第六章平面向量初步测评-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

1200150010629900第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于(　　)
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
2.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则BC=(　　)
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
3.(2019全国Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　)
A.2 B.2 C.52 D.50
4.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.下列关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间的描述正确的是(　　)
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.以上说法都不正确
6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为(　　)
A.3 B.-3 C.0 D.2
7.已知AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,设AD=a,BE=b,则BC等于(　　)

A.43a+23b B.23a+43b
C.23a-43b D.-23a+43b
8.如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且AP=14AB+12AC,则△BPC与△ABC的面积之比等于(　　)

A.2∶5 B.3∶5
C.3∶4 D.1∶4
二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
9.下列命题不正确的是(　　)
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量
C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
10.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是(　　)
A.AB与CD共线
B.AC与BD相等
C.AD与CB模相等,方向相反
D.AB与CD模相等
11.已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行,且方向相反的向量a可能是(　　)
A.a=(-1,-2) B.a=(9,3)
C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8)
12.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是(　　)
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(x∈R),则|a+b|的取值范围为　　　　　.?
14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ=　　　　　,此时a,b方向　　　　　.(填“相同”或“相反”)?
15.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是　　　　　.?
16.如图,在正六边形ABCDEF中,若AD=λAC+μAE(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　　.?


四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(-3,1).
(1)求与2a+b同向的单位向量e;
(2)若向量c=-3,-113,请以向量a,b为基底表示向量c.







18.(12分)设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.










19.(12分)如图,在△OCB中,A是BC的中点,D是靠近点B将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b.

(1)用a,b表示向量OC,DC;
(2)若OE=λOA,求λ的值.







20.(12分)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.
(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.
(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.






21.(12分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c.
(1)求3a+b-3c的值;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(3)若线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),求MN.






22.(12分)在△ABC中,AM=34AB+14AC.

(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y的值.







1200150010629900第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于(　　)
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
解析为使物体平衡,即合外力为零,即4个向量相加等于零向量,∴F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).
答案D
2.已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则BC=(　　)
A.(-1,0) B.(0,-1)
C.(1,0) D.(0,1)
解析因为BC=AC?AB=(1,t-3),又因为|BC|=1,
即12+(t-3)2=12,解得t=3,所以BC=(1,0),故选C.
答案C
3.(2019全国Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=(　　)
A.2 B.2 C.52 D.50
解析由题意,得a-b=(-1,1),则|a-b|=(-1)2+12=2,故选A.
答案A
4.已知向量a=(-1,2),b=(3,m),m∈R,则“m=-6”是“a∥(a+b)”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析充分性:若m=-6,a+b=(-1,2)+(3,-6)=(2,-4),则-12=2-4=-12,a=-12(a+b),可推出a∥(a+b),故充分性成立;必要性:若a∥(a+b),则a+b=ka,2+m=2k,2=-k,解得m=-6,故必要性成立;综上所述,“m=-6”是“a∥(a+b)”的充要条件,故选A.
答案A
5.下列关于船从两河岸平行的一岸驶向另一岸所用的时间的描述正确的是(　　)
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.以上说法都不正确
解析根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少.
答案B
6.已知向量a,b不共线,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y的值为(　　)
A.3 B.-3 C.0 D.2
解析由原式可得3x-4y=6,2x-3y=3,解得x=6,y=3,∴x-y=3.
答案A
7.已知AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线,设AD=a,BE=b,则BC等于(　　)

A.43a+23b B.23a+43b
C.23a-43b D.-23a+43b
解析由题意,得BE=12(BA+BC),
所以2BE=BA+BC,①
同理得2AD=AB+AC=-BA+(BC?BA)=-2BA+BC,
即2AD=-2BA+BC.②
①×2+②得4BE+2AD=3BC,
即4b+2a=3BC,所以BC=23a+43b.
答案B
8.如图所示,设P为△ABC所在平面内的一点,并且AP=14AB+12AC,则△BPC与△ABC的面积之比等于(　　)

A.2∶5 B.3∶5
C.3∶4 D.1∶4
解析延长AP交BC于点D,因为A,P,D三点共线,
所以CP=mCA+nCD(m+n=1),设CD=kCB,
代入可得CP=mCA+nkCB,
即AP?AC=-mAC+nk(AB?AC)?AP=(1-m-nk)AC+nkAB,
又因为AP=14AB+12AC,即nk=14,1-m-nk=12,且m+n=1,
解得m=14,n=34,
所以CP=14CA+34CD可得AD=4PD.
因为△BPC与△ABC有相同的底边,所以面积之比就等于|DP|与|AD|之比,
所以△BPC与△ABC的面积之比为1∶4,故选D.
答案D
二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
9.下列命题不正确的是(　　)
A.单位向量都相等
B.若a与b是共线向量,b与c是共线向量,则a与c是共线向量
C.|a+b|=|a-b|,则a⊥b
D.若a与b是单位向量,则|a|=|b|
解析单位向量仅仅长度相等,方向可能不同;当b=0时,a与c可以为任意向量;|a+b|=|a-b|,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直.
答案AB
10.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中正确的是(　　)
A.AB与CD共线
B.AC与BD相等
C.AD与CB模相等,方向相反
D.AB与CD模相等
解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,故A,D正确;AC=BD但AC与BD的方向不同,故B不正确;AD=CB且AD∥CB,AD与CB的方向相反,故C正确.
答案ACD
11.已知两点A(2,-1),B(3,1),与AB平行,且方向相反的向量a可能是(　　)
A.a=(-1,-2) B.a=(9,3)
C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8)
解析∵AB=(1,2),
∴a=(-1,-2)=-(1,2)=-AB,
∴A正确.
a=(-4,-8)=-4(1,2)=-4AB,∴D正确.
答案AD
12.如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是(　　)
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
解析由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当两个向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,或当λ1e1+μ1e2为非零向量,而λ2e1+μ2e2为零向量(λ2=μ2=0),此时λ不存在.
答案BC
三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量a=(2x+3,2-x),b=(-3-x,2x)(x∈R),则|a+b|的取值范围为　　　　　.?
解析因为a+b=(x,x+2),所以|a+b|=x2+(x+2)2=2x2+4x+4=2(x+1)2+2≥2,所以|a+b|∈[2,+∞).
答案[2,+∞)
14.设e1,e2为两个不共线的向量,若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ=　　　　　,此时a,b方向　　　　　.(填“相同”或“相反”)?
解析因为a,b共线,
所以由向量共线定理知,存在实数k,使得a=kb,
即e1+λe2=-k(2e1-3e2)=-2ke1+3ke2.
又因为e1,e2不共线,所以1=-2k,λ=3k,解得λ=-32,k=-12.因为k<0,所以a,b方向相反.
答案-32　相反
15.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是　　　　　.?
解析若点A,B,C能构成三角形,则向量AB,AC不共线.因为AB=OB?OA=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),AC=OC?OA=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),所以1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1.
答案k≠1
16.如图,在正六边形ABCDEF中,若AD=λAC+μAE(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　　.?

解析

连接EC交AD于点M,连接FC交AD于点O,如右图:
由题可得:O为AD的中点,M为AD的一个四等分点,且MD=14AD,M为EC中点,
所以AD=43AM=43×12(AC+AE)=λAC+μAE,
所以λ=23,μ=23,所以λ+μ=43.
答案43
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(-3,1).
(1)求与2a+b同向的单位向量e;
(2)若向量c=-3,-113,请以向量a,b为基底表示向量c.
解(1)∵2a+b=(2,4)+(-3,1)=(-1,5),
∴|2a+b|=(-1)2+52=26,∴与2a+b同向的单位向量e=1|2a+b|(2a+b)=-2626,52626.
(2)设c=λa+μb(λ,μ∈R),则-3,-113=λ(1,2)+μ(-3,1)=(λ-3μ,2λ+μ),
∴-3=λ-3μ,-113=2λ+μ,
解得λ=-2,μ=13,
∴c=-2a+13b.
18.(12分)设e1,e2是两个不共线的向量,已知AB=2e1-8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.
(1)求证:A,B,D三点共线;
(2)若BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.
(1)证明由已知得BD=CD?CB=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.∵AB=2e1-8e2,∴AB=2BD.
又AB与BD有公共点B,∴A,B,D三点共线.
(2)解由(1)可知BD=e1-4e2,
∵BF=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,
∴BF=λBD(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2,
即λ=3,-k=-4λ.解得k=12.
19.(12分)如图,在△OCB中,A是BC的中点,D是靠近点B将OB分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设OA=a,OB=b.

(1)用a,b表示向量OC,DC;
(2)若OE=λOA,求λ的值.
解(1)因为A是BC的中点,
所以OA=12(OB+OC),
所以OC=2OA?OB=2a-b.
又D是靠近点B将OB分成2∶1的一个内分点,
所以OD=23OB,
所以DC=OC?OD=(2a-b)-23b=2a-53b.
(2)因为C,E,D三点共线,
所以存在实数μ,使得EC=μDC.
又EC=OC?OE=(2a-b)-λa=(2-λ)a-b,DC=2a-53b,
所以(2-λ)a-b=μ2a-53b.
又a,b不共线,则2-λ=2μ,1=53μ,
解得λ=45.
20.(12分)已知三点A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0.
(1)若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值.
(2)若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.
解(1)因为四边形OACB是平行四边形,
所以OA=BC,即(a,0)=(2,2-b),
a=2,2-b=0,解得a=2,b=2.故a=2,b=2.
(2)因为AB=(-a,b),BC=(2,2-b),
由A,B,C三点共线,得AB∥BC,
所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab.
因为a>0,b>0,所以2(a+b)=ab≤a+b22,
即(a+b)2-8(a+b)≥0,解得a+b≥8或a+b≤0.
因为a>0,b>0,所以a+b≥8,即a+b的最小值是8.
当且仅当a=b=4时,“=”成立.
21.(12分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设AB=a,BC=b,CA=c.
(1)求3a+b-3c的值;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(3)若线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),求MN.
解(1)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且AB=a,BC=b,CA=c,
∴a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),
∴3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42).
(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴-6m+n=5,-3m+8n=-5,
解得m=-1,n=-1.
(3)∵线段AB的中点为M,线段BC的三等分点为N(点N靠近点B),
∴AM=12AB=52,-52,BN=13BC=(-2,-1),
∴M点坐标为12,32,N点坐标为(1,-2),
∴MN=12,-72.
22.(12分)在△ABC中,AM=34AB+14AC.

(1)求△ABM与△ABC的面积之比;
(2)若N为AB中点,AM与CN交于点P,且AP=xAB+yAC(x,y∈R),求x+y的值.
解(1)在△ABC中,AM=34AB+14AC,
4AM=3AB+AC,3(AM?AB)=AC?AM,
即3BM=MC,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.
故△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.
(2)因为AM=34AB+14AC,AM∥AP,
AP=xAB+yAC(x,y∈R),所以x=3y.
因为N为AB的中点,
所以NP=AP?AN=xAB+yAC?12AB
=x-12AB+yAC,
CP=AP?AC=xAB+yAC?AC=xAB+(y-1)AC.
因为NP∥CP,所以x-12(y-1)=xy,即2x+y=1.
又x=3y,所以x=37,y=17,所以x+y=47.