湘教八上数学5.1.1二次根式及其性质课件（41张）

(共41张PPT)
第1课时
二次根式及其性质
第五章
二次根式
第1节
二次根式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
二次根式的定义
二次根式定义的双重非负性(a≥0，
)
二次根式的“双重”非负性
课时导入
复习提问
引出问题
复习提问
引出问题
知识点
二次根式的定义
知1－导
感悟新知
1
(1)5的平方根是________，0的平方根是________，正实数a的平方根是________.
(2)运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度(称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，从而将飞船送人环地球运行的轨道.而第一字宙速度
与地球半径R
之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数
g=9.8
m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度
是多少？
知1－导
感悟新知
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方根，一个记作
，称为a的算术平方根；另一个是
－
.
知1－讲
结
论
感悟新知
我们把形如
的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如
(a≥0)的式子叫作二次根式；
其中“
”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界定的，必须含有二次根号“
”；
“
”的根指数为2，即
，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子；但前提是a必须大于或等于0.
(3)形如b
(a=0)的式子也是二次根式.
知1－讲
知1－讲
感悟新知
2.易错警示：
(1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断；如
等都是二次根式；
(2)像
(a≥0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式.
判断下列各式是否为二次根式，并说明理由.
知1－讲
感悟新知
例
1
知1－讲
感悟新知
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别.
知1－讲
感悟新知
解：(1)∵
的根指数是3，
不是二次根式
(2)∵不论x为何值，都有x2+1>0，
是二次根式
(3)当-5a≥0，即a≤0时，
是二次根式；
当a>0时，-5a<0，则
不是二次根式.
∴
不一定是二次根式.
(4)
+1(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式.
知1－讲
感悟新知
(5)当x=-3时，
无意义.∴
也无意义；
当x≠3时，
.∴
是二次根式.
∴
不一定是二次根式
(6)当a=4，即a-4=0时，
是二次根式；
当a≠4时，-(a-4)2
<0，∴
不是二次根式.
∴
不一定是二次根式.
(7)∵x2
+2x
+2
=x2
+2x+1
+1=(x+1)2+1>0，
∴
是二次根式
(8)∵
|x|≥0，∴
是二次根式.
知1－讲
总
结
感悟新知
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数
1．下列各式中，一定是二次根式的是(
)
知1－练
感悟新知
D
知1－练
感悟新知
C
知1－练
感悟新知
B
知2－导
感悟新知
知识点
二次根式的“双重”非负性(a≥0，
)
2
(1)式子
只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是
为二次根式的前提条件.式子
就不是二次根式，但式子
却又是二次根式．
(2)
(a≥0)实际上就是非负数a的算术平方根，既可表示开方运算,也可表示运算的结果.同时
(a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根式的双重非负性.
知2－讲
感悟新知
1.二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数，反之也成立，即
有意义
a≥0.
2.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数，反之也成立，即
无意义
a<0.
知2－讲
感悟新知
要点精析：
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数(式)都必须是非负数.
(2)如果一个式子既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有意义的条件是：底数不为0.
知2－讲
感悟新知
例2
当x是怎样的实数时，二次根式
在实数范围内有意义？
解：由x-1≥0，解得x≥1.
因此，当x≥1时，
在实数范围内有意义.
知2－讲
感悟新知
总
结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数，则必须满足底数不能为零；对于含有分式的，则还需满足分母不能为零；第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等式或不等式组；第三步，求不等式或不等式组的解集即为字母的取值范围.
1．若
是二次根式，则(
)
A．x＞0
B．x＜0
C．x≥0
D．x≤0
知2－练
感悟新知
D
知2－讲
感悟新知
当x=-4时，求二次根式
的值.
例
3
解：将x=-4代人二次根式，得
知2－讲
感悟新知
总
结
本题运用类比思想，求二次根式的值与求有理式的值的方法一样，代入数值计算即可.但要注意被开方数必须是非负数.
知2－练
感悟新知
A
知3－导
感悟新知
知识点
二次根式的“双重”非负性
3
对于非负实数a，由于
是
a的一个平方根，因此
知3－导
感悟新知
填空：
……
根据上述结果猜想，当a≥0时，
知3－导
感悟新知
由于a的平方等于a2，因此a是a2的一个平方根，当a≥0时，根据算术平方根的意义，有
=a，由此得出：
知3－讲
感悟新知
1·二次根式的性质：
(1)
中a≥0，
≥0，即一个非负数的算术平方根是一个非负数；
(2)(
)2=a(a≥0)，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
(3)
即一个数的平方的算术平方根等于它的绝对值.
知3－讲
感悟新知
要点精析：(1)
具有双重非负性：①a≥0；②
≥0.
(2)
与
的区别与联系：
区别：①取值范围不同：
中a为全体实数
中a≥0；②运算顺序不同：
是先平方后开方，
是先开方后平方；③运算结果不同：
知3－讲
感悟新知
联系：
与
均为非负数，且当a≥0时，
=
易错警示：用性质
=|a|化简时，易忽略守母a的取值范围。
知3－讲
感悟新知
计算：
例4
知3－讲
感悟新知
总
结
=
a(a≥0)这一性质也可以反过来用，
即
a=
(a≥0)，如3=
等．
知3－练
感悟新知
B
2.计算：(1)
=________；
(2)
=________；
(3)
=________；
(4)
=________
.
知3－练
感悟新知
3
5
18
a2+1
知3－讲
感悟新知
计算：
例
5
知3－讲
感悟新知
总
结
掌握公式
=a
(a
≥0)与
=|a|
，是解答此类问题的关键.
知3－练
感悟新知
B
2.
则a的取值范围是(
)
A.a>3
B.a≥3
C.a<3
D.
a≤3
知3－练
感悟新知
B
课堂小结
二次根式及其性质
与
的异同点
相同点：都要进行平方和开平方两种运算且运算结果都是非负数.
不同点：意义不同，
表示实数a的平方的算术平方根，
表示非负数a的算术平方根的平方.另外，它们的运算顺序、运算依据也不相同.
必做:
请完成教材课后习题
课后作业
作业