5.3.1单调性同步练习-2021-2022学年高二上学期数学苏教版(2019)选择性必修第一册（Word版含解析）

5.3.1单调性
课本温习
1.
函数f(x)＝x＋ln
x在(0，6)上是(　　)
A.
单调增函数
B.
单调减函数
C.
在(0，)上是减函数，在(，6)上是增函数
D.
在(0，)上是增函数，在(，6)上是减函数
2.
函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　)
A.
(－∞，0)
B.
(0，＋∞)
C.
(－∞，－3)和(1，＋∞)
D.
(－3，1)
3.
下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A.
y＝sin
x　　　
B.
y＝xex
C.
y＝x3－x
D.
y＝－x＋ln
x
4.
f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
5.
若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A.
[1，＋∞)　
B.
a＝1　
C.
(－∞，1]　
D.
(0，1)
固基强能
6.
设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有(　　)
A.
f(x)＞g(x)
B.
f(x)＜g(x)
C.
f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D.
f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
7.
(多选)在下列结论中，不正确的有(　　)
A.
单调增函数的导数也是单调增函数
B.
单调减函数的导数也是单调减函数
C.
单调函数的导数也是单调函数
D.
导函数是单调的，则原函数也是单调的
8.
(多选)已知函数f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1，4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0垂直．且函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则下列结论正确的有(　　)
A.
f(x)＝x3＋3x2　　　
B.
f′(x)＝3x2＋6x
C.
m的取值范围是(－∞，－3]∪[0，＋∞)　　
D.
f′(x)＝x2＋6x
9.
已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0，1]．若f(x)在x∈(0，1]上是增函数，则a的取值范围是________．
10.
设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
若a＝，则f(x)的单调区间为
；若当x≥0时f(x)≥0，则a的取值范围为
．
11.
若函数f(x)＝ax3－3xex＋1在(0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
12.
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数．若g(x)＝f(x＋1)＋5，g′(x)为g(x)的导函数，对?x∈R，总有g′(x)＞2x，则g(x)＜x2＋4的解集为________．
规范演练
13.
已知函数f(x)＝ex＋x2－x－4，e是自然对数的底数，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．
14.
已知函数f(x)＝＋x在x＝1处的切线的方程为2x－y＋b＝0.
(1)
求实数a，b的值；
(2)
若函数g(x)＝f(x)＋x2－kx，且g(x)是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．
单　调　性
1.
A　解析：∵
当x∈(0，6)时，f′(x)＝1＋＞0，∴
函数f(x)在(0，6)上单调递增．故选A.
2.
D　解析：由题可得导函数y′＝(－x2－2x＋3)ex.令y′＝(－x2－2x＋3)ex＞0，可得x2＋2x－3＜0，∴
－3＜x＜1.∴
函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(－3，1)．故选D.
3.
B　解析：对于B，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．对于A，C，D都存在x>0，使y′<0的情况．故选B.
4.
D　解析：由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即函数f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．故选D.
5.
A　解析：∵
f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0，1)上单调递减，∴
不等式3x2－2ax－1≤0在(0，1)上恒成立，
∴
f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴
a≥1，故选A.
6.
C　解析：∵
f′(x)－g′(x)＞0，∴
[(f(x)－g(x))]′＞0，∴
f(x)－g(x)在
[a，b]上是增函数，
∴
当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，∴
f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)，故选C.
7.
ABCD　解析：分别举反例：A中y＝ln
x，B中y＝(x>0)，C中y＝2x，D中y＝x2.
8.
ABC　解析：∵
f(x)＝ax3＋bx2的图象经过点M(1，4)，∴
a＋b＝4　①，
f′(x)＝3ax2＋2bx，则f′(1)＝3a＋2b.
由题意可得f′(1)·(－)＝－1，即3a＋2b＝9　②.
联立①②两式，解得a＝1，b＝3，
∴
f(x)＝x3＋3x2，f′(x)＝3x2＋6x.
令f′(x)＝3x2＋6x≥0，得x≥0或x≤－2.
∵
函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，
∴
[m，m＋1]?(－∞，－2]∪[0，＋∞)，
∴
m≥0或m＋1≤－2，即m≥0或m≤－3.
9.
[－，＋∞)　
解析：由已知条件得f′(x)＝2a＋.∵
f(x)在(0，1]上是增函数，∴
f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0，1]上恒成立．而g(x)＝－在(0，1]上是增函数，∴
g(x)max＝g(1)＝－.
∴
a≥－.
当a＝－时，f′(x)＝－1＋对x∈(0，1]有f′(x)≥0，且仅在x＝1时，f′(x)＝0.
∴
a＝－时，f(x)在(0，1]上是增函数．∴
a的取值范围是[－，＋∞)．
10.
解：(1)
当a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)·(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；x∈(－1，0)时，f′(x)<0；x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．
(2)
f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，故当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a>1，则当x∈(0，ln
a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，故当x∈(0，ln
a)时g(x)<0，即f(x)<0.
综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．
11.
(－∞，2e]　解析：对原函数进行求导，得f′(x)＝3ax2－3ex(1＋x)≤0，所以a≤，x∈(0，1]．设g(x)＝，则g′(x)＝.因为x∈(0，1]，所以g′(x)<0，所以g(x)在(0，1]上是减函数，所以g(x)min＝g(1)＝2e，因此a≤2e.
12.
(－∞，－1)　解析：∵
函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴
函数f(x)关于原点对称．
又g(x)＝f(x＋1)＋5，
故g(x)的图象关于点(－1，5)对称，
令h(x)＝g(x)－x2－4，
∴
h′(x)＝g′(x)－2x.
∵
对?x∈R，g′(x)＞2x，
∴
h(x)在R上是增函数．
又h(－1)＝g(－1)－(－1)2－4＝0，
∴
g(x)＜x2＋4的解集是(－∞，－1)．
13.
解：∵
f(x)＝ex＋x2－x－4，
∴
f′(x)＝ex＋2x－1，∴
f′(0)＝0.
当x＞0时，ex＞1，∴
f′(x)＞0，
∴
f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
同理，f(x)在(－∞，0)上是减函数．
又f(0)＝－3＜0，f(1)＝e－4＜0，f(2)＝e2－2＞0，
当x＞2时，f(x)＞0，∴
当x＞0时，函数f(x)的零点在(1，2)内，
∴
k＝1满足条件．
f(0)＝－3＜0，f(－1)＝－2＜0，f(－2)＝＋2＞0，
当x＜－2时，f(x)＞0，∴
当x＜0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，
∴
k＝－2满足条件．
综上所述，k＝1或－2.
14.
解：(1)
∵
f(x)＝＋x，
∴
f′(x)＝＋1，f(1)＝1.
∵
f(x)在x＝1处的切线的方程为2x－y＋b＝0，
∴
＋1＝2，2－1＋b＝0，
∴
a＝1，b＝－1.
(2)
由(1)得f(x)＝ln
x＋x，g(x)＝x2－kx＋ln
x＋x，
∴
g′(x)＝x－k＋＋1.
∵
g(x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，
∴
g′(x)≥0在其定义域上恒成立．
∴
x－k＋＋1≥0在其定义域上恒成立，
∴
k≤x＋＋1在其定义域上恒成立，
而x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1时“＝”成立，
∴
k≤3，即实数k的取值范围是(－∞，3]．