2021-2022学年人教版数学九年级上册21.2.2 公式法【教案】

21.2.2
公式法
一、教学目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.能熟练运用公式法解一元二次方程.
二、教学重难点
重点
一元二次方程求根公式的推导和公式法的应用.
难点
一元二次方程求根公式的推导.
重难点解读
1.根的判别式Δ=b2-4ac中的a，b，c分别为一般式中的二次项系数、一次项系数及常数项，因此确定a，b，c之前应把方程化为一般形式.
2.计算出Δ后应与0比较，从而判断方程根的情况.
3.根的判别式只适用于一元二次方程，不能盲目使用.
4.根的判别式的应用要注意隐含条件a≠0.
5.求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用它直接解方程避免了繁杂的配方过程，公式法是一种常用解法，并且适用于所有的一元二次方程.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
1.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如方程
（1）x2=4；（2）（x-2）2=7.
提出问题：
（1）这种解法的（理论）依据是什么？
（2）这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊一元二次方程有效，不能用于一般形式的一元二次方程.）
（3）面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的一元二次方程配方成能够“直接开平方”的形式.）
2.用配方法解方程：6x2-7x+1=0.
活动2
探究新知
1.教材第9页
探究.
提出问题：
（1）我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.我们是否也能用配方法求出ax2+bx+c=0（a≠0）的解呢？想想看，该怎样做？请同学们认真思考，然后师生共同探讨方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解.
（2）用配方法解一元二次方程的步骤是什么？移项后得到的方程是什么？把二次项系数化为1的方程是什么？怎么把方程左边配成x2+2bx+b2的形式？方程x2+x+（）2=-+
（）2的左边写成完全平方的形式是什么？
（3）（x+）2=两边能直接开平方吗？为什么？你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.
活动3
知识归纳
1.一般地，式子
b2-4ac
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2-4ac.从而有：
①当Δ
＞
0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；当Δ
=
0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；当Δ
＜
0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根；
②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为x=
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
2.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入
求根公式
，可以直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
活动4
典例赏析及练习
例1
不解方程，判定下列方程根的情况：
（1）16x2+8x=-3；（2）x2-7x-18=0.
找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用b2-4ac与0的大小关系可得出结论.注意：在确定方程a，b，c的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则会出现错误.
【答案】（1）方程没有实数根；（2）方程有两个不相等的实数根.
例2
教材第11页
例2.
例3
若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3＞0的解集（用含a的式子表示）.
【答案】解：一元二次方程没有实数根，则Δ＜0且a-2≠0.解得a的取值范围是a＜-2.∴ax+3＞0的解为x＜.
练习：
1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是
m≤1
.
2.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，则m的值为
-3
.
3.解下列方程：
（1）3x2-6x-2=0；（2）3x2-x+2=1+x；（3）2x2-4x+2=0.
【答案】（1）x1=，x2=；（2）方程无实数根；（3）x1=x2=1.
活动5
课堂小结
1.求根公式的概念及其推导过程.
2.公式法的概念.
3.运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）将所给的方程化为一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0；（2）找出系数a，b，c，注意各项的系数及符号；（3）计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解；（4）若结果为非负数，代入求根公式算出结果.
四、作业布置与教学反思