2021-2022学年人教版九年级数学 上册21.2.2公式法 一元二次方程的根的判别式的应用【教案】

学科
数学
年级/册
九年级（上）
教材版本
人教版
课题名称
一元二次方程根的判别式的应用
难点名称
一元二次方程根的判别式的应用
难点分析
从知识角度分析为什么难
应用一元二次方程根的判别式（或根的情况）解较为复杂的方程、不等式或证明问题等综合应用在中考中是必考内容，对于学生是易错点，也是难点.
从学生角度分析为什么难
学生已经学过一元二次方程的解法，并对△=b2-4ac的作用有初步的了解，在此基础上，进一步研究△=b2-4ac的应用，分类讨论、归纳总结，它是前面知识的深化和总结.
难点教学方法
1.通过根的判别式定理学习的基础上，能够由b2-4ac的符号判断一元二次方程根的情况（由一元二次方程根的情况判断b2-4ac的符号），从而解决字母的取值范围、代数式的值、三角形的形状等问题，进一步理解根的判别式的意义；
2.采用教师引导、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律，利用根的判别式解决相关问题.
教学环节
教学过程
导入
一元二次方程ax2
+bx+c=0（
a≠0
）的根的判别式通常用“△”来表示，即△=b2-4ac，我们学到的△的最基本的作用是利用△=b2-4ac的符号判别一元二次方程根的情况：当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程无实数根.
反之，仍然成立.
现在我们一起来学习根的判别式的其他应用.
知识讲解
（难点突破）
类型1
利用根的判别式求字母的取值范围
例1
若｜b-1｜+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0
有实数根，则k的取值范围是
.
解析：由已知｜b-1｜+=0
，根据非负数的性质得b-1=0，且a-4=0，
所以a=4，b=1，所以方程为kx2+4x+1=0
，由题意b2-4ac=42-4k≥0，所以k≤4，又一元二次方程二次项系数k≠0
，所以k≤4且k≠0
.
类型2
利用根的判别式求代数式的值
例2
已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，求的值.
解：由题意得△=b2-4ac=0，而c=1，则b2=4a，所以===4
例3
（山东潍坊中考）已知关于x的方程（a
-6）x2-8x+6=0有实数根，则整数a的最大值是（
）
A.
6
B.7
C.8
D.9
解析：此题要分类讨论：
当a=6时，此方程为一元一次方程，方程的实数根为x=；
当a≠6时，此方程为一元二次方程，由题得b2-4ac≥0，即(-8)2
-4×6(a-6)2≥0，解得a≤，又因为a为整数，所以a的最大值是8.
综上可知，a的最大值是8.
类型3
运用根的判别式判断三角形的形状
一元二次方程ax2
+bx+c=0（a≠0）的二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别由△ABC的三边的代数式构成，已知方程的根的情况；利用根的判别式得出关于三角形三边长的等式即可判断△ABC的形状.
一般来说，如果让我们判断三角形的形状，那么这个三角形大多数情况是特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、直角三角形），因此，通过化简根的判别式得出三角形两边（或三边）相等，或两边平方的和等于第三边的平方，则可以判断△ABC的形状.
例4
已知关于x的方程4(a+c)x2+4bx+a-c=0有两个相等的实数根，试判断以a、b、c为三边的三角形的形状.
解：以a、b、c为三边的三角形是直角三角形.
理由如下：
因为方程4(a+c)x2+4bx+a-c=0有两个相等的实数根，所以b2-4ac=0，即(4b)2-4×4(a+c)(a-c)=0，所以b2-a2+c2=0，即b2
+c2=
a2，所以以a、b、c为三边的三角形是直角三角形.
课堂练习
（难点巩固）
1.如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0
有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
.
2.已知a、b、c是三角形的三边长，且关于x的方程(c-b)x2+2(b-a)x+a-b=0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.
小结
（1）今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的考点，所以必须牢固掌握好它.??
（2）一元二次方程ax2
+bx+c=0（a≠0）（△=b2-4ac）
根的判别式
根的情况
b2-4ac＞0
?
方程有两个不相等的实数根
b2-4ac=0
?
方程有两个相等的实数根
b2-4ac＜0
?
方程无实数根?????????
（3）利用一元二次方程根的情况与b2-4ac的符号之间的关系可以解决字母的取值范围、代数式的值、三角形的形状等问题.?