4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时同步练习（基础过关+能力提升）-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2　等比数列的前n项和公式
第1课时　等比数列前n项和及其应用
基础过关练习：
知识点一　求等比数列的前n项和
1.(2019北京西城高二期末)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=3,an+1=2an(n∈N
),则S5=(　　)
A.32
B.48
C.62
D.93
2.在等比数列{an}中,a1=1,且=8,则S5=(　　)
A.31
B.32
C.63
D.64
3.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn,则Sn=(　　)
A.
B.
C.
D.
4.等比数列1,x,x2,x3,…的前n项和Sn=(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2020天津津南高三上期末)在数列{an}中,a1=1,2an+1=an(n∈N
),记{an}的前n项和为Sn,则(　　)
A.Sn=2an-1
B.Sn=1-2an
C.Sn=an-2
D.Sn=2-an
6.(2020广西柳州高级中学高二上期末)在等比数列{an}中,公比q=,a2a4=2a5,则数列{an}的前5项和S5=　　　　.?
7.在等比数列{an}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{an}的首项、公比及其前n项和.
8.已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.
知识点二　等比数列前n项和的应用
9.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,且S20=(210+1)S10,则数列{an}的公比为(　　)
A.4
B.2
C.1
D.
10.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则公比q=(　　)
A.1或-1
B.1
C.-1
D.
11.(2020广东中山高二上期末统考)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a2=2,S6-S4=6a4,则a5=(　　)
A.4
B.10
C.16　
D.32
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a4-a1=78,S3=39,设bn=log3an,则数列{bn}的前10项和为(　　)
A.log371
B.
C.50
D.55
13.(2020天津耀华中学高二上期中)等比数列{an}中,
Sn为其前n项和,若Sn=3×2n+a,则a=　　　　.?
14.(2020北京昌平高三上期末)各项均为正数的等比数列{an}中,a1=1,a2+a3=6,则=　　　　.?
15.(2020山东临沂罗庄高二上期末)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=　　　　.?
能力提升练习:
知识点一　求等比数列的前n项和
1.(2020湖南师大附中高二期末)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(　　)
A.16(1-4-n)
B.16(1-2-n)
C.(1-4-n)
D.(1-2-n)
2.(2020天津滨海高二上期末)数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前n项和为Tn,则Tn=(　　)
A.2n+1-n
B.2n+1-n-2
C.2n-n
D.2n
3.(2020浙江杭州七校高二上联考)在等比数列{an}中,已知a4=3a3,则+++…+=(　　)
A.
B.
C.
D.
4.(2020辽宁鞍山一中高二期中)设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7(n∈N
),则f(n)=(　　)
A.(4n-1)
B.(4n+1-1)
C.(4n+3-1)
D.(4n+4-1)
5.(2019重庆九校高二上联考)已知数列{an+81}是公比为3的等比数列,若a1=-78,则数列{|an|}的前100项和S100=(　　)
A.
B.
C.
D.
6.(2020河北邢台高三上期末)在等比数列{an}中,a1+a2=5,且a2+a3=20.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{3an+}的前n项和Sn.
7.(2020山东济宁高二上期末质量检测)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=20,a1,a2,a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(n∈N
),求数列{bn}的前n项和Tn.
知识点二　等比数列前n项和的应用
8.(2020辽宁省实验中学高二上期中)已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,an+1-an==2(n∈N
),则数列{}的前n项和为(　　)
A.(4n-1-1)
B.(4n-1)
C.(4n-1-1)
D.(4n-1)
9.(2020江西新余一中高二上第二次段考)数列{an}的通项公式为an=2n+1,其前n项和为Tn,若不等式nlog2(Tn+4)-λ(n+1)+7≥3n对任意n∈N
恒成立,则实数λ的取值范围为(　　)
A.λ≤3
B.λ≤4
C.2≤λ≤3
D.3≤λ≤4
10.(多选)(2020山东淄博高二上期末)在递增的等比数列{an}中,已知公比为q,Sn是其前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(　　)
A.q=1
B.数列{Sn+2}是等比数列
C.S8=510
D.数列{lg
an}是公差为2的等差数列
11.(2020北京西城高二上期末)已知等比数列{an}的公比为2,且a3,a4+4,a5成等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设{an}的前n项和为Sn,且Sn=62,求n的值.
答案全解全析
基础过关练习：
1.D　由a1=3,an+1=2an(n∈N
)可知,数列{an}是以3为首项,2为公比的等比数列,所以S5==93.故选D.
2.A　设等比数列{an}的公比为q,
∵=8,∴=q3=8,即q=2,
又a1=1,∴S5===31.
故选A.
3.D　易知数列{(-1)n}是首项为-1,公比为-1的等比数列,所以Sn==.故选D.
4.C　当x=1时,Sn=n;当x≠1且x≠0时,Sn=.∴Sn=
5.D　∵2an+1=an(n∈N
),∴an+1=an,
又a1=1,∴数列{an}是以1为首项,为公比的等比数列,∴an=,
∴Sn==2-=2-an.故选D.
6.答案　
解析　设等比数列{an}的首项为a1,
由a2a4=2a5,得q4=2a1q4,
又q=,a1≠0,∴a1=2,
∴S5==
=4=.
7.解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0).
由已知可得
即所以
解②得q=3或q=1.
由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,舍去.所以公比q=3,首项a1=1.
所以数列{an}的前n项和Sn===(n∈N
).
8.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,
因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,
所以d=2,所以an=2n-1(n∈N
).
(2)设{bn}的公比为q.
由b2b4=a5得q·q3=2×5-1,所以q2=3,
所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q2=3为公比的等比数列,
所以b1+b3+b5+…+b2n-1==(n∈N
).
9.B　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题得q>0且q≠1,所以=(210+1)×,所以1-q20=(210+1)×(1-q10),所以1+q10=210+1,解得q=2或q=-2(舍去),故选B.
10.A　设等比数列{an}的首项为a1,由题意可知,当q=1时,S3+S6=S9,显然成立;当q≠1时,由S3+S6=S9得+=,化简得q9-q6-q3+1=0,解得q=-1.故选A.
11.C　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题知q>0,由S6-S4=6a4得,a6+a5=6a4,又a4≠0,∴q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).∴a5=a2q3=2×23=16,故选C.
12.D　设等比数列{an}的公比为q,
由得
∴=2,即=2,
∴q-1=2,即q=3.
∴a1==3,∴an=3n,
∴bn=log3an=log33n=n,
∴数列{bn}是以b1=1为首项,1为公差的等差数列,其前10项和为=55.
13.答案　-3
解析　解法一:∵Sn=3×2n+a,
∴当n=1时,a1=S1=6+a;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3×2n+a)-(3×2n-1+a)=3×2n-1,∴a2=6,a3=12.
又{an}是等比数列,∴=a1a3,
∴62=(6+a)×12,解得a=-3.
此时a1=3,符合an=3×2n-1,且{an}是等比数列.∴a=-3.
解法二:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,易知q≠1,由Sn=,设=A,则Sn=-Aqn+A,
又Sn=3×2n+a,∴a=-3.
14.答案　9
解析　设等比数列{an}的公比为q,且q>0,∵a1=1,a2+a3=a1q+a1q2=6,
∴q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去).
∴===1+q3=9.
15.答案　
解析　设等比数列的公比为q,由已知得S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,
即q2+q+=0,解得q=-,
所以S4===.
能力提升练习：
1.C　设等比数列{an}的公比为q.
解法一:∵a2=2,a5=,
∴∴
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=q+q3+…+q2n-1=(q+q3+…+q2n-1)=(1-4-n).
解法二:同解法一得,a1=4,q=,
∴a1a2=4×2=8,∴数列{anan+1}是首项为8,公比为的等比数列,
∴a1a2+a2a3+…+anan+1==(1-4-n).
2.B　设该数列为{an},由已知得数列的通项公式为an==2n-1,则Tn=a1+a2+…+an=(2-1)+(22-1)+…+(2n-1)=2+22+…+2n-n=-n=2n+1-n-2.
3.D　设等比数列{an}的公比为q.
∵a4=3a3,∴q=3,
∴+++…+=q+q2+q3+…+qn===.
4.D　易知1,3,5,7,…是首项为1,公差为2的等差数列,设该数列为{am},则am=2m-1,设an=2n+7,即2m-1=2n+7,∴m=n+4,
∴f(n)是以2为首项,22=4为公比的等比数列的前n+4项的和,
∴f(n)==(4n+4-1),故选D.
易错警示　数列求和要弄清数列的特征,特别要注意数列的项数,如本题中求的不是前n项和,而是前n+4项和,解题时要防止项数弄错导致解题错误.
5.C　∵a1=-78,∴a1+81=3.
又∵数列{an+81}是公比为3的等比数列,
∴an+81=3×3n-1=3n,可得an=3n-81.
易得当n≤4时,an≤0,当n≥5时,an>0,
∴数列{|an|}的前100项和S100=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+a5+a6+…+a100=81-3+81-9+81-27+0+(35-81)+(36-81)+…+(3100-81)=204+-81×96=.
6.解析　(1)设等比数列{an}的公比为q,
因为q==4,
所以a1+a2=a1+4a1=5a1=5,即a1=1.
故an=4n-1.
(2)由(1)及题知,3an+=3·4n-1+2n-1,
所以Sn=3×+=4n-1+2n-1=4n+2n-2.
7.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),
∵S4=20,a1,a2,a4成等比数列,
∴
解得
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n(n∈N
).
(2)由(1)得,bn==22n=4n,
∴b1=4,==4,
∴数列{bn}是首项为4,公比为4的等比数列.
∴Tn===.
8.D　依题意得{an}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列,{bn}是以b1=1为首项,2为公比的等比数列,∴an=1+2(n-1)=2n-1,bn=1×2n-1=2n-1,
∴=b2n-1=22n-2=4n-1.
∴{}是以1为首项,4为公比的等比数列,设其前n项和为Sn,
则Sn==(4n-1),故选D.
9.A　依题意得,Tn==2n+2-4,
∴不等式nlog2(Tn+4)-λ(n+1)+7≥3n可化为nlog22n+2-λ(n+1)+7≥3n,
即n2-n+7≥λ(n+1).
又n∈N
,∴λ≤对任意n∈N
恒成立.
只需满足λ≤即可.
设n+1=t,则t∈N
,t≥2,
∴λ≤=t+-3.
∵t+-3≥2-3=3,
当且仅当t=3,即n=2时等号成立,
∴=3.
∴λ≤3,故选A.
10.BC　∵∴
解得或
∵{an}为递增数列,∴
∴q==2,a1==2,
∴an=2n,Sn==2n+1-2,
∴S8=29-2=510,Sn+2=2n+1,∴数列{Sn+2}是等比数列,故A错误,B、C正确.
又lg
an=lg
2n=n·lg
2,∴数列{lg
an}是公差为lg
2的等差数列,故D错误.故选BC.
11.解析　(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题知q=2.
∴a3=a1q2=4a1,a4=a1q3=8a1,a5=a1q4=16a1,
依题意得2(a4+4)=a3+a5,
即2(8a1+4)=4a1+16a1,
解得a1=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
(2)依题意得,Sn=a1·=2×=2n+1-2,∴2n+1-2=62,
解得n=5,∴n的值是5.