6.1.4_6.1.5 数乘向量 向量的线性运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 6.1.4_6.1.5 数乘向量 向量的线性运算-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 117.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-15 09:39:24 | ||
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文档简介
1066800012509500第六章平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.4~6.1.5 数乘向量 向量的线性运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
2.下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;
③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.
其中正确说法的个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
3.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=( )
A.34AB?14AC B.14AB?34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC
4.已知△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
5.(2020山东临沂高一月考)在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,则△ABC和△AOC的面积比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.6∶1 D.8∶1
6.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是( )
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
7.在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状为 .?
8.已知点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=λPB,则实数λ= .?
9.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.
(1)用a,b分别表示向量AE,BF;
(2)求证:B,E,F三点共线.
能力提升练
1.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是( )
A.a=5e1,b=7e1
B.a=12e1-13e2,b=3e1-2e2
C.a=e1+e2,b=3e1-3e2
D.a=e1-13e2,b=3e1-e2
2.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是( )
A.BP?TS=5+12RS B.CQ+TP=5+12TS
C.ES?AP=5-12BQ D.AT+BQ=5-12CR
3.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)GA+GB+GC=0;(3)AH=2OD;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2020陕西西安高二检测)在△ABC中,点D是BC上任意一点,2AM=AD,BM=λAB+μAC,则λ+μ=( )
A.-12 B.-2 C.12 D.2
5.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若EC=λAD+μAB,则λ+μ= ,若E在线段AD上,异于A,D两点,则λ+μ的取值范围为 .?
6.
如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若AE=λAB+μAC,则t=λ-μ的最大值是 ;最小值是 .?
7.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,判断AD+BE+CF与BC是否平行,并求|AD+BE+CF|∶|BC|.
8.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
素养培优练
已知点O,A,M,B为平面上四点,且向量OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
1066800012509500第六章平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.4~6.1.5 数乘向量 向量的线性运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
解析BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,所以A,B,D三点共线.
答案A
2.下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;
③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.
其中正确说法的个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b.对于④,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.
答案C
3.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=( )
A.34AB?14AC B.14AB?34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC
解析
如图,EB=-BE
=-12(BA+BD)
=12AB?14BC
=12AB?14(AC?AB)
=34AB?14AC.
答案A
4.已知△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
解析设D为BC中点,则AB+AC=2AD,
∴AP=2λAD,即P点在中线AD上,
可知P点轨迹必过△ABC的重心,故选D.
答案D
5.(2020山东临沂高一月考)在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,则△ABC和△AOC的面积比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.6∶1 D.8∶1
解析在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,设D是AB中点,连接OD,如图所示,
则OA+OB=2OD,且S△ABC=2S△ACD,
∴2OD+4OC=0,
∴C,O,D三点共线,且OD=2OC,
∴3S△AOC=S△ACD,∴6S△AOC=2S△ACD=S△ABC,
∴S△ABC∶S△AOC=6∶1.
答案C
6.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是( )
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
解析a|a|,b|b|分别表示a,b的单位向量.
对于A,当2a=b时,2a|2a|=a|a|=b|b|;
对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|;
对于C,当a=2b时,a|a|=2b|2b|=b|b|;
对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|.
综上所述,使a|a|=b|b|成立的条件是a=2b,2a=b.
答案AC
7.在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状为 .?
解析由已知可得AB=-35CD,所以AB∥CD,且|AB|≠|CD|.又|AD|=|BC|,
所以四边形ABCD为等腰梯形.
答案等腰梯形
8.已知点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=λPB,则实数λ= .?
解析因为|AB|=4|AP|,所以P是四等分点,
因此AP=13PB,故填13.
答案13
9.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.
(1)用a,b分别表示向量AE,BF;
(2)求证:B,E,F三点共线.
解(1)∵AD=12(AB+AC)=12(a+b),
∴AE=23AD=13(a+b),
∵AF=12AC=12b,∴BF=AF?AB=-a+12b.
(2)证明:由(1)知BF=-a+12b,
BE=-23a+13b=23-a+12b,
∴BE=23BF.∴BE与BF共线.
又BE,BF有公共点B,
∴B,E,F三点共线.
能力提升练
1.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是( )
A.a=5e1,b=7e1
B.a=12e1-13e2,b=3e1-2e2
C.a=e1+e2,b=3e1-3e2
D.a=e1-13e2,b=3e1-e2
解析对A,a与b显然共线;对B,因为b=3e1-2e2=612e1-13e2=6a,故a与b共线;对C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得3=k,-3=k,无解,故a与b不共线;对D,b=3e1-13e2=3a,所以a与b共线.
答案ABD
2.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是( )
A.BP?TS=5+12RS B.CQ+TP=5+12TS
C.ES?AP=5-12BQ D.AT+BQ=5-12CR
解析在如题图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.
在A中,BP?TS=TE?TS=SE=5+12RS,故A正确;在B中,CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,故B错误;在C中,ES?AP=RC?QC=5-12QB,故C错误;在D中,AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RD?SD,若AT+BQ=5-12CR,则SD=0,不合题意,故D错误.故选BCD.
答案BCD
3.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)GA+GB+GC=0;(3)AH=2OD;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析
在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;
对于(1),根据欧拉线定理得HG=2OG,(1)正确;
对于(2),根据三角形的重心性质得GA+GB+GC=0,(2)正确;
对于(3),∵AH∥OD,
∴△AHG∽△DOG,
∴AHOD=AGDG=2,∴AH=2OD,(3)正确;
对于(4),过点G作GE⊥BC,垂足为E,则GEAN=DGDA=13,∴△BGC的面积为S△BGC=12BC·GE=12BC×13×AN=13S△ABC;同理,S△AGC=S△AGB=13S△ABC,(4)正确.故选D.
答案D
4.(2020陕西西安高二检测)在△ABC中,点D是BC上任意一点,2AM=AD,BM=λAB+μAC,则λ+μ=( )
A.-12 B.-2 C.12 D.2
解析设BD=kBC=kAC-kAB,由2AM=AD.
∴BM=12(BA+BD)
=-12AB+k2AC?k2AB
=-12-k2AB+k2AC,
∴λ=-12?k2,μ=k2,∴λ+μ=-12.
答案A
5.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若EC=λAD+μAB,则λ+μ= ,若E在线段AD上,异于A,D两点,则λ+μ的取值范围为 .?
解析
(1)因为EC=ED+DC
=12AD+AB,
所以λ+μ=12+1=32.
(2)EC=ED+DC=λAD+AB,λ∈(0,1),
所以λ+μ∈(1,2).
答案32 (1,2)
6.
如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若AE=λAB+μAC,则t=λ-μ的最大值是 ;最小值是 .?
解析设AE=kAD,0≤k≤1,则AE=k(AC+2CB)=k[AC+2(AB?AC)]=2kAB-kAC,
∵AE=λAB+μAC,
∴λ=2k,μ=-k,∴t=λ-μ=3k.
又0≤k≤1,∴当k=1时,t取最大值3.
当k=0时,t取最小值0.
答案3 0
7.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,判断AD+BE+CF与BC是否平行,并求|AD+BE+CF|∶|BC|.
解由AC?AD=2(AD?AB),得AD=13AC+23AB.
同理可得,BE=13BC+23BA,CF=13CA+23CB,
所以AD+BE+CF=-13BC,
所以(AD+BE+CF)∥BC,
且|AD+BE+CF|=13|BC|,
即|AD+BE+CF|∶|BC|=1∶3.
8.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
(1)证明由已知得BD=CD?CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
因为AB=2e1-8e2,
所以AB=2BD.
又因为AB与BD有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
(2)解由(1)可知BD=e1-4e2,
因为BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
所以BF=λBD(λ∈R),
即3e1-ke2=λe1-4λe2,得λ=3,-k=-4λ,解得k=12.
素养培优练
已知点O,A,M,B为平面上四点,且向量OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
(1)证明因为OM=λOB+(1-λ)OA,
所以OM=λOB+OA-λOA,OM?OA=λOB-λOA,即AM=λAB.又λ∈R,λ≠1,λ≠0且AM,AB有公共点A,所以A,B,M三点共线.
(2)解由(1)知AM=λAB,若点B在线段AM上,则AM,AB同向,且|AM|>|AB|(如图所示).
所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1,+∞).
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.4~6.1.5 数乘向量 向量的线性运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
2.下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;
③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.
其中正确说法的个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
3.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=( )
A.34AB?14AC B.14AB?34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC
4.已知△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
5.(2020山东临沂高一月考)在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,则△ABC和△AOC的面积比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.6∶1 D.8∶1
6.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是( )
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
7.在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状为 .?
8.已知点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=λPB,则实数λ= .?
9.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.
(1)用a,b分别表示向量AE,BF;
(2)求证:B,E,F三点共线.
能力提升练
1.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是( )
A.a=5e1,b=7e1
B.a=12e1-13e2,b=3e1-2e2
C.a=e1+e2,b=3e1-3e2
D.a=e1-13e2,b=3e1-e2
2.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是( )
A.BP?TS=5+12RS B.CQ+TP=5+12TS
C.ES?AP=5-12BQ D.AT+BQ=5-12CR
3.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)GA+GB+GC=0;(3)AH=2OD;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2020陕西西安高二检测)在△ABC中,点D是BC上任意一点,2AM=AD,BM=λAB+μAC,则λ+μ=( )
A.-12 B.-2 C.12 D.2
5.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若EC=λAD+μAB,则λ+μ= ,若E在线段AD上,异于A,D两点,则λ+μ的取值范围为 .?
6.
如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若AE=λAB+μAC,则t=λ-μ的最大值是 ;最小值是 .?
7.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,判断AD+BE+CF与BC是否平行,并求|AD+BE+CF|∶|BC|.
8.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
素养培优练
已知点O,A,M,B为平面上四点,且向量OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
1066800012509500第六章平面向量初步
6.1 平面向量及其线性运算
6.1.4~6.1.5 数乘向量 向量的线性运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线
解析BD=BC+CD=-2a+8b+3(a-b)=a+5b=AB,所以A,B,D三点共线.
答案A
2.下面四种说法:
①对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb;
②对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na;
③对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b;
④对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n.
其中正确说法的个数是( )
A.4 B.3
C.2 D.1
解析由数乘向量运算律,得①②均正确.对于③,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b.对于④,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n.
答案C
3.在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=( )
A.34AB?14AC B.14AB?34AC
C.34AB+14AC D.14AB+34AC
解析
如图,EB=-BE
=-12(BA+BD)
=12AB?14BC
=12AB?14(AC?AB)
=34AB?14AC.
答案A
4.已知△ABC中,向量AP=λ(AB+AC)(λ∈R),则点P的轨迹通过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
解析设D为BC中点,则AB+AC=2AD,
∴AP=2λAD,即P点在中线AD上,
可知P点轨迹必过△ABC的重心,故选D.
答案D
5.(2020山东临沂高一月考)在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,则△ABC和△AOC的面积比是( )
A.2∶1 B.4∶1 C.6∶1 D.8∶1
解析在△ABC中,O为其内部一点,且满足OA+OB+4OC=0,设D是AB中点,连接OD,如图所示,
则OA+OB=2OD,且S△ABC=2S△ACD,
∴2OD+4OC=0,
∴C,O,D三点共线,且OD=2OC,
∴3S△AOC=S△ACD,∴6S△AOC=2S△ACD=S△ABC,
∴S△ABC∶S△AOC=6∶1.
答案C
6.(多选题)设a,b都是非零向量.下列四个条件中,使a|a|=b|b|成立的条件是( )
A.2a=b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
解析a|a|,b|b|分别表示a,b的单位向量.
对于A,当2a=b时,2a|2a|=a|a|=b|b|;
对于B,当a∥b时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|;
对于C,当a=2b时,a|a|=2b|2b|=b|b|;
对于D,当a∥b且|a|=|b|时,可能有a=-b,此时a|a|≠b|b|.
综上所述,使a|a|=b|b|成立的条件是a=2b,2a=b.
答案AC
7.在四边形ABCD中,AB=3e,CD=-5e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形状为 .?
解析由已知可得AB=-35CD,所以AB∥CD,且|AB|≠|CD|.又|AD|=|BC|,
所以四边形ABCD为等腰梯形.
答案等腰梯形
8.已知点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=λPB,则实数λ= .?
解析因为|AB|=4|AP|,所以P是四等分点,
因此AP=13PB,故填13.
答案13
9.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=23AD,AB=a,AC=b.
(1)用a,b分别表示向量AE,BF;
(2)求证:B,E,F三点共线.
解(1)∵AD=12(AB+AC)=12(a+b),
∴AE=23AD=13(a+b),
∵AF=12AC=12b,∴BF=AF?AB=-a+12b.
(2)证明:由(1)知BF=-a+12b,
BE=-23a+13b=23-a+12b,
∴BE=23BF.∴BE与BF共线.
又BE,BF有公共点B,
∴B,E,F三点共线.
能力提升练
1.(多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是( )
A.a=5e1,b=7e1
B.a=12e1-13e2,b=3e1-2e2
C.a=e1+e2,b=3e1-3e2
D.a=e1-13e2,b=3e1-e2
解析对A,a与b显然共线;对B,因为b=3e1-2e2=612e1-13e2=6a,故a与b共线;对C,设b=3e1-3e2=k(e1+e2),得3=k,-3=k,无解,故a与b不共线;对D,b=3e1-13e2=3a,所以a与b共线.
答案ABD
2.(多选题)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.下列关系中不正确的是( )
A.BP?TS=5+12RS B.CQ+TP=5+12TS
C.ES?AP=5-12BQ D.AT+BQ=5-12CR
解析在如题图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且PTAT=5-12.
在A中,BP?TS=TE?TS=SE=5+12RS,故A正确;在B中,CQ+TP=PA+TP=TA=5+12ST,故B错误;在C中,ES?AP=RC?QC=5-12QB,故C错误;在D中,AT+BQ=SD+RD,5-12CR=RS=RD?SD,若AT+BQ=5-12CR,则SD=0,不合题意,故D错误.故选BCD.
答案BCD
3.生于瑞士的数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理,在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个结论:(1)GH=2OG;(2)GA+GB+GC=0;(3)AH=2OD;(4)S△ABG=S△BCG=S△ACG,其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析
在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示;
对于(1),根据欧拉线定理得HG=2OG,(1)正确;
对于(2),根据三角形的重心性质得GA+GB+GC=0,(2)正确;
对于(3),∵AH∥OD,
∴△AHG∽△DOG,
∴AHOD=AGDG=2,∴AH=2OD,(3)正确;
对于(4),过点G作GE⊥BC,垂足为E,则GEAN=DGDA=13,∴△BGC的面积为S△BGC=12BC·GE=12BC×13×AN=13S△ABC;同理,S△AGC=S△AGB=13S△ABC,(4)正确.故选D.
答案D
4.(2020陕西西安高二检测)在△ABC中,点D是BC上任意一点,2AM=AD,BM=λAB+μAC,则λ+μ=( )
A.-12 B.-2 C.12 D.2
解析设BD=kBC=kAC-kAB,由2AM=AD.
∴BM=12(BA+BD)
=-12AB+k2AC?k2AB
=-12-k2AB+k2AC,
∴λ=-12?k2,μ=k2,∴λ+μ=-12.
答案A
5.在正方形ABCD中,E为线段AD的中点,若EC=λAD+μAB,则λ+μ= ,若E在线段AD上,异于A,D两点,则λ+μ的取值范围为 .?
解析
(1)因为EC=ED+DC
=12AD+AB,
所以λ+μ=12+1=32.
(2)EC=ED+DC=λAD+AB,λ∈(0,1),
所以λ+μ∈(1,2).
答案32 (1,2)
6.
如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若AE=λAB+μAC,则t=λ-μ的最大值是 ;最小值是 .?
解析设AE=kAD,0≤k≤1,则AE=k(AC+2CB)=k[AC+2(AB?AC)]=2kAB-kAC,
∵AE=λAB+μAC,
∴λ=2k,μ=-k,∴t=λ-μ=3k.
又0≤k≤1,∴当k=1时,t取最大值3.
当k=0时,t取最小值0.
答案3 0
7.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,判断AD+BE+CF与BC是否平行,并求|AD+BE+CF|∶|BC|.
解由AC?AD=2(AD?AB),得AD=13AC+23AB.
同理可得,BE=13BC+23BA,CF=13CA+23CB,
所以AD+BE+CF=-13BC,
所以(AD+BE+CF)∥BC,
且|AD+BE+CF|=13|BC|,
即|AD+BE+CF|∶|BC|=1∶3.
8.设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线.
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
(1)证明由已知得BD=CD?CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,
因为AB=2e1-8e2,
所以AB=2BD.
又因为AB与BD有公共点B,
所以A,B,D三点共线.
(2)解由(1)可知BD=e1-4e2,
因为BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
所以BF=λBD(λ∈R),
即3e1-ke2=λe1-4λe2,得λ=3,-k=-4λ,解得k=12.
素养培优练
已知点O,A,M,B为平面上四点,且向量OM=λOB+(1-λ)OA(λ∈R,λ≠0,且λ≠1).
(1)求证:A,B,M三点共线;
(2)若点B在线段AM上,求实数λ的取值范围.
(1)证明因为OM=λOB+(1-λ)OA,
所以OM=λOB+OA-λOA,OM?OA=λOB-λOA,即AM=λAB.又λ∈R,λ≠1,λ≠0且AM,AB有公共点A,所以A,B,M三点共线.
(2)解由(1)知AM=λAB,若点B在线段AM上,则AM,AB同向,且|AM|>|AB|(如图所示).
所以λ>1.即实数λ的取值范围是(1,+∞).