第四章指数函数、对数函数与幂函数测评-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）

1226820011938000第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单选题(本题共8个小题,每小题5分,共40分)
1.下列函数中,满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(x·y)=f(x)+f(y)”的函数是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x
C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x
2.(2019北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=x12 B.y=2-x
C.y=log12x D.y=1x
3.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为(　　)
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,3) D.(-6,2)
4.若函数y=ax+m-1(a>0)的图像经过第一、三、四象限,则(　　)
A.a>1 B.00
C.a>1,且m<0 D.0 5.(2019天津)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c C.b 6.(2020北京101中学高三开学考试)所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约10-12 W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lgII0,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔).简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140 dB.一个士兵大喝一声的响度为90 dB,如果一群士兵同时大喝一声相当张飞大喝一声的响度,那么这群士兵的人数为(　　)
A.1万 B.2万 C.5万 D.10万
7.(2019浙江)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a>0,且a≠1)的图像可能是(　　)

8.(2020北京北师大实验中学高三月考)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则1m+1n的取值范围是(　　)
A.72,+∞ B.[1,+∞)
C.(4,+∞) D.92,+∞
二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
9.(2020山东烟台高一期末)若a>b>0,0 A.logcacb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
10.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)

A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=14x+52
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
11.已知实数a,b满足等式12a=13b,则下列关系式中可能成立的是(　　)
A.a>b>0 B.a C.0 12.(2020福建厦门高一月考)已知函数f(x)=2x+log2x,且实数a>b>c>0,满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列不等式中可能成立的是(　　)
A.x0a
C.x0 三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.(2020广东揭阳高一期末)12523+12-2?4(3-π)4+3(-3)3=　　　　.?
14.(2020北京朝阳高考模拟)能说明“函数f(x)的图像在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线.若f(0)·f(2)>0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是　　　　.?
15.(2020浙江高中联盟高一联考)函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图像恒过定点A,则点A的坐标为　　　　　;若f-32<32,则实数a的取值范围是　　　　.?
16.已知函数f(x)=-x+k,x<0,x2-1,x≥0,其中k≥0.若关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是　　　　.?
四、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求下列各式的值:
(1)log535+2log122-log5150-log514;
(2)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2·lg 5;
(3)log32log2764.








18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图像,并求出其值域、单调区间以及在区间19,6上的最大值.









19.(12分)已知f(x)=ax+b,x≥0,-x2-1,x<0,其中a>0,a≠1.
(1)若f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;
(2)当a=2时,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.







20.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0,且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f35=2,求使f(x)>0成立的x的集合.






21.(12分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)






22.(12分)已知函数f(x)=-2x2x+1.
(1)用定义证明函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;
(2)若x∈[1,2],求函数f(x)的值域;
(3)若g(x)=a2+f(x),且当x∈[1,2]时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.







1226820011938000第四章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、单选题(本题共8个小题,每小题5分,共40分)
1.下列函数中,满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(x·y)=f(x)+f(y)”的函数是(　　)
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x
C.f(x)=log2x D.f(x)=eln x
解析f(xy)=log2xy=log2x+log2y=f(x)+f(y).
答案C
2.(2019北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=x12 B.y=2-x
C.y=log12x D.y=1x
解析函数y=2-x,y=log12x,y=1x在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x12在区间(0,+∞)上单调递增,故选A.
答案A
3.若函数y=f(x)的定义域为(0,2),则函数y=f(3-3x)的定义域为(　　)
A.(0,1) B.(0,2)
C.(1,3) D.(-6,2)
解析由题意,需0<3-3x<2,即1<3x<3,所以0 答案A
4.若函数y=ax+m-1(a>0)的图像经过第一、三、四象限,则(　　)
A.a>1 B.00
C.a>1,且m<0 D.0 解析由题意可知,a>1,且m-1<-1,所以a>1,且m<0.
答案C
5.(2019天津)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c C.b 解析a=log27>log24=2.
b=log381.
又c=0.30.2<1,故c 答案A
6.(2020北京101中学高三开学考试)所谓声强,是指声音在传播途径上每1平方米面积上的声能流密度,用I表示,人类能听到的声强范围很广,其中能听见的1 000 Hz声音的声强(约10-12 W/m2)为标准声强,记作I0,声强I与标准声强I0之比的常用对数称作声强的声强级,记作L,即L=lgII0,声强级L的单位名称为贝(尔),符号为B,取贝(尔)的十分之一作为响度的常用单位,称为分贝(尔).简称分贝(dB).《三国演义》中有张飞喝断当阳桥的故事,设张飞大喝一声的响度为140 dB.一个士兵大喝一声的响度为90 dB,如果一群士兵同时大喝一声相当张飞大喝一声的响度,那么这群士兵的人数为(　　)
A.1万 B.2万 C.5万 D.10万
解析设张飞的声强为I1,一个士兵的声强为I2,根据题意可知140=10lgI110-12,90=10lgI210-12,
所以I1=102,I2=10-3,所以I1I2=105,
所以这群士兵的人数为10万.
答案D
7.(2019浙江)在同一直角坐标系中,函数y=1ax,y=logax+12(a>0,且a≠1)的图像可能是(　　)

解析当01时,函数y=ax的图像过定点(0,1)且单调递增,则函数y=1ax的图像过定点(0,1)且单调递减,函数y=logax+12的图像过定点12,0且单调递增,各选项均不符合.故选D.
答案D
8.(2020北京北师大实验中学高三月考)若a>1,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logax+x-4的零点为n,则1m+1n的取值范围是(　　)
A.72,+∞ B.[1,+∞)
C.(4,+∞) D.92,+∞
解析函数f(x)=ax+x-4的零点是函数y=ax与函数y=4-x图像交点A的横坐标,函数g(x)=logax+x-4的零点是函数y=logax与函数y=4-x图像交点B的横坐标,由于指数函数与对数函数互为反函数,其图像关于直线y=x对称,直线y=4-x与直线y=x垂直,故直线y=4-x与直线y=x的交点(2,2)即是A,B的中点,∴m+n=4,
∴1m+1n=14(m+n)1m+1n=142+mn+nm≥1,
当且仅当m=n=2时等号成立,而m+n=4,
故1m+1n≥1.
答案B
二、多选题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
9.(2020山东烟台高一期末)若a>b>0,0 A.logcacb
C.ac>bc D.logc(a+b)>0
解析因为0b>0得logcab>0,得cab>0,01,所以ac>bc,故C正确;取c=12,a+b=2,则logc(a+b)=log122=-1<0,故D错误.
答案AC
10.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费,甲厂的总费用y1(单位:千元)、乙厂的总费用y2(单位:千元)与印制证书数量x(单位:千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则(　　)

A.甲厂的费用y1与证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1
B.当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元
C.当印制证书数量超过2千个时,乙厂的总费用y2与证书数量x之间的函数关系式为y2=14x+52
D.若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用
解析易知甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系为y1=0.5x+1,故A正确;
当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5元,故B正确;
易知当x>2时,y2与x之间的函数关系式为y2=14x+52,故C正确;
当x=8时,y1=0.5×8+1=5,y2=14×8+52=92,因为y1>y2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D不正确.
答案ABC
11.已知实数a,b满足等式12a=13b,则下列关系式中可能成立的是(　　)
A.a>b>0 B.a C.0 解析画出函数y=12x和y=13x的图像,借助图像分析a,b满足等式12a=13b时的a,b大小关系,如图所示:

若a,b均为正数,则a>b>0;若a,b为负数,则a 答案ABD
12.(2020福建厦门高一月考)已知函数f(x)=2x+log2x,且实数a>b>c>0,满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列不等式中可能成立的是(　　)
A.x0a
C.x0 解析由函数的单调性可得,函数f(x)=2x+log2x在区间(0,+∞)上为增函数,由f(a)f(b)f(c)<0,则f(a),f(b),f(c)为负数的个数为奇数,故选项A,B,C均可能成立;当x00,f(b)>0,f(c)>0,不满足f(a)f(b)f(c)<0,故选项D不可能成立.
答案ABC
三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.(2020广东揭阳高一期末)12523+12-2?4(3-π)4+3(-3)3=　　　　.?
解析12523+12-2?4(3-π)4+3(-3)3
=53×23+2(-1)×(-2)-|3-π|+(-3)
=25+4-π+3-3=29-π.
答案29-π
14.(2020北京朝阳高考模拟)能说明“函数f(x)的图像在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线.若f(0)·f(2)>0,则f(x)在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是　　　　.?
解析考查函数y=(x-1)2,绘制函数图像如图所示,

该函数f(x)的图像在区间[0,2]上是一条连续不断的曲线,f(0)·f(2)>0,但是函数f(x)在(0,2)内存在零点x=1,故该函数使得原命题为假命题.
答案y=(x-1)2(开放题,答案不唯一)
15.(2020浙江高中联盟高一联考)函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图像恒过定点A,则点A的坐标为　　　　　;若f-32<32,则实数a的取值范围是　　　　.?
解析∵函数f(x)=1+loga(x+2)(a>0,且a≠1)图像恒过定点A,
令x+2=1,得x=-1,f(-1)=1,可得它的图像经过定点(-1,1).
当0 若f-32<32,则1+loga-32+2<32,
即loga12<12,即a<12,求得0 当a>1时,函数f(x)为增函数,
若f-32<32,则1+loga-32+2<32,
即loga12<12,即a>12,求得a>14,又a>1,
∴a>1.
综上,实数a的取值范围为0,14∪(1,+∞).
答案(-1,1)　0,14∪(1,+∞)
16.已知函数f(x)=-x+k,x<0,x2-1,x≥0,其中k≥0.若关于x的函数y=f(f(x))有两个不同零点,则实数k的取值范围是　　　　.?
解析令f(x)=t,则y=f(t),
当k∈[0,1)时,函数f(x)的图像如下图所示.

由f(t)=0?t=1,故函数f(x)的图像与函数y=1的图像有两个交点,所以k∈[0,1)满足题意.
当k∈[1,+∞)时,函数f(x)的图像如下图所示.

由f(t)=0?t=1,则函数f(x)与函数y=1只有一个交点,所以k∈[1,+∞)不满足题意.
综上,k∈[0,1).
答案[0,1)
四、解答题(本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)求下列各式的值:
(1)log535+2log122-log5150-log514;
(2)(lg 2)3+(lg 5)3+3lg 2·lg 5;
(3)log32log2764.
解(1)原式=log535×5014+2log12212=log553-1=2.
(2)原式=(lg 2+lg 5)(lg22-lg 2·lg 5+lg25)+3lg 2·lg 5=lg22+lg25+2lg 2·lg 5=(lg 2+lg 5)2=1.
(3)原式=log32·log6427=lg2lg3·lg27lg64=36=12.
18.(12分)画出函数f(x)=|log3x|的图像,并求出其值域、单调区间以及在区间19,6上的最大值.
解因为f(x)=|log3x|=log3x,x≥1,-log3x,0 所以在[1,+∞)上f(x)的图像与y=log3x的图像相同,在(0,1)上的图像与y=log3x的图像关于x轴对称,据此可画出其图像,如图所示.

由图像可知,函数f(x)的值域为[0,+∞),单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1).
当x∈19,6时,f(x)在区间19,1上是单调递减的,在区间(1,6]上是单调递增的.
又f19=2,f(6)=log36<2,
故f(x)在区间19,6上的最大值为2.
19.(12分)已知f(x)=ax+b,x≥0,-x2-1,x<0,其中a>0,a≠1.
(1)若f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a,b的取值范围;
(2)当a=2时,函数f(x)在区间(-∞,+∞)上只有一个零点,求实数b的取值范围.
解(1)由题易知f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,
∵f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递增的,
∴当x≥0时,f(x)也单调递增,
∴a>1,且f(0)=1+b≥-1,得b≥-2.
综上,a,b的取值范围分别是(1,+∞),[-2,+∞).
(2)∵x<0时,f(x)<-1,
∴f(x)在区间(-∞,0)上无零点,
∴x≥0时,f(x)=2x+b只有一个零点,
∵f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,且f(x)∈[1+b,+∞),
∴f(0)=1+b≤0,∴b≤-1.
∴实数b的取值范围是b∈(-∞,-1].
20.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x)-loga(1-x),其中a>0,且a≠1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f35=2,求使f(x)>0成立的x的集合.
解(1)要使函数f(x)有意义,则1+x>0,1-x>0,解得-1 (2)f(x)是奇函数.理由如下:
∵f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(3)若f35=2,
∴loga1+35-loga1-35=loga4=2,
解得a=2,
∴f(x)=log2(1+x)-log2(1-x).
若f(x)>0,则log2(x+1)>log2(1-x),
∴x+1>1-x,x+1>0,1-x>0,解得0 故所求x的集合为(0,1).
21.(12分)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲,这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2,凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解(1)两个函数y=kax(k>0,a>1),y=px12+q(p>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快,而函数y=px12+q(p>0)的值增加的越来越慢.
因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,
所以函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.
由题意可知,x=2时,y=24;x=3时,y=36,
所以ka2=24,ka3=36,解得k=323,a=32,所以该函数模型的解析式是y=323×32x(x∈N*).
(2)当x=0时,y=323×320=323,
所以元旦放入凤眼莲的面积是323 m2.
由323×32x>10×323,得32x>10,
所以x>log3210=lg10lg 32=1lg3-lg2.
因为1lg3-lg2≈10.477 1-0.301 0≈5.7,
所以x≥6,
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.
22.(12分)已知函数f(x)=-2x2x+1.
(1)用定义证明函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数;
(2)若x∈[1,2],求函数f(x)的值域;
(3)若g(x)=a2+f(x),且当x∈[1,2]时,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)函数f(x)的定义域为R,设x1,x2∈R且x1 ∵x10.
又2x1+1>0,2x2+1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(2)∵f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,
∴当x∈[1,2]时,f(x)min=f(2)=-45,f(x)max=f(1)=-23.
∴当x∈[1,2]时,f(x)的值域为-45,-23.
(3)由(2)得,当x∈[1,2]时,f(x)∈-45,-23,
∵g(x)=a2+f(x),
∴当x∈[1,2]时,g(x)∈a2-45,a2-23.
∵g(x)≥0在x∈[1,2]上恒成立,
∴a2?45≥0,
∴a≥85,即a的取值范围为85,+∞.