5.3.3 古典概型-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 5.3.3 古典概型-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 156.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-15 09:34:35 | ||
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文档简介
1158240010833100第五章统计与概率
5.3 概率
5.3.3 古典概型
课后篇巩固提升
基础达标练
1.一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )
A.12 B.310 C.720 D.710
2.
如图所示,现有一迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次,只能进入3处;若在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是( )
A.12 B.14 C.316 D.16
3.
从某超市抽取13袋袋装食用盐,对其质量(单位:g)进行统计,得到如图所示的茎叶图.若从这13袋食用盐中随机选取1袋,则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为( )
A.513 B.613 C.713 D.813
4.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.316 B.29 C.718 D.49
5.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是 .?
6.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 .?
7.(2020山西长治高一期末)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;
(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
能力提升练
1.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b A.16 B.524 C.13 D.724
2.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35
3.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在区间-∞,12上为减函数的概率是( )
A.14 B.34 C.16 D.56
4.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”,讲的是西施浣纱的故事;“落雁”,指的就是昭君出塞的故事;“闭月”,是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”,谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为 .?
5.现把某类数字记作XmYn,其中正整数m,n(m≤6,n≤8)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为 .?
6.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;
(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.
7.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.
素养培优练
(2020北京高二期末)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从这六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有5人
5
5
2
1
2
0
选考方案待确定的有7人
6
4
3
2
4
2
女生
选考方案确定的有6人
3
5
2
3
3
2
选考方案待确定的有2人
1
2
1
0
1
1
(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数是多少?
(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
1158240010833100第五章统计与概率
5.3 概率
5.3.3 古典概型
课后篇巩固提升
基础达标练
1.一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )
A.12 B.310 C.720 D.710
解析设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以P(A)=620=310.故选B.
答案B
2.
如图所示,现有一迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次,只能进入3处;若在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是( )
A.12 B.14 C.316 D.16
解析按规则,小青蛙跳动一次,可能的结果共有4种,跳动三次,可能的结果共有16种,而三次跳动后首次跳到5的只有3—1—3—5,3—2—3—5,3—4—3—5三种可能,所以它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是316.
答案C
3.
从某超市抽取13袋袋装食用盐,对其质量(单位:g)进行统计,得到如图所示的茎叶图.若从这13袋食用盐中随机选取1袋,则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为( )
A.513 B.613 C.713 D.813
解析这13个数据落在[499,501]内的个数为6,故所求概率为613.故选B.
答案B
4.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.316 B.29 C.718 D.49
解析由题意知本题是一个古典概型.
样本空间共包含36个样本点.记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共16个样本点.
所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49.
故选D.
答案D
5.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是 .?
解析由题意知,样本空间共包含36个样本点.
若方程有实根,则Δ=(m+n)2-16≥0,即m+n≥4,其对立事件为m+n<4记为A,则A={(1,1),(1,2),(2,1)},包含3个样本点,故所求概率为P=1-336=1112.
答案1112
6.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 .?
解析样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=18,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=48=12.
答案18 12
7.(2020山西长治高一期末)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;
(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解(1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A.
甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个基本事件,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,2),(1,3),…,(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点.所以P(A)=525=15.
所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为15.
(2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”.D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含13个样本点.
所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=1325,乙胜的概率为P(C)=1-1325=1225,
因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.
能力提升练
1.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b A.16 B.524 C.13 D.724
解析组成各个数位上的数字不重复的三位自然数如下图所示:
由图可知样本空间中共含有24个样本点,而满足三位数是“凹数”的有214,213,312,314,324,412,413,423,共8个样本点,所以这个三位数为“凹数”的概率为824=13.
答案C
2.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35
解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=23,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的基本事件为{(3,5,7)},包含1个样本点,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为26=13,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为37,故D错误.
答案ABC
3.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在区间-∞,12上为减函数的概率是( )
A.14 B.34 C.16 D.56
解析由题意得a>0,ba≥12.∵第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,∴a取1,2时,b可取1,2,3,4,5,6;a取3,4时,b可取2,3,4,5,6;a取5,6时,b可取3,4,5,6,共30种情况.∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,共有36种等可能发生的结果,∴所求概率为3036=56.
答案D
4.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”,讲的是西施浣纱的故事;“落雁”,指的就是昭君出塞的故事;“闭月”,是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”,谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为 .?
解析由题意可知,所有可能的情况为(甲—西施,丙—昭君,丁—貂蝉),(甲—西施,丙—貂蝉,丁—昭君),(甲—昭君,丙—西施,丁—貂蝉),(甲—昭君,丙—貂蝉,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—昭君,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—西施,丁—昭君),共6种,其中满足条件的就1种,故所求事件的概率为16.
答案16
5.现把某类数字记作XmYn,其中正整数m,n(m≤6,n≤8)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为 .?
解析m取小于等于6的正整数,n取小于等于8的正整数,共有6×8=48种取法.m取到奇数的有1,3,5共3种情况;n取到奇数的有1,3,5,7共4种情况,则m,n都取到奇数的方法种数为3×4=12种.所以m,n都取到奇数的概率为1248=14.
答案14
6.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;
(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.
解(1)从袋中随机抽取两个球共有15种取法,
取出球的编号之和为6的有(1,5),(2,4),共2种取法,故所求概率P=215.
(2)先后有放回地随机抽取两个球的样本空间共包含36个样本点,
记A为“两次取的球的编号之和大于5”,则A={(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含26个样本点,
故所求概率P=2636=1318.
7.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.
解(1)平均数的估计值x=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+(65+75)×0.05=37.
前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数的估计值为x,
则(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数的估计值为35.
(2)①样本中,年龄在[50,70)的共有40×0.15=6(人),其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.
则从中任选2人的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含15个样本点.
记A为“至少有1人年龄不低于60岁”,则A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含9个样本点.
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A,故所求概率P(A)=915=35.
②样本中年龄在18岁以上的居民所占频率约为1-(18-10)×0.015=0.88,
故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2 000×0.88=1 760.
素养培优练
(2020北京高二期末)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从这六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有5人
5
5
2
1
2
0
选考方案待确定的有7人
6
4
3
2
4
2
女生
选考方案确定的有6人
3
5
2
3
3
2
选考方案待确定的有2人
1
2
1
0
1
1
(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数是多少?
(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
解(1)选考方案确定的男生中,同时选择“物理、化学和生物”的人数是2.
(2)由数据可知,已确定选考科目的男生共5人.其中有2人选择“物理、化学和生物”,记为a1,a2;有1人选择“物理、化学和历史”,记为b;有2人选择“物理、化学和地理”,记为c1,c2.从已确定选考科目的男生中任选2人,有a1a2,a1b,a1c1,a1c2,a2b,a2c1,a2c2,bc1,bc2,c1c2,样本空间共包含10个样本点.两名学生选考科目完全相同的选法种数有a1a2,c1c2,共2种选法.设事件A:从已确定选考科目的男生中任选出2人,这两名学生选考科目完全相同,则事件A包含2个样本点.P(A)=210=15.
5.3 概率
5.3.3 古典概型
课后篇巩固提升
基础达标练
1.一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )
A.12 B.310 C.720 D.710
2.
如图所示,现有一迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次,只能进入3处;若在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是( )
A.12 B.14 C.316 D.16
3.
从某超市抽取13袋袋装食用盐,对其质量(单位:g)进行统计,得到如图所示的茎叶图.若从这13袋食用盐中随机选取1袋,则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为( )
A.513 B.613 C.713 D.813
4.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.316 B.29 C.718 D.49
5.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是 .?
6.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 .?
7.(2020山西长治高一期末)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;
(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
能力提升练
1.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b
2.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35
3.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在区间-∞,12上为减函数的概率是( )
A.14 B.34 C.16 D.56
4.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”,讲的是西施浣纱的故事;“落雁”,指的就是昭君出塞的故事;“闭月”,是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”,谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为 .?
5.现把某类数字记作XmYn,其中正整数m,n(m≤6,n≤8)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为 .?
6.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;
(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.
7.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.
素养培优练
(2020北京高二期末)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从这六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有5人
5
5
2
1
2
0
选考方案待确定的有7人
6
4
3
2
4
2
女生
选考方案确定的有6人
3
5
2
3
3
2
选考方案待确定的有2人
1
2
1
0
1
1
(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数是多少?
(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
1158240010833100第五章统计与概率
5.3 概率
5.3.3 古典概型
课后篇巩固提升
基础达标练
1.一个袋中装有大小相同的5个球,现将这5个球分别编号为1,2,3,4,5,从袋中取出两个球,每次只取出一个球,并且取出的球不放回,则取出的两个球上编号之积为奇数的概率为( )
A.12 B.310 C.720 D.710
解析设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A,则Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),…,(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},共包含20个样本点,其中事件A={(1,3),(1,5),(3,1),(3,5),(5,1),(5,3)},包含6个样本点,所以P(A)=620=310.故选B.
答案B
2.
如图所示,现有一迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次,只能进入3处;若在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是( )
A.12 B.14 C.316 D.16
解析按规则,小青蛙跳动一次,可能的结果共有4种,跳动三次,可能的结果共有16种,而三次跳动后首次跳到5的只有3—1—3—5,3—2—3—5,3—4—3—5三种可能,所以它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是316.
答案C
3.
从某超市抽取13袋袋装食用盐,对其质量(单位:g)进行统计,得到如图所示的茎叶图.若从这13袋食用盐中随机选取1袋,则该袋食用盐的质量在[499,501]内的概率为( )
A.513 B.613 C.713 D.813
解析这13个数据落在[499,501]内的个数为6,故所求概率为613.故选B.
答案B
4.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )
A.316 B.29 C.718 D.49
解析由题意知本题是一个古典概型.
样本空间共包含36个样本点.记“甲、乙心有灵犀”为事件A,A={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共16个样本点.
所以他们“心有灵犀”的概率为P=1636=49.
故选D.
答案D
5.一次掷两枚骰子,得到的点数为m和n,则关于x的方程x2+(m+n)x+4=0有实数根的概率是 .?
解析由题意知,样本空间共包含36个样本点.
若方程有实根,则Δ=(m+n)2-16≥0,即m+n≥4,其对立事件为m+n<4记为A,则A={(1,1),(1,2),(2,1)},包含3个样本点,故所求概率为P=1-336=1112.
答案1112
6.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.“恰好3枚正面都朝上”的概率是 ;“至少有2枚反面朝上”的概率是 .?
解析样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},共8个样本点,“恰好3枚正面都朝上”包含1个样本点,其概率P1=18,“至少有2枚反面朝上”包含4个样本点,其概率P2=48=12.
答案18 12
7.(2020山西长治高一期末)口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;
(2)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解(1)设“甲胜且编号的和为6”为事件A.
甲编号为x,乙编号为y,(x,y)表示一个基本事件,则两人摸球结果的样本空间Ω={(1,2),(1,3),…,(1,5),(2,1),(2,2),…,(5,4),(5,5)},共25个样本点,A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共5个样本点.所以P(A)=525=15.
所以甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为15.
(2)这种游戏不公平.设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C.记D为“两个编号的和为偶数”.D={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},共包含13个样本点.
所以甲胜的概率为P(B)=P(D)=1325,乙胜的概率为P(C)=1-1325=1225,
因为P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平.
能力提升练
1.一个三位自然数,百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b
解析组成各个数位上的数字不重复的三位自然数如下图所示:
由图可知样本空间中共含有24个样本点,而满足三位数是“凹数”的有214,213,312,314,324,412,413,423,共8个样本点,所以这个三位数为“凹数”的概率为824=13.
答案C
2.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为23
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是14
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为13
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为35
解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=23,故A正确;对于B,从四条长度各异的线段中任取一条,每条被取出的可能性均相等,所以该试验属于古典概型.又样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共包含4个样本点,而能构成三角形的基本事件为{(3,5,7)},包含1个样本点,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=14,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,则蚂蚁能获得食物的概率为26=13,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中元素的概率为37,故D错误.
答案ABC
3.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,若第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,则函数y=ax2-2bx+1在区间-∞,12上为减函数的概率是( )
A.14 B.34 C.16 D.56
解析由题意得a>0,ba≥12.∵第一次朝上一面的点数为a,第二次朝上一面的点数为b,∴a取1,2时,b可取1,2,3,4,5,6;a取3,4时,b可取2,3,4,5,6;a取5,6时,b可取3,4,5,6,共30种情况.∵将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,共有36种等可能发生的结果,∴所求概率为3036=56.
答案D
4.“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”,讲的是西施浣纱的故事;“落雁”,指的就是昭君出塞的故事;“闭月”,是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”,谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,已知乙扮演杨贵妃,甲、丙、丁三人抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为 .?
解析由题意可知,所有可能的情况为(甲—西施,丙—昭君,丁—貂蝉),(甲—西施,丙—貂蝉,丁—昭君),(甲—昭君,丙—西施,丁—貂蝉),(甲—昭君,丙—貂蝉,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—昭君,丁—西施),(甲—貂蝉,丙—西施,丁—昭君),共6种,其中满足条件的就1种,故所求事件的概率为16.
答案16
5.现把某类数字记作XmYn,其中正整数m,n(m≤6,n≤8)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为 .?
解析m取小于等于6的正整数,n取小于等于8的正整数,共有6×8=48种取法.m取到奇数的有1,3,5共3种情况;n取到奇数的有1,3,5,7共4种情况,则m,n都取到奇数的方法种数为3×4=12种.所以m,n都取到奇数的概率为1248=14.
答案14
6.一个袋中装有6个大小形状完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和为6的概率;
(2)先后有放回地随机抽取两个球,两次取的球的编号分别记为a和b,求a+b>5的概率.
解(1)从袋中随机抽取两个球共有15种取法,
取出球的编号之和为6的有(1,5),(2,4),共2种取法,故所求概率P=215.
(2)先后有放回地随机抽取两个球的样本空间共包含36个样本点,
记A为“两次取的球的编号之和大于5”,则A={(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含26个样本点,
故所求概率P=2636=1318.
7.某市为了解全民健身情况,随机从某小区居民中抽取了40人,将他们的年龄分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值;
(2)①若从样本中年龄在[50,70)的居民中任取2人赠送健身卡,求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率;
②已知该小区年龄在[10,80]内的总人数为2 000,若18岁以上(含18岁)为成年人,试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数.
解(1)平均数的估计值x=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+(65+75)×0.05=37.
前三组的频率之和为0.15+0.2+0.3=0.65,故中位数落在第3组,设中位数的估计值为x,
则(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位数的估计值为35.
(2)①样本中,年龄在[50,70)的共有40×0.15=6(人),其中年龄在[50,60)的有4人,设为a,b,c,d,年龄在[60,70)的有2人,设为x,y.
则从中任选2人的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含15个样本点.
记A为“至少有1人年龄不低于60岁”,则A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含9个样本点.
记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A,故所求概率P(A)=915=35.
②样本中年龄在18岁以上的居民所占频率约为1-(18-10)×0.015=0.88,
故可以估计,该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2 000×0.88=1 760.
素养培优练
(2020北京高二期末)某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选出三个科目作为选考科目.若一名学生从这六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.某学校为了了解高一年级200名学生选考科目的意向,随机选取20名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:
性别
选考方案确定情况
物理
化学
生物
历史
地理
政治
男生
选考方案确定的有5人
5
5
2
1
2
0
选考方案待确定的有7人
6
4
3
2
4
2
女生
选考方案确定的有6人
3
5
2
3
3
2
选考方案待确定的有2人
1
2
1
0
1
1
(1)在选考方案确定的男生中,同时选考物理、化学、生物的人数是多少?
(2)从选考方案确定的男生中任选2名,试求出这2名学生选考科目完全相同的概率.
解(1)选考方案确定的男生中,同时选择“物理、化学和生物”的人数是2.
(2)由数据可知,已确定选考科目的男生共5人.其中有2人选择“物理、化学和生物”,记为a1,a2;有1人选择“物理、化学和历史”,记为b;有2人选择“物理、化学和地理”,记为c1,c2.从已确定选考科目的男生中任选2人,有a1a2,a1b,a1c1,a1c2,a2b,a2c1,a2c2,bc1,bc2,c1c2,样本空间共包含10个样本点.两名学生选考科目完全相同的选法种数有a1a2,c1c2,共2种选法.设事件A:从已确定选考科目的男生中任选出2人,这两名学生选考科目完全相同,则事件A包含2个样本点.P(A)=210=15.