人教版九年级上册第二十一章21.1一元二次方程 教案

教案
学生姓名
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上课时间
年
月
日
第（
）次课共（
）次课
课时：
课时
教学课题
一元二次方程
教学目标
1.了解一元二次方程定义及其相关概念。2.理解、掌握直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
3.能根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法。4.体会转化、降次的数学思想，体会解决问题策略的多样性。
教学重点与难点
公式法，因式分解法解一元二次方程
知识讲解1.一元二次方程的定义（1）一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0，这样的方程叫一元二次方程；它的一般形式是（为常数）。（2）一元二次方程的特点：
1）含有一个未知数；
2）且未知数的最高次数是2；
3）是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。若是，再对它进行整理。如果能整理为
的形式，则这个方程就为一元二次方程。将方程化为一般形式：时，应满足（a≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项。2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是的平方根，当
时，，
，当时，方程没有实数根。（2）配方法配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的看做未知数，并用代替，则有。配方法解一元二次方程的一般步骤：先将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为的形式，当
时，，
，当时，方程没有实数根。（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的方法，它是解一元二次方程的一般方法。的求根公式为（4）因式分解法①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到一元一次方程，解一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.考点1判断一个方程是否为一元二次方程时，需将方程化成一般形式，判断方程是否为整式方程。考点2在给定的一元二次方程中，当未知数的系数和次数中都含有同一个参数时，在求解出参数的结果后，忽略a≠0的条件。考点3
用配方法解一元二次方程时，一定要使二次项系数为1后，再配方（方程两边同时加上一次项系数一半的平方）。考点4
在一元二次方程化成一般形式后，要注意二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。考点5根据一元二次方程的特点，如何灵活选用最合适的解方程的方法：首先考虑是否满足直接开平方法的条件，其次观察项数，考虑能否用因式分解法，用哪一种因式分解法，最后考虑公式法和配方法。例题精析【例题1】【题干】已知关于的方程,当m为何值时方程为一元二次方程。【答案】-2【解析】因为方程为一元二次方程，所以，解得。而当时，二次项系数为0，所以m应取-2.【例题2】【题干】在下列方程中，哪些是一元二次方程？是一元二次方程的，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项。（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）、（2）、（3）都是一元二次方程。（1）的二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-1.
（2）的二次项系数是1，一次项系数是-5，常数项是0.
（3）的二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是-12.【解析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数都是2的整式方程）去判断，在确定一元二次方程每一项时，一定要先把方程化为一般形式，再去判断。【例题3】【题干】
把方程化为的形式【答案】：【解析】【例题4】【题干】解方程【答案】：【解析】解：移项，得
方程两边都加上（-5）?，得即，
两边开平方，得，或所以
，
，【例题5】【题干】解方程【答案】：【解析】解：∵∴∴∴，【例题6】【题干】用适当的方法解下列方程（1）【答案】：【解析】解：原方程可化为∴
，或∴
（2）【答案】：【解析】解：原方程可化为，或∴
课堂运用【基础】1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（
）A
B
C
D
答案:
A分析
此题考查了一元二次方程的定义。A选项化为一般式为：，是一元二次方程；B选项分母中含有，不属于整式方程；C选项中的没有给出a≠0的条件；D选项化为一般式后，两边的抵消掉，转化为一元一次方程。2.
解方程答案解：
分析
观察可知，此方程可以采用直接开平方法进行求解。需要注意的是方程的解有两个，并且它们互为相反数。3.用配方法解一元二次方程：．答案解：
，
　，，
∴，
.
分析用配方法解一元二次方程的关键是，在二次项系数为1的条件下，给方程两边同时加一次项系数一半的平方.4.
用公式法解一元二次方程
.答案解：
，代入求根公式，得分析用公式法解一元二次方程时，各项系数要带前面的符号.5.方程的解是
（
）
A.
B.
C.或
D.
或答案：D
分析用因式分解法解一元二次方程的步骤是，把右边的式子移到左边，然后另每一个因式为0.【巩固】1.当m取何值时，方程是关于x的一元二次方程？答案
解：由题意，得，.当，此时方程为一元一次方程.当，此时方程为一元二次方程.分析题目中隐含了a≠0的条件，根据一元二次方程的定义，先令次数等于2，求出m值后，再根据a≠0舍取m的值。2.
若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为
（
）
A
1
B
2
C
-1
D
-2
答案：D解：因为n是方程的一个根，所以将x=n代入，得，方程两边同时除以n，得即.分析已知方程的一个根，求方程中的参数值或方程的另一个解，通常用代入法.3.用配方法解一元二次方程：答案解：配方，得
即分析二次项系数不为1时，用配方法解一元二次方程，先用提公因式的方法把二次项系数化为1，然后再用直接开平方法求解。4.解一元二次方程：答案解：设
原方程化为：，
解得：
即
所以
分析本题考查用换元法解一元二次方程的能力。观察方程由方程特点设，然后整理原方程求解。换元法解方程可将方程化繁为简，化难为易，是解方程的常用方法之一。换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的方程的特点。【拔高】1.用配方法证明的值恒小于0.答案
证明：因为，所以，即分析本题难点在于该式不是等式，因而不能按照通常的方法一样进行配方；先将前两项结合起来，将二次项系数-5提出来，使二次项系数为1后，再加上一次项系数一半的平方进行配方，配成完全平方式再进行判断。课程小结1．一元二次方程定义的判断2.
一元二次方程定义中参数的求法3．
一元二次方程的解法：直接开平方、因式分解法、公式法、配方法。
4.解一元二次方程的基本思想方法：一元二次方程一元一次方程．课后作业【基础】1、把下列方程化为一元二次方程的一般形式（1）
（2）（3）
（4）【答
案】（1）
（2）（3）
（4）【解
析】结合整式乘法和等式的性质，将方程化为降次排列，即一般形式。2、已知方程的一个根是1，则m的值是【答
案】6【解
析】将代入原方程即可求出。3、解下列方程（1）【答
案】【解
析】选择直接开平方法较简单【规范解答】解：∴
，或∴
（2）【答
案】【解
析】选择配方法较简单【规范解答】解：∴
∴
，或∴
（3）【答
案】【解
析】选择公式法较简单【规范解答】解：∵∴∴∴（4）【答
案】【解
析】选择因式分解法较简单【规范解答】解：∴
，或∴
【巩固】1、下列方程，是一元二次方程的是（
）
①，②，③，④，⑤
A．①②
B．①②④⑤
C．①③④
D．①④⑤【答
案】D【解
析】根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数都是2的整式方程）即可判断，2.若是一元二次方程的一个根，则。【答
案】2【解
析】将代入原方程即可求出。3、若代数式与代数式
的值相等，则的值为。【答
案】【解
析】由题意可知，得，解得4、若，则x的值为（
）A、1或2
B、2
C、1
D、【答
案】B【解
析】本题应结合来解答。方程的解为，而当时，所以应选B5、用适当的方法解下列方程（1）；
【答
案】【解
析】选择因式分解法较简单【规范解答】解：∴
，或∴
（2）；【答
案】【解
析】选择因式分解法较简单【规范解答】解：原方程可化简为∴
，或∴
（3）【答
案】【解
析】选择因式分解法较简单【规范解答】解：∴
，或∴
（4）【答
案】【解
析】可选择公式法【规范解答】解：∵∴∴∴【拔高】1.若，，则的值为。答案：解析：将两个式子相加得，
设，则有
解一元二次方程，
即：2.如果，那么代数式的值。答案：-6解析：由可得，3.
试用配方法说明的值恒小于0。答案证明：因为即