4.4　数学归纳法同步练习（基础过关+能力提升）-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4
　数学归纳法
基础过关练习：
知识点一　用数学归纳法证明等式
1.(2019福建莆田一中高二期中)用数学归纳法证明等式1+a+a2+…+an-1=(a≠1,n∈N
),在验证n=1成立时,等式左边需计算的项是(　　)
A.1
B.1+a
C.1+a+a2
D.1+a+a2+a3
2.用数学归纳法证明1+2+3+4+…+(2n-1)+2n=2n2+n(n∈N
),当n=k+1(k∈N
)时,等式左边应在n=k时的基础上加的项是(　　)
A.2k+1
B.2k+2
C.(2k+1)+(2k+2)
D.1
3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+(n∈N
)时,第一步应验证的等式是　　　.?
4.(2019安徽亳州二中高二月考)用数学归纳法证明:
1+2+3+…+(n+3)=(n∈N
).
知识点二　用数学归纳法证明不等式
5.用数学归纳法证明1+++…+,n>1)时,第一步应验证的不等式是(　　)
A.1+<2
B.1++<2
C.1++<3
D.1+++<4
6.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n成立”时,第一步证明中的起始值n0应取(　　)
A.1
B.2
C.3
D.5
7.对于不等式≤n+1(n∈N
),某学生的证明过程如下:①当n=1时,≤1+1,不等式成立.
②假设当n=k(k∈N
)时,不等式成立,即≤k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.上述证法中(　　)
A.过程全部正确
B.n=1验证不正确
C.归纳假设不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
8.已知数列{bn}的通项公式为bn=2n,求证:对任意的n∈N
,不等式··…·>都成立.
知识点三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题
9.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都无公共点,用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数,那么f(n+1)与f(n)之间的关系为(　　)
A.f(n+1)=f(n)+n
B.f(n+1)=f(n)+2n
C.f(n+1)=f(n)+n+1
D.f(n+1)=f(n)+n-1
10.如图为一个类似于杨辉三角的数阵,则第九行的第二个数为　　　　.?
1
3　3
5　6　5
7　11　11　7
9　18　22　18　9
……
11.(2020重庆七校联盟高二上期末联考)数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N
).
(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
能力提升练习：
知识点一　用数学归纳法证明等式
1.(2019辽宁凤城一中高二月考)用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=,n∈N
”的过程中,从n=k(k∈N
)到n=k+1时,等式左边应添加的项是(　　)
A.k3+1
　　B.(k+1)3
C.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
　　D.
2.观察下列等式:
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
按照以上式子的规律:
(1)写出第5个等式,并猜想第n(n∈N
)个等式;
(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n(n∈N
)个等式成立.
知识点二　用数学归纳法证明不等式
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N
),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)=　　　　.?
4.(2019湖南长沙长郡中学调研)已知正项数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N
).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(n+1)an-nan+1,记数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.
知识点三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题
5.(2019山西大学附中高二月考)用数学归纳法证明“5n-2n(n∈N
)能被3整除”的过程中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(　　)
A.5(5k-2k)+3×2k
B.(5k-2k)+4×5k-2k
C.(5-2)(5k-2k)
D.2(5k-2k)-3×5k
6.已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=-,且Sn++2=an(n≥2),则S2
018=(　　)
A.-
B.-
C.-
D.-
7.在正整数集上定义函数y=f(n),满足f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.
(1)求证:f(3)-f(2)=;
(2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立?并证明你的结论.
答案全解全析
基础过关练习：
1.A　当n=1时,等式左边=1,故选A.
2.C　等号左边加的项是[1+2+3+4+…+2k+(2k+1)+(2k+2)]-(1+2+3+4+…+2k)=(2k+1)+(2k+2).
3.答案　1-=
解析　由题知等式的左边有2n项,右边有n项,且n∈N
,因此第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故填1-=.
4.证明　①当n=1时,左边=1+2+3+4=10,右边==10,左边=右边.
②假设当n=k(k∈N
)时等式成立,即1+2+3+…+(k+3)=,
则当n=k+1时,1+2+3+…+(k+3)+(k+4)=+(k+4)=,
即当n=k+1时,等式成立.
综上,1+2+3+…+(n+3)=(n∈N
).
5.B　∵n∈N
,n>1,∴n所取的第一个正整数为2,又22-1=3,故第一步应验证1++<2.
6.D　根据数学归纳法的步骤,首先要验证当n取第一个值时命题成立,
结合本题,当n=1时,左边=21=2,右边=12+1=2,2n>n2+1不成立,
当n=2时,左边=22=4,右边=22+1=5,2n>n2+1不成立,
当n=3时,左边=23=8,右边=32+1=10,2n>n2+1不成立,
当n=4时,左边=24=16,右边=42+1=17,2n>n2+1不成立,
当n=5时,左边=25=32,右边=52+1=26,2n>n2+1成立,
因此当n≥5时,命题2n>n2+1成立.
所以第一步证明中的起始值n0应取5.
故选D.
7.D　从n=k(k∈N
)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求.
8.证明　由bn=2n,得=,
所以··…·=×××…×.
用数学归纳法证明不等式×××…×>成立,证明如下:
①当n=1时,左边=,右边=,因为>,所以不等式成立.
②假设当n=k(k∈N
)时不等式成立,即×××…×>成立,
则当n=k+1时,左边=×××…××>×
==
>=
==
==右边.
所以当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可得不等式×××…×>对任意的n∈N
都成立,即原不等式成立.
9.B　依题意得,由n个圆增加到n+1个圆,增加了2n个交点,这2n个交点将新增的圆分成2n段弧,而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块,故增加了2n块区域,因此f(n+1)=f(n)+2n.
10.答案　66
解析　设第n(n≥2且n∈N
)行的第二个数为an,由题图可知a2=3,a3-a2=3,a4-a3=5,……,an-an-1=2n-3,叠加可得an=n2-2n+3,所以第九行的第二个数a9=81-18+3=66.
11.解析　(1)∵Sn=2n-an,
∴当n=1时,S1=2×1-a1?a1=1,
当n=2时,S2=2×2-a2?a2=,
当n=3时,S3=2×3-a3?a3=,
当n=4时,S4=2×4-a4?a4=,
由此猜想an=(n∈N
).
(2)证明:①当n=1时,a1=1,结论成立.
②假设当n=k(k∈N
)时,结论成立,即ak=.
则当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak
=2+ak-ak+1,
∴2ak+1=2+ak,
∴ak+1===,
所以当n=k+1时,结论成立,
综上所述,an=(n∈N
)成立.
能力提升练习：
1.C　由题意可知,
当n=k(k∈N
)时,左边=1+2+3+…+k3,
当n=k+1时,左边=1+2+3+…+k3+(k3+1)+…+(k+1)3,
所以由n=k到n=k+1时,等式左边应添加的项是(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3.
2.解析　(1)第5个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92.
第n个等式为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2,n∈N
.
(2)证明:①当n=1时,等式左边=1,等式右边=(2-1)2=1,所以等式成立.
②假设当n=k(k∈N
)时,等式成立,即
k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)=(2k-1)2,
则当n=k+1时,
(k+1)+[(k+1)+1]+[(k+1)+2]+…+[3(k+1)-2]=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(3k+1)=k+(k+1)+(k+2)+…+(3k-2)+(3k-1)+3k+(3k+1)-k=(2k-1)2+8k=4k2-4k+1+8k=(2k+1)2=[2(k+1)-1]2,即n=k+1时等式成立.
根据①和②,可知对任意n∈N
等式都成立.
3.答案　++…+
解析　因为当n=k时,f(2k)=1+++…+,
当n=k+1时,f(2k+1)=1+++…+++…+,
所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-=++…+.
4.解析　(1)由题可得,a1=1,a2=,a3=,从而猜想an=(n∈N
).用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,有a1=1=,猜想成立;
②假设当n=k(k∈N
)时猜想成立,
即ak=,则当n=k+1时,
ak+1==,所以当n=k+1时,猜想也成立.
由①②可知,an=对任意n∈N
都成立.
∴数列{an}的通项公式为an=,n∈N
.
(2)证明:-=(-)[(n+1)+×+n],
由基本不等式可得(n+1)+×+n>2×+×=3×,
所以->(-)××=(n+1)-n=bn,
所以Tn<{(-)+(-)+…+[-]}=-,
故Tn<.
5.A　假设当n=k(k∈N
)时,命题成立,即5k-2k能被3整除,
则当n=k+1时,
5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.
6.A　由题意得,Sn++2=Sn-Sn-1(n≥2),
所以Sn=-.
当n=1时,S1=a1=-,
则当n=2时,S2=-=-,
当n=3时,S3=-=-,
……
猜想:Sn=-(n∈N
).
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,左边S1=a1=-,右边=-=-,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N
)时猜想成立,即
Sk=-,
则当n=k+1时,Sk+1=-=-=-,所以当n=k+1时猜想也成立.
综上所述,Sn=-对任意n∈N
都成立.
所以S2
018=-=-.故选A.
7.解析　(1)证明:由f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],得f(n+1)=,
将f(1)=2代入,得f(2)==,
f(3)==,所以f(3)-f(2)=-=.
(2)存在.
由f(1)=2,
f(2)=,得a=-,b=.
故猜想存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,显然成立.
②假设当n=k(k∈N
)时,猜想成立,
即f(k)=+1,
则当n=k+1时,
f(k+1)=
=
==1+
=+1,
即当n=k+1时,
f(k+1)=+1成立.
由①②可知,存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.