5.1.2　数据的数字特征-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

1054100012014200第五章统计与概率
5.1　统计
5.1.2　数据的数字特征
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某校为了丰富校园文化,举行初中生书法大赛,决赛设置了6个获奖名额,共有11名选手进入决赛,选手决赛得分均不相同.若知道某位选手的决赛的得分,要判断他是否获奖,只需知道这11名学生决赛得分的(　　)
A.中位数 B.平均数
C.众数 D.方差
2.已知一组数据按从小到大的顺序排列为-8,-1,4,x,10,13,且这组数据的中位数是7,则这组数据的众数是(　　)
A.7 B.6 C.4 D.10
3.10名工人生产某一零件,生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
4.在某次测量中得到的A样本数据如下:52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A.众数 B.平均数
C.中位数 D.标准差
5.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.方差是标准差的平方
B.标准差的大小不会超过极差
C.若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0
D.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
6.某地区某村的前三年的经济收入分别为100,200,300万元,其统计数据的中位数为x,平均数为y;经过今年政府新农村建设后,该村经济收入在上年基础上翻番,则在这四年的收入的统计数据中,下列说法正确的是(　　)
A.中位数为x,平均数为1.5y
B.中位数为1.25x,平均数为y
C.中位数为1.25x,平均数为1.5y
D.中位数为1.5x,平均数为2y
7.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲:7　8　10　9　8　8　6
乙:9　10　7　8　7　7　8
则下列判断正确的是(　　)
A.甲射击的平均成绩比乙好
B.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C.乙射击的平均成绩比甲好
D.甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
8.一组数据175,177,174,175,174的方差为　.?
9.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为　　　　　.?
10.某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个,大一、大二、大三、大四分别有100,200,300,400个,为挑选优秀团队去参加机器人大赛,现用分层抽样的方法,从以上团队中抽取20个团队.
(1)应从大三抽取多少个团队?
(2)将20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两组的分数如下.
甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142.
乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140.
从甲、乙两组中选一组进行强化训练,备战机器人大赛.从统计学数据看,若选择甲组,理由是什么?若选择乙组,理由是什么?




能力提升练
1.(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定
2.(多选题)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是3,方差是12,则另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数、方差分别是(　　)
A.5 B.3 C.12 D.2
3.某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程,现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如下表.
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24

用s12,s22分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,则s12=　　　　　,s22=　　　　　,并由此可判断成绩更稳定的班级是　　　　　班.?
4.某教育集团为了办好人民满意的教育,每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分120,最低分0,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下:
甲校:96,112,97,108,100,103,86,98;
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数;
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度的方差;
(3)根据以上数据你认为这两所学校哪所学校人民满意度比较好?









5.质检过后,某校为了解各班学生的数学、物理学习情况,利用随机数表法从全年级600名理科生中抽取100名学生的成绩进行统计分析.已知学生考号的后三位分别为000,001,002,…,599.
(1)若从随机数表的第5行第7列的数开始向右读,请依次写出抽取的前5人的后三位考号;
(2)如果题(1)中随机抽取到的5名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:
数学成绩
87
91
90
89
93
物理成绩
89
90
91
88
92

求这两科成绩的平均数和方差,并且分析哪科成绩更稳定.
附:(下面是摘自随机数表的第4行到第6行)
……
16 27 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43　84 26 34 91 64
12 56 85 99 26　96 96 68 27 31　04 03 72 93 15　31 02 10 14 21　88 26 49 81 76
55 59 56 35 64　38 54 82 46 22　31 62 43 09 90　06 18 44 32 53　23 83 01 30 30
……








6.某班共有45名同学,在某次满分为100分的测验中,得分前15名同学的平均分为90分,标准差为3,后30名同学的平均分为72分,标准差为6.(得分均为整数)
(1)求全班同学成绩的平均数;
(2)求全班同学成绩的方差;
(3)结合所给数据能否得出“全班同学全都及格了”的结论?请说明理由.(达到60分及以上为及格)





素养培优练
　在一次高一年级统一考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高一学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.
(1)若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表,以方框内的数字5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的75%分位数.
05269　37060　22358　51513　92035　15977
59567　80683　52910　57074
07971　08823　09984　29964　61716　29915
06512　91693　58057　70951
51268　78585　54876　64754　73320　81112
44959　26316　29562　42948
26996　16553　58377　88070　42105　06742
32175　58574　94446　71694
14655　26875　87593　62241　26786　30655
13082　70150　15293　93943
(2)若采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.






1054100012014200第五章统计与概率
5.1　统计
5.1.2　数据的数字特征
课后篇巩固提升
基础达标练
1.某校为了丰富校园文化,举行初中生书法大赛,决赛设置了6个获奖名额,共有11名选手进入决赛,选手决赛得分均不相同.若知道某位选手的决赛的得分,要判断他是否获奖,只需知道这11名学生决赛得分的(　　)
A.中位数 B.平均数
C.众数 D.方差
解析由中位数的概念,即最中间一个或两个数据的平均数,可知11人成绩的中位数是第6名的得分.根据题意可得:参赛选手要想知道自己是否能进入前6名,只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数,比较即可.
答案A
2.已知一组数据按从小到大的顺序排列为-8,-1,4,x,10,13,且这组数据的中位数是7,则这组数据的众数是(　　)
A.7 B.6 C.4 D.10
解析因为-8,-1,4,x,10,13的中位数是7,
所以12(x+4)=7,所以x=10,
所以这组数据的众数是10,故选D.
答案D
3.10名工人生产某一零件,生产的件数分别是10,12,14,14,15,15,16,17,17,17.设其平均数为a,中位数为b,众数为c,则(　　)
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
解析依题意,
a=10+12+14+14+15+15+16+17+17+1710=14.7,中位数b=15,众数c=17,故c>b>a,故选D.
答案D
4.在某次测量中得到的A样本数据如下:52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　)
A.众数 B.平均数
C.中位数 D.标准差
解析A样本的每个数据都加上6后形成B样本,样本的稳定性不变,因此两个样本的标准差相等.故选D.
答案D
5.(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.方差是标准差的平方
B.标准差的大小不会超过极差
C.若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0
D.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散
解析标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.
答案ABC
6.某地区某村的前三年的经济收入分别为100,200,300万元,其统计数据的中位数为x,平均数为y;经过今年政府新农村建设后,该村经济收入在上年基础上翻番,则在这四年的收入的统计数据中,下列说法正确的是(　　)
A.中位数为x,平均数为1.5y
B.中位数为1.25x,平均数为y
C.中位数为1.25x,平均数为1.5y
D.中位数为1.5x,平均数为2y
解析依题意,x=200,y=100+200+3003=200,第四年收入为600万元,故在这四年的收入中,中位数为200+3002=250=1.25x,平均数为100+200+300+6004=300=1.5y,故选C.
答案C
7.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次,每次命中的环数如下:
甲:7　8　10　9　8　8　6
乙:9　10　7　8　7　7　8
则下列判断正确的是(　　)
A.甲射击的平均成绩比乙好
B.甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
C.乙射击的平均成绩比甲好
D.甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
解析甲命中的环数的平均数为x甲=17×(7+8+10+9+8+8+6)=8,
乙命中的环数的平均数为x乙=17×(9+10+7+8+7+7+8)=8,
所以甲、乙射击的平均成绩相等,故A,C均错误;
甲射击的成绩的众数是8,乙射击的成绩的众数是7,
所以甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数,故B错误;
甲射击的成绩的极差为10-6=4,乙射击的成绩的极差为10-7=3,
所以甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差,故选D.
答案D
8.一组数据175,177,174,175,174的方差为　.?
解析x=175+177+174+175+1745=175,
所以s2=15×[(175-175)2+(177-175)2+(174-175)2+(175-175)2+(174-175)2]=15×(02+22+12+02+12)=65.
答案65
9.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为　　　　　.?
解析由题意可得x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8.设x=10+t,y=10-t,则2t2=8,解得t=±2,
所以|x-y|=2|t|=4.
答案4
10.某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个,大一、大二、大三、大四分别有100,200,300,400个,为挑选优秀团队去参加机器人大赛,现用分层抽样的方法,从以上团队中抽取20个团队.
(1)应从大三抽取多少个团队?
(2)将20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两组的分数如下.
甲:125,141,140,137,122,114,119,139,121,142.
乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140.
从甲、乙两组中选一组进行强化训练,备战机器人大赛.从统计学数据看,若选择甲组,理由是什么?若选择乙组,理由是什么?
解(1)由题知,大三团队个数占总团队数的3001 000=310,则用分层抽样的方法,应从大三中抽取20×310=6(个)团队.
(2)甲组数据的平均数x甲=130,乙组数据的平均数x乙=131,甲组数据的方差s甲2=104.2,乙组数据的方差s乙2=128.8,选甲队理由:甲、乙两队平均数相差不大,且s甲2 选乙队理由:x甲 能力提升练
1.(多选题)下列说法中正确的是(　　)
A.数据的极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小,样本数据分布越集中、稳定
解析由数据的极差、标准差、方差的定义可知,它们都可以反映样本数据的分布和稳定性,而数据的平均数则与之无关,故B不正确,ACD正确.
答案ACD
2.(多选题)已知一组数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是3,方差是12,则另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数、方差分别是(　　)
A.5 B.3 C.12 D.2
解析因为数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数是3,方差是12,所以x=3,15∑i=15(xi-3)2=12,
因此数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数为15∑i=15(2xi-1)=2×15∑i=15xi-1=5,方差为15∑i=15(2xi-1-5)2=15∑i=15(2xi-6)2=4×15∑i=15(xi-3)2=4×12=2.
答案AD
3.某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程,现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如下表.
甲
8
11
14
15
22
乙
6
7
10
23
24

用s12,s22分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,则s12=　　　　　,s22=　　　　　,并由此可判断成绩更稳定的班级是　　　　　班.?
解析根据表中数据,计算甲班的平均数为x1=15×(8+11+14+15+22)=14,
乙班的平均数为x2=15×(6+7+10+23+24)=14;
甲班的方差为s12=15×[(8-14)2+(11-14)2+(14-14)2+(15-14)2+(22-14)2]=22,
乙班的方差为s22=15×[(6-14)2+(7-14)2+(10-14)2+(23-14)2+(24-14)2]=62,所以s12 由此可判断成绩更稳定的班级是甲班.
答案22　62　甲
4.某教育集团为了办好人民满意的教育,每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意的民主测评(满意度最高分120,最低分0,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的数据如下:
甲校:96,112,97,108,100,103,86,98;
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数;
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度的方差;
(3)根据以上数据你认为这两所学校哪所学校人民满意度比较好?
解(1)甲学校人民满意度的平均数为
x甲=96+112+97+108+100+103+86+988=100,
甲学校人民满意度的中位数为100+982=99;
乙学校人民满意度的平均数为
x乙=108+101+94+105+96+93+97+1068=100,
乙学校人民满意度的中位数为101+972=99.
(2)甲学校人民满意度的方差
s甲2=42+122+32+82+0+32+142+228=55.25;
乙学校人民满意度的方差
s乙2=82+12+62+52+42+72+32+628=29.5.
(3)由(1)(2)知甲乙两学校人民满意度的平均数相同、中位数相同,而乙学校人民满意度的方差小于甲学校人民满意度的方差,所以乙学校人民满意度比较好.
5.质检过后,某校为了解各班学生的数学、物理学习情况,利用随机数表法从全年级600名理科生中抽取100名学生的成绩进行统计分析.已知学生考号的后三位分别为000,001,002,…,599.
(1)若从随机数表的第5行第7列的数开始向右读,请依次写出抽取的前5人的后三位考号;
(2)如果题(1)中随机抽取到的5名同学的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:
数学成绩
87
91
90
89
93
物理成绩
89
90
91
88
92

求这两科成绩的平均数和方差,并且分析哪科成绩更稳定.
附:(下面是摘自随机数表的第4行到第6行)
……
16 27 77 94 39　49 54 43 54 82　17 37 93 23 78　87 35 20 96 43　84 26 34 91 64
12 56 85 99 26　96 96 68 27 31　04 03 72 93 15　31 02 10 14 21　88 26 49 81 76
55 59 56 35 64　38 54 82 46 22　31 62 43 09 90　06 18 44 32 53　23 83 01 30 30
……
解(1)抽取的前5人的后三位考号分别为310,403,315,210,142.
(2)由题中数据可得x数学=87+91+90+89+935=90,
x物理=89+90+91+88+925=90,
∴s数学2=15×[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,
s物理2=15×[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,
由s数学2>s物理2,可知物理成绩更稳定.
6.某班共有45名同学,在某次满分为100分的测验中,得分前15名同学的平均分为90分,标准差为3,后30名同学的平均分为72分,标准差为6.(得分均为整数)
(1)求全班同学成绩的平均数;
(2)求全班同学成绩的方差;
(3)结合所给数据能否得出“全班同学全都及格了”的结论?请说明理由.(达到60分及以上为及格)
解(1)该班45人分成两组,这两组成绩的平均数分别是90,72;
∴全班的平均数是145×(90×15+72×30)=78.
(2)∵s2=1n∑i=1n(xi-x)2=1n∑i=1nxi2-nx2,s1=3,
∴s12=115×[(x12+x22+…+x152)-15×902]=3,
∴x12+x22+…+x152=45+15×8 100=121 545.
∵s2=6,∴s22=130×[(x162+x172+…+x452)-30×722]=6,
∴x162+x172+…+x452=180+30×722=155 700.
∴全班的方差是
s2=145×[(x12+x22+…+x452)-45×782]
=145×[(121 545+155 700)-273 780]
=77.
(3)能.若后30名中有人不及格,设该同学为b30,则b30≤59,该同学比平均分低至少13分,那么其他同学比平均分高出的分数至少有13分,所以(b1-72)2+…+(b30-72)2≥13+169=182>180,而(b1-72)2+(b2-72)2+…+(b30-72)2=180,矛盾,所以全班同学必定全部及格.
素养培优练
　在一次高一年级统一考试中,数学试卷有一道满分10分的选做题,学生可以从A,B两道题目中任选一题作答.某校有900名高一学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本,为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001~900.
(1)若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表,以方框内的数字5为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端.写出样本编号的75%分位数.
05269　37060　22358　51513　92035　15977
59567　80683　52910　57074
07971　08823　09984　29964　61716　29915
06512　91693　58057　70951
51268　78585　54876　64754　73320　81112
44959　26316　29562　42948
26996　16553　58377　88070　42105　06742
32175　58574　94446　71694
14655　26875　87593　62241　26786　30655
13082　70150　15293　93943
(2)若采用分层抽样,按照学生选择A题目或B题目,将成绩分为两层,且样本中A题目的成绩有8个,平均数为7,方差为4;样本中B题目的成绩有2个,平均数为8,方差为1.用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差.
解(1)根据题意读出的编号依次是:
512,916(超界),935(超界),805,770,951(超界),512(重复),687,858,554,876,647,547,332,将有效编号从小到大排列,得332,512,547,554,647,687,770,805,858,876,
因为10×75%=7.5,所以样本编号的 75%分位数为x8=805.
(2)记样本中8个A题目成绩分别为x1,x2,…,x8,2个B题目成绩分别为y1,y2,
由题意知∑i=18xi=8×7=56,
∑i=18(xi-7)2=8×4=32,
∑i=12yi=16,∑i=12(yi-8)2=2×1=2,
所以样本平均数为∑i=18xi+∑i=12yi8+2=56+1610=7.2,
样本方差为∑i=18(xi-7.2)2+∑i=12(yi-7.2)28+2=
∑i=18[(xi-7)-0.2]2+∑i=12[(yi-8)+0.8]28+2
=110[∑i=88(x1-7)2-0.4∑i=18(xi-7)+8×0.22+∑i=12(yi-0.8)2+1.6∑i=12(yi-8)+2×0.82]
=32-0+0.32+2+0+1.2810=3.56,
所以用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数为 7.2,方差为 3.56.