s=32log2t
C.s=12t2-12 D.s=2t-2
解析画出数据点如图所示.
由上图可知该函数是增函数,但增长速度较慢,则排除选项A;此函数的图像不是直线,排除选项D;此函数的图像不符合对数函数的图像,排除选项B.
答案C
3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.6 B.9 C.8 D.7
解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23n≤11 000,即23n≤120,由nlg23≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n≥1+lg2lg3-lg2≈7.4.
答案BC
4.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a km,休息了一段时间,又沿原路返回b km(b
答案C
5.一名体育爱好者为了观看2018年世界杯,从2011年开始,每年5月10日到银行存入a元一年期定期储蓄.假定年利率为p(利息税已扣除)且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2018年5月10日将所有的存款和利息全部取出,则可取回的总钱数为( )
A.a(1+p)7
B.a(1+p)7+a(1+p)6+…+a(1+p)
C.a(1+p)8
D.a(1+p)8+a(1+p)7+…+a(1+p)
解析2017年存到银行的钱到期时的本利和为a(1+p),2016年的钱到期时的本利和是a(1+p)2,依次类推,2011年第一次存款到期时的本利和应为a(1+p)7,相加得选项B正确.
答案B
6.如图,△ABC为等腰直角三角形,直线l与AB相交且l⊥AB,直线l截这个三角形所得的位于直线l右方的图形的面积为y,点A到直线l的距离为x,则y=f(x)的图像大致为( )
答案C
7.一种产品的成本原来是a元,在今后m年内,计划使成本平均每年比上一年降低p%,则成本y随经过的年数x变化的函数关系为 .?
解析成本经过x年降低到y元,则y=a(1-p%)x(x∈N+,且x≤m).
答案y=a(1-p%)x(x∈N+,且x≤m)
8.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v=2 000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.?
解析当v=12 000时,2 000·ln1+Mm=12 000,
∴ln1+Mm=6.∴Mm=e6-1.
答案e6-1
9.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.
请问,你会选择哪种投资方案?
解设第x天所得回报是y元,
则方案一可用函数f1(x)=40(x∈N+)进行描述;方案二可用函数f2(x)=10x(x∈N+)进行描述;方案三可用函数f3(x)=0.4×2x-1(x∈N+)进行描述.
作出以上三个函数在[0,+∞)上的图像,如图所示.
由图像可知,每天所得回报,在第1~3天,方案一最多;在第4天,方案一、二同样多;在第5~8天,方案二最多;第9天开始,方案三最多.
我们再看累计回报数,列表如下:
天数
回报/元
方案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
一
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
二
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
660
三
0.4
1.2
2.8
6
12.4
25.2
50.8
102
204.4
409.2
818.8
从上表可知,投资7天以内(不含7天),应选择第一种投资方案;投资7天,选择第一、二种方案均可;投资8~10天,应选择第二种投资方案;投资11天以上(含11天),应选择第三种投资方案.
能力提升练
1.(2019湖南株洲高一联考)衣柜里的樟脑丸体积会随着时间挥发而缩小.若刚放进衣柜里的新樟脑丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt,且新樟脑丸经过50天后,体积变为49a,则一个新樟脑丸体积变为827a需经过的天数为( )
A.75 B.100 C.125 D.150
解析根据题意可知49a=a·e-50k,解得k=-150ln49.①
把V=827a代入关系式得827a=a·e-kt,即e-kt=827,则-kt=ln827,将①代入可知,t=ln827×50ln49=3ln23×502ln23=75.故选A.
答案A
2.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是( )
A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元
B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元
C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用
D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 km
解析出租车行驶4 km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15(元),A错误;出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45(元),B正确;乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30(元),乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.
答案BCD
3.某病毒经30 min繁殖为原来数目的2倍,且知该病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k= ,经过5 h,1个这种病毒能繁殖 个.?
解析当t=0.5时,y=2,所以2=e12k,所以k=2ln 2,所以y=e2tln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.
答案2ln 2 1 024
4.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:
①第4个月时,剩留量会低于15;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为12,14,18所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确的叙述是 .?
解析由图像可得,当t=2时,y=49,即a2=49,
解得a=23.故y=23t.
所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=234=1681<15,所以①正确;
第一个月的减少量为1-231=13;
第二个月的减少量为23?232=29,显然两者不同,所以②错误;
③由已知23t1=12,23t2=14,23t3=18,
所以23t1+t2=23t1×23t2=12×14=18,
即23t1+t2=23t3,
所以t1+t2=t3,故③正确.
答案①③
5.某工厂今年1,2,3月生产产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估计以后每个月的产量,以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y(单位:万件)与月份数x 的关系,模拟函数可以选用二次函数或者函数y=abx+c(a≠0),如果已知4月份的产量为1.37万件,问用以上哪一个函数模拟比较好?理由是什么?
解设f(x)=px2+qx+r(p≠0).
由f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3,
得p+q+r=1,4p+2q+r=1.2,9p+3q+r=1.3,
解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.
∴f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7.
∴f(4)=1.3.
设g(x)=abx+c(a≠0).
由g(1)=1,g(2)=1.2,g(3)=1.3,
得ab+c=1,ab2+c=1.2,ab3+c=1.3,解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.
∴g(x)=-0.8×0.5x+1.4.
∴g(4)=1.35.
∵|1.3-1.37|=0.07>0.02=|1.35-1.37|,
∴用y=-0.8×0.5x+1.4作模拟函数较好.
6.已知某时段内某产品的关税与市场供应量P的关系近似地满足:P(x)=2(1-kt)(x-b)2其中t为关税的税率,且t∈0,12,x(单位:元)为市场价格,b,k为正常数,当t=18时的市场供应量曲线如图所示.
(1)根据图像求k,b的值;
(2)若市场需求量为Q,它近似满足Q(x)=211-12x,当P=Q时的市场价格称为均衡价格,为使均衡价格控制在不低于9元的范围内,求税率t的最小值.
解(1)由题图可知t=18时,图像过点(5,1),(7,2),
所以有21-k8(5-b)2=1,21-k8(7-b)2=2,
解得k=6,b=5.
(2)当P=Q时,得2(1-6t)(x-5)2=211-12x,
解得t=161-22-x2(x-5)2=161-17-(x-5)2(x-5)2
=-11217(x-5)2-1x-5-2.
令m=1x-5,∵x≥9,∴m∈0,14,
在t=-112(17m2-m-2)中,
其图像的对称轴为直线m=134,且134∈0,14,且图像开口向下,
∴当m=14时,t取得最小值19192,此时x=9.
素养培优练
为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=18t-a(a为常数),如图所示.
(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式;
(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?
解(1)根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(单位:毫克)是关于时间t(单位:小时)的一个分段函数:
当0≤t≤0.1时,函数的图像是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),
又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.
当t>0.1时,函数解析式为y=18t-a,
而A(0.1,1)在这段函数图像上,代入得1=180.1-a,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.
故当t>0.1时,y=18t-0.1.
综上,血液中麻醉剂的含量y(单位:毫克)与时间t(单位:小时)之间的解析式为y=10t,0≤t≤0.1,18t-0.1,t>0.1.
(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=18.
当t>0.1时,由18t-0.1≤18,得t-0.1≥1,
解得t≥1.1.
所以至少需要经过1.1小时病人才能清醒.