4.1　数列的概念同步练习（基础过关+能力提升）-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章　数列
4.1　数列的概念
基础过关练习：
知识点一
对数列概念的理解
1.下列说法正确的是(　　)
A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点
D.数列的项数一定是无限的
2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A.1,,,,…
B.sin,sin,sin,sin,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,2,3,4,…,30
知识点二
数列的通项公式及其应用
3.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N
,则该数列的前4项依次为(深度解析)
A.1,0,1,0
B.0,1,0,1
C.,0,,0
D.2,0,2,0
4.数列{an}的通项公式为an=则a2a3=(　　)
A.70
B.28
C.20
D.8
5.(2020山东菏泽高二上期中)已知数列1,,,,…,,若3是这个数列的第n项,则n=(　　)
A.20
B.21
C.22
D.23
6.(2020河南郑州八校高二上期中)已知函数f(x)=若数列{an}满足an=f(n)(n∈N
),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　易错　)
A.
B.
C.(2,3)
D.(1,3)
7.(多选)下列四个命题中,正确的有(　　)
A.数列的第k项为1+
B.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,n∈N
,则-8是该数列的第7项
C.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=2n-1
D.数列{an}的通项公式为an=,n∈N
,则数列{an}是递增数列
8.写出下列各数列的一个通项公式:
(1)4,6,8,10,…;
(2),,,,,…;
(3)-1,,-,,…;
(4)5,55,555,5
555,….
9.已知an=(n∈N
),则数列{an}中有没有最大项?如果有,求出最大项;如果没有,请说明理由.
10.在数列{an}中,an=n2-kn(n∈N
),且{an}为单调递增数列,求实数k的取值范围.
知识点三
数列的递推公式及其应用
11.已知an+1-an-3=0,n∈N
,则数列{an}是(　　)
A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.不能确定
12.若数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1,则a4=(　　)
A.7
B.13
C.40
D.121
13.若数列{an}满足a1=2,an+1=,则a2
021的值为(　　)
A.2
B.-3
C.-
D.
14.下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递推公式可以是(　　)
A.an+1=an+n,n∈N
B.an=an-1+n,n∈N
,n≥2
C.an+1=an+(n+1),n∈N
,n≥2
D.an=an-1+(n-1),n∈N
,n≥2
15.数列{an}中,若an+1=(n∈N
),a1=1,则an=　　　　.?
16.已知数列{an}中,a1a2…an=n2(n∈N
),则a9=　　　.?
知识点四
数列的前n项和公式及其应用
17.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n(n∈N
),则a5=(　　)
A.6
B.8
C.12
D.20
18.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=(n∈N
),Sn=10,则n等于(　　)
A.90
B.119
C.120
D.121
19.已知数列{an}的前n项和为Sn,求数列{an}的通项公式.
(1)Sn=2n-1,n∈N
;
(2)Sn=2n2+n+3,n∈N
.
20.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=An2+Bn+C,A≠0.
(1)当A=2,C=0,且a2=-10时,求数列{an}的通项公式;
(2)设{an}的各项均为负实数,当a1=-36,a3=-9时,求实数A的取值范围.
能力提升练习：
知识点一
数列的通项公式及其应用
1.(2020天津静海一中高二上期中)设an=+++…+(n∈N
),那么an+1-an等于(　　)
A.
B.
C.+
D.-
2.(2020山东滨州高二上期中)数列2,0,2,0,…的通项公式可以是(　　)
A.an=
B.an=2(n∈N
)
C.an=(-1)n+1(n∈N
)
D.an=cos
nπ+1(n∈N
)
3.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二上期中)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N
),且数列{an}从第n项起单调递减,则n的最小值为(　　)
A.11
B.12
C.13
D.不存在
4.(2020山东滕州一中高二上阶段检测)已知数列{an}的通项公式为an=,且存在正整数T,S,使得aT≤an≤aS对任意的n∈N
恒成立,则T+S=(　　)
A.15
B.17
C.19
D.21
5.(多选)若数列{an}满足:对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N
),其中是“差递减数列”的有(　　)
A.an=3n
B.an=n2+1
C.an=
D.an=ln
知识点二
数列的递推公式及其应用
6.(2020辽宁省实验中学高二上期中)已知数列{an}满足an+1=若a1=,则a2
020的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
7.(2020浙江浙南名校联盟高二上期中联考)已知数列{an}对任意的n∈N
都有an+1<,且a1+a2+…+a9=9,则下列说法正确的是(　　)
A.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为单调递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为单调递增数列,且a5<1
8.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(n∈N
),则an=　　　　.?
9.(2020湖南娄底高二上期中)若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2,n∈N
),且a1=1,则a100=　　　　.?
10.(2020黑龙江牡丹江一中高二上期末)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图,则第13行中实心圆点的个数是　　　　.?
知识点三
数列的前n项和公式及其应用
11.(2020山东淄博一中高二上期中)若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2)(n∈N
),则S10=(　　)
A.15
B.12
C.-12
D.-15
12.(2020福建福州高三上期末质量检测)已知Sn为数列{an}的前n项和,若a1=,且an+1(2-an)=2(n∈N
),则S21=　　　　.?
13.(2020广东中山高二上期末统考)若数列{an}满足an+an+1=-(n∈N
),其前n项和为Sn,且S99=3,则a100=　　　　.?
14.设数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N
).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为Sn,求证:Sn<.
答案全解全析
基础过关练习：
1.C　A中,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;D中,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.
2.C　数列1,,,,…是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin,sin,sin,sin,…是无穷数列,但它不是递增数列;数列-1,-,-,-,…是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列.故选C.
3.A　解法一:由an=,n∈N
,n分别取1,2,3,4,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A.
解法二:因为当n∈N
且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N
且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{an}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0.
方法技巧　当一个数列中的项的系数出现“+”“-”相间时,应先把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1表示.
4.C　由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=20.
5.D　由题意得,=3,即2n-1=45,解得n=23,故选D.
6.C　根据题意,得an=f(n)
=
要使{an}是递增数列,
需满足解得2故选C.
易错警示　分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,分段数列还要使得两段之间满足一定的条件,如本题中数列{an}递增需满足a77.ABD　对于A,数列的第k项为1+,A正确;
对于B,令n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去),B正确;
对于C,将3,5,9,17,33,…的各项减去1,得2,4,8,16,32,…,设该数列为{bn},则其通项公式为bn=2n(n∈N
),因此数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为an=bn+1=2n+1(n∈N
),C错误;
对于D,an==1-,则an+1-an=-=>0,因此数列{an}是递增数列,D正确.故选ABD.
8.解析　(1)易知该数列是首项从4开始的偶数,所以该数列的一个通项公式为an=2n+2,n∈N
.
(2)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的通项公式可写为an=,n∈N
.
(3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n.又第1项可改写成分数-,所以每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,……,可写成n(n+2)的形式.所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·,n∈N
.
(4)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9
999,
即×(10-1),×(100-1),×(1
000-1),×(10
000-1),
即×(10-1),×(102-1),×(103-1),×(104-1),
所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N
.
9.解析　解法一:由an=(n∈N
)得,an+1-an=-=,n∈N
.
当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an,即{an}在n<8时单调递增;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an,得a8=a9;当n>8时,an+1-an<0,即an+18时单调递减.
所以数列{an}的最大项是第8项或第9项,即a8=a9=.
解法二:设an为最大项,则(n≥2,n∈N
),
即
解得8≤n≤9.
又因为n∈N
,所以n=8或n=9,
故{an}的最大项为a8=a9=.
10.解析　由an=n2-kn,得an+1=(n+1)2-k(n+1),所以an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.
因为{an}为单调递增数列,所以an+1-an>0,
即2n+1-k>0(n∈N
)恒成立,
即k<2n+1(n∈N
)恒成立,
所以k<3,
所以k的取值范围为(-∞,3).
11.A　∵an+1-an=3>0,n∈N
,∴an+1>an,即该数列中的每一项均小于它的后一项,
因此数列{an}是递增数列,故选A.
12.C　由题意得,a2=3a1+1=4,a3=3a2+1=13,a4=3a3+1=40.故选C.
13.A　∵a1=2,∴a2==-3,从而a3==-,a4==,a5==2=a1.∴{an}是以4为周期的数列,又2
021=505×4+1,∴a2
021=a1=2,故选A.
14.B　由题中图形知,a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,故选B.
15.答案　
解析　由已知得,a2=,a3=,a4=,a5=,……,以此类推,可得an=(n∈N
).
16.答案　
解析　由题意得,a1a2…a8=82,①
a1a2…a9=92,②
②÷①得,a9==.
17.B　由Sn=n2-n得,S5=52-5=20,S4=42-4=12,
∴a5=S5-S4=20-12=8.故选B.
18.C　∵an==-,∴Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1=10,∴n+1=121,∴n=120.
19.解析　(1)∵Sn=2n-1(n∈N
),∴当n=1时,a1=S1=2-1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1.
经检验,当n=1时,符合上式,
∴an=2n-1(n∈N
).
(2)∵Sn=2n2+n+3(n∈N
),∴当n=1时,a1=S1=2×12+1+3=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+n+3-[2(n-1)2+(n-1)+3]=4n-1.
经检验,当n=1时,不符合上式,
∴an=
易错警示　由数列{an}的前n项和Sn求通项公式时,要注意验证当n=1时的情况.若a1=S1适合an(n≥2,n∈N
)的表达式,则通项公式可以合并,否则就写成分段的形式.
20.解析　(1)由题意得,当A=2,C=0时,Sn=2n2+Bn.则当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+Bn-[2(n-1)2+B(n-1)]=4n+(B-2).
又a2=-10,∴a2=8+(B-2)=-10,
∴B=-16,∴an=4n-18(n≥2,n∈N
),
当n=1时,可得a1=S1=2×12+(-16)×1=-14.
经检验,当n=1时,符合an=4n-18,
∴an=4n-18,n∈N
.
(2)由题意得,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2An+(B-A),
∴a3=6A+(B-A)=5A+B=-9.
∴B=-5A-9,
∴an=2An+(B-A)=2An-6A-9(n≥2,n∈N
),
若{an}的各项均为负实数,则A<0,
∴an=2An-6A-9在n≥2时单调递减,
又∵a1=-36<0,∴只需a2<0即可,即a2=4A-6A-9<0,∴A>-.
故实数A的取值范围为-能力提升练习：
1.D　∵an=+++…+,
∴an+1=++…+++,
∴an+1-an=+-=-.
2.B　选项A中,n取不到1,其通项公式中不含a1,A错误;
选项B中,当n是奇数时,an=2×1=2,当n是偶数时,an=2×0=0,B正确;
选项C中,a1=0≠2,C错误;
选项D中,a1=cos
π+1=0≠2,D错误.
故选B.
3.A　∵an=,
∴an+1=,
∴an+1-an=-
=.
由数列{an}从第n项起单调递减可得an+1-an<0,即-n2-n+130<0,n∈N
.
即n2+n-130>0,解得n<或n>,又n∈N
,∴n>.
∵22<<23,∴10.5<<11,
∴n≥11,∴a11>a12>a13>…,
即从第11项起,{an}单调递减,∴n的最小值为11,故选A.
4.D　依题意得,an==1-=1+,
∴当n≥11(n∈N
)时,2n≥211=2
048,数列{an}递减,且an>1,
∴(an)max=a11,
当n≤10(n∈N
)时,2n≤210=1
024,数列{an}递减,且an<1,
∴(an)min=a10,
∴a10≤an≤a11,∴T+S=21,故选D.
5.CD　选项A,由an=3n,得an+1-an=3,则{an+1-an}为常数列,不满足“差递减数列”的定义;
选项B,由an=n2+1,得an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则{an+1-an}为递增数列,不满足“差递减数列”的定义;
选项C,由an=,得an+1-an=-=,显然{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义;
选项D,由an=ln,得an+1-an=ln-ln=ln=ln,随着n的增大,此值变小,所以{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义.故选CD.
6.D　依题意得,a2=2a1-1=2×-1=,a3=2a2-1=2×-1=,a4=2a3=2×==a1,∴数列{an}是以3为周期的周期数列.∵2
020=3×673+1,∴a2
020=a1=.故选D.
7.D　∵数列{an}对任意n∈N
都有an+1<,∴an+2-an+1>an+1-an,
∴{an+1-an}为单调递增数列.
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.
8.答案　2+ln
n
解析　由an+1=an+ln,
得an+1-an=ln=ln(n+1)-ln
n,
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
=2+(ln
2-ln
1)+(ln
3-ln
2)+…+[ln
n-ln(n-1)]=2+ln
n(n∈N
).
9.答案　5
050
解析　由(n-1)an=(n+1)an-1,
得=(n≥2,n∈N
),
则a100=a1···…·
=1×××…×=5
050.
10.答案　144
解析　不妨构造数列{an}表示第n行实心圆点的个数,由题图可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和.
易知a1=0,a2=1,且n≥3时,an=an-1+an-2,故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.
11.A　依题意得,a2n=6n-2,a2n-1=-6n+5,
∴a2n-1+a2n=3,即a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=a9+a10=3,
∴S10=a1+a2+…+a10=3×5=15,故选A.
12.答案　
解析　由an+1(2-an)=2,得an+1=,
又a1=,所以a2==-4,a3==,a4==,a5===a1,
所以数列{an}是周期为4的数列,
因为21=4×5+1,所以a21=a1=,
所以S21=5(a1+a2+a3+a4)+a21
=5×+=.
13.答案　10-3
解析　∵an+an+1=-(n∈N
),
∴a1+a2=-0,
a3+a4=-,
a5+a6=-,
……
a99+a100=-,
∴S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100
=(-0)+(-)+(-)+…+(-)=-0=10,
又S99=3,
∴a100=S100-S99=10-3.
14.解析　(1)由数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=2n(n∈N
),①
得当n≥2时,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=2(n-1),②
①-②得(2n-1)an=2(n≥2,n∈N
),即an=(n≥2,n∈N
),经检验,当n=1时,a1=2,满足上式,所以an=,n∈N
.
(2)证明:设cn=,由(1)可知,
cn==
=,
∴Sn=c1+c2+…+cn
=+++…++==--=-,
∵n∈N
,∴Sn<.