4.2.2　等差数列的前n项和公式第2课时同步练习（基础过关+能力提升）-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第2课时　等差数列前n项和的综合运用
基础过关练习：
知识点一　等差数列前n项和的最大(小)值
1.在数列{an}中,a1=19,=an-3(n∈N
),当数列{an}的前n项和最大时,n的值为(　　)
A.6
B.7
C.8
D.9
2.已知点(n,an)在函数y=9-2x的图象上,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A.-14
B.-16
C.14
D.16
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S15>0,S16<0,则,,…,中最大的是(　　)
A.
B.
C.
D.
4.已知等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,当这个数列的前n项和最大时,n的值为　　　　.
5.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围是　　　　　　.?
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=1,S5=10,求:
(1){an}的通项公式;
(2){an}的前n项和Sn及Sn的最大值.
知识点二　等差数列前n项和的实际运用
7.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个凸多边形的边数n等于(　　)
A.12
B.16
C.9
D.16或9
8.“嫦娥”奔月,举国欢庆.据科学计算,运载“嫦娥”飞船的“长征三号甲”火箭点火1
min内通过的路程为2
km,以后每分钟通过的路程增加2
km,在到达离地面240
km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程需要的时间大约是(　　)
A.10
min
B.13
minC.15
min
D.20
min
9.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为(　　)
A.765
B.665
C.763
D.663
10.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管数最少,那么剩余钢管的根数为　　　　.?
11.某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1
150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?付清全部贷款后,买这件家电实际花费多少钱?
知识点三　等差数列前n项和的综合运用
12.(2019湖南师大附中高二期末)已知公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,=a2a9.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.
13.(2020河北衡水中学高三上期末)在数列{an}中,有a1+a2+a3+…+an=n2+2n(n∈N
).
(1)证明:数列{an}为等差数列,并求其通项公式;
(2)记bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
能力提升练习：
知识点一　等差数列前n项和的最大(小)值
1.若{an}是等差数列,首项a1>0,a23+a24>0,a23·a24<0,则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是(　　)
A.46
B.47
C.48
D.49
2.(2020浙江嘉兴高三上期末)在等差数列{an}中,已知a1>0,4a3=7a10.记anan+1an+2=bn,当数列{bn}的前n项和Sn取最大值时,n等于(　　)
A.17
B.18
C.19
D.20
3.(多选)已知首项为a1,公差为d的等差数列{an}是递增数列,且满足a7=3a5,前n项和为Sn,则下列选项正确的有(　　)
A.d>0
B.a1<0
C.当n=5时,Sn最小D.当Sn>0时,n的最小值为8
4.(多选)(2020山东菏泽高二期末)已知首项为正数,公差不为0的等差数列{an},其前n项和为Sn(n∈N
),现有下列四个命题,其中正确的有(　　)
A.若S10=0,则S2+S8=0
B.若S4=S12,则使Sn>0的n的最大值为15
C.若S15>0,S16<0,则{Sn}中S8最大
D.若S7知识点二　等差数列前n项和的实际运用
5.(2020山东潍坊高二上期末)我国古代数学名著《算法统宗》中说:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意为:“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分,要顺从父母,兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中,第8个孩子分到的棉花为(　　)
A.184斤
B.176斤
C.65斤
D.60斤
6.某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年比上一年所需的维护费用要增加10万元.
(1)求该设备给企业带来的总利润y(万元)与使用年数x(x∈N
)的函数关系;
(2)这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?年平均利润最大为多少万元?
知识点三　等差数列前n项和的综合运用
7.(2020河南濮阳高二上期末)已知数列{an}的各项均为正数,且++…+=n2+n(n∈N
),则数列的前n项和为(深度解析)
A.n2+2n+1
B.2n2+2n
C.3n2+n
D.2n2+n
(2020安徽阜阳高二上期末)将正偶数排成如图所示的三角形数阵,其中第i行(从上向下)第j个(从左向右)数表示为aij(i,j∈N
),例如a32=10.若aij=2
020,则i-j=(　　)
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
......
A.21
B.22
C.23
D.25
9.(多选)(2020山东泰安高二上期末)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,前n项和为Sn,若a3=12,S12>0,S13<0,则下列结论正确的是(　　)
A.数列{an}是递增数列
B.S5=60
C.-D.S1,S2,…,S12中最大的是S6
10.(2020山东济宁高二上期末)已知一组双曲线En:x2-y2=4n+4(n∈N
),设直线x=m(m>2)与En在第一象限的交点为An,点An在En的两条渐近线上的射影分别为点Bn,Cn.记△AnBnCn的面积为an,则数列{an}的前20项的和为　　　　.?
11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn-nan=3n(n∈N
),且a2=5.
(1)证明:数列{an}为等差数列,并求其通项公式;
(2)设bn=,Tn为数列{bn}的前n项和,求使Tn>成立的最小正整数n的值.
答案全解全析
基础过关练习：
1.B　由题意得,an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n,n∈N
.
设前k(k∈N
)项和最大,则有
所以解得≤k≤,又k∈N
,因此k=7,故选B.
2.D　依题意得,an=9-2n,则a1=7,an+1-an=9-2(n+1)-(9-2n)=-2,∴数列{an}是首项为7,公差为-2的等差数列,∴Sn===-n2+8n=-(n-4)2+16,
∴当n=4时,Sn有最大值,最大值为16.
故选D.
3.D　等差数列{an}中,S15==15a8>0,所以a8>0,又S16==8(a8+a9)<0,所以a9<0,所以公差d<0.所以当n=8时,Sn取得最大值.又d<0,所以数列{an}为递减数列,所以当Sn取得最大值且an>0时,
取得最大值,所以最大.故选D.
4.答案　15
解析　解法一:设等差数列{an}的公差为d.∵S10=S20,∴10×29+d=20×29+d,解得d=-2,∴an=-2n+31,n∈N
.
设数列{an}的前n项和最大,则
即
解得14.5≤n≤15.5.
又∵n∈N
,∴n=15,
∴当n=15时,Sn最大.
解法二:同解法一可知d<0,
由S10=S20及二次函数图象的对称性得,Sn=f(n)的图象开口向下,对称轴方程为n==15∈N
,∴当n=15时,Sn最大.
方法归纳　求等差数列前n项和Sn的最大(小)值的常用方法:
1.通项法:若a1>0,d<0,则Sn必有最大值,可用不等式组来确定n的值;
若a1<0,d>0,则Sn必有最小值,可用不等式组来确定n的值.
2.二次函数法:在等差数列{an}中,由于Sn=na1+d=n2+n,故可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值,其中,可由n∈N
及二次函数图象的对称性来确定n的值.
解题时可根据题目中的已知条件,灵活选取相应的方法来求解.
5.答案　
解析　解法一:由题意得,a8>0且a9<0,
于是解得-1解法二:Sn=na1+d
=n2+n,
其图象的对称轴方程为n=-,
∵当且仅当n=8时Sn取得最大值,
∴解得-1∴d的取值范围是.
6.解析　(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则由已知可得
解得∴an=a1+(n-1)d=-n+5(n∈N
).
(2)由(1)可得,Sn=na1+d=-+n=-+,n∈N
,
当且仅当n取与最接近的正整数,即4或5时,Sn最大,最大值为S4=S5=10.
7.C　设该凸多边形内角的度数依次构成等差数列{an},a1=120,d=5,则an=120+5(n-1)=5n+115,n∈N
,易知an<180,∴n<13,且n∈N
,由n边形内角和定理得(n-2)×180=120n+×5,解得n=16或n=9,又n<13,n∈N
,∴n=9.
8.C　由题设条件知,火箭每分钟通过的路程数构成以2为首项,2为公差的等差数列,设其前n项和为Sn,则Sn=2n+×2=n2+n=n(n+1)=240,解得n=15或n=-16(舍).
9.B　被7除余2的自然数构成等差数列,设该等差数列为{an},an∈N,其首项a1=2,公差d=7,则an=a1+(n-1)d=7n-5,n∈N
,又an<100,an∈N,∴7n-5<100,∴n<15,∴n的最大值为14,则满足条件的最大值为a14=93.∴这些数的和为×14=×14=665.
10.答案　10
解析　由题意可知,从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.设该等差数列为{an},其前n项和为Sn.
则钢管总数Sn=1+2+3+…+n=,n∈N
.
当n=19时,S19=190;当n=20时,S20=210>200.
∴当n=19时,剩余钢管根数最少,为10根.
11.解析　购买家电时支付150元,则欠款为1
000元,每月付50元,则需20次付清,设每次交款数额依次构成数列{an},
则a1=50+1
000×1%=60,
a2=50+(1
000-50)×1%=59.5,
……
a10=50+(1
000-9×50)×1%=55.5,
即第10个月应付款55.5元.
依次类推可知,{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,
所以a1+a2+…+a20=×20=1
105,
全部付清后实际付款1
105+150=1
255(元).
所以分期付款的第10个月该交付55.5元,付清全部贷款后,买这件家电实际花费1
255元.
12.解析　(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d≠0),
由已知得
解得
∴an=3n-2,n∈N
.
(2)由(1)得,bn===,n∈N
,
∴Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-==.
13.解析　(1)∵a1+a2+a3+…+an=n2+2n(n∈N
),
∴当n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2+2(n-1),
上述两式相减并整理,得an=2n+1(n≥2).
又当n=1时,a1=12+2×1=3,符合上式,
∴an=2n+1(n∈N
).从而得到an-1=2n-1,∴an-an-1=2,
∴数列{an}是以3为首项,2为公差的等差数列,且其通项公式为an=2n+1(n∈N
).
(2)由(1)可知,bn===,n∈N
,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
=+-+-+…+
==.
能力提升练习：
1.A　∵数列{an}为等差数列,且a1>0,a23·a24<0,∴a23>0,a24<0,
∴d<0,当n≥24时,an<0.
又S46==>0,
S47==<0,
∴使Sn>0成立的最大正整数为46,故选A.
2.C　设等差数列{an}的公差为d.由a1>0,4a3=7a10,得4(a1+2d)=7(a1+9d),即a1=-d>0,故d<0.
所以数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=-d+(n-1)d=dn-d,n∈N
,
所以bn=anan+1an+2
=
=d3.
由于d3<0,所以当1≤n≤17时,d3·>0,
当n=18时,b18=d3·=d3<0,
当n=19时,b19=d3·=-d3>0,
当n≥20时,d3·<0.
由于b18+b19=-d3>0,所以当n=19时,Sn取得最大值.故选C.
3.ABD　由a7=3a5,可得a1+6d=3(a1+4d),即a1=-3d,
由等差数列{an}是递增数列,可知d>0,则a1<0,故A、B正确.
又Sn=na1+d=n2-n
=,d>0,
所以当n=3或n=4时,Sn有最小值,故C错误.
令Sn=n2-n>0,可得n<0或n>7,
又n∈N
,所以当Sn>0时,n的最小值为8,故D正确.故选ABD.
4.BC　设等差数列{an}的首项为a1(a1>0),公差为d(d≠0),根据题意,依次分析四个命题:
对于A,若S10=0,则S10==0,则a1+a10=0,即2a1+9d=0,则S2+S8=(2a1+d)+(8a1+28d)=10a1+29d=5×(-9d)+29d=-16d≠0,A错误;
对于B,若S4=S12,则S12-S4=0,
即a5+a6+…+a11+a12=4(a8+a9)=0,
由于a1>0,所以a8>0,a9<0,
则有S15==15a8>0,
S16===0,
故使Sn>0的n的最大值为15,B正确;
对于C,若S15>0,S16<0,
则S15==15a8>0,
S16==<0,
则有a8>0,a9<0,
则{Sn}中S8最大,C正确;
对于D,若S70,而S9-S8=a9,不能确定其符号,D错误.故选BC.
5.A　依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列,设该等差数列为{an},公差为d,前n项和为Sn,第一个孩子所得棉花斤数为a1,则由题意得,d=17,S8=8a1+×17=996,解得a1=65,∴a8=a1+(8-1)d=184.故选A.
6.解析　(1)由题意知,x年总收入为100x万元,x年总维护费用为10(1+2+3+…+x)=5x(x+1)万元,
∴y=100x-5x(x+1)-180=-5x2+95x-180,x∈N
.
(2)由(1)知,年平均利润为万元,=-5x++95.∵x∈N
,∴x+≥2=12,当且仅当x=,即x=6时等号成立,
∴当x=6时,有最大值,=35.
∴这套设备使用6年,可使年平均利润最大,最大年平均利润为35万元.
7.B　∵++…+=n2+n,①
∴当n=1时,=2,
当n≥2时,
++…+=(n-1)2+(n-1),②
①-②得,=2n(n≥2),经检验,当n=1时也适用,
∴=2n,n∈N
,即an=4n2,n∈N
.
∴=4n,∴-=4(n+1)-4n=4,又=4,∴是首项为4,公差为4的等差数列,它的前n项和为=2n2+2n.故选B.
易错警示　本题考查了由数列的前n项和求通项公式以及等差数列的前n项和公式.在由数列的前n项和Sn求通项公式时,要注意a1=S1,an=Sn-Sn-1,n≥2,n∈N
,求出an后必须检验a1是否适合.
8.D　由题意知,这个数阵的第一行有1个偶数,第二行有2个偶数,……,第n行有n个偶数,所以前n行的偶数的个数为,
又由题图可知,数阵中的数依次构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以前n行的最后一个偶数为2+×2=n(n+1),
当n=44时,44×45=1
980,当n=45时,45×46=2
070,所以aij=2
020在第45行,
又aij=2
020=1
980+2×20,
所以2
020是第45行的第20个偶数,
即2
020这个数位于第45行第20列,
所以i-j=45-20=25,故选D.
9.BCD　∵a3=a1+2d=12,∴a1=12-2d.
∴
解得-∵S5==5a3=5×12=60,∴B正确.
由解得a6>0,a7<0.故S1,S2,…,S12中最大的是S6,∴D正确.故选BCD.
10.答案　230
解析　由题意,设An(m,y),则m2-y2=4n+4,
双曲线En:x2-y2=4n+4(n∈N
)的渐近线方程为y=±x.
因为点An在En的两条渐近线上的射影分别为点Bn,Cn(不妨设点Bn在直线y=x上,Cn在直线y=-x上),
所以|AnBn|=,|AnCn|=,
由两条渐近线相互垂直,可得AnBn⊥AnCn,所以△AnBnCn的面积为an=·|AnBn|·|AnCn|=··=|m2-y2|=n+1,
因此数列{an}的前20项的和为a1+a2+…+a20=2+3+…+21==230.
11.解析　(1)由2Sn-nan=3n①可得,
当n≥2时,2Sn-1-(n-1)an-1=3(n-1)②,
①-②得,(n-1)an-1-(n-2)an=3(n≥2),所以当n≥3时,(n-2)an-2-(n-3)an-1=3,
所以(n-1)an-1-(n-2)an=(n-2)an-2-(n-3)an-1,整理得2an-1=an+an-2(n≥3),
所以{an}为等差数列.
又2S1-a1=3,所以a1=3,
又a2=5,所以a2-a1=2,所以an=2n+1(n∈N
).
(2)由(1)可得,bn=
=
=
=
=,
所以Tn=-+-+…+-=.
要使Tn>,只需>,解得n>,又n∈N
,所以n的最小值为8.