2021-2022学年九年级数学人教版上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系【教案】

21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
一、教学目标
1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.
2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.
二、教学重难点
重点
掌握一元二次方程的根与系数的关系.
难点
一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.
重难点解读
在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：
（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.
（2）使用x1+x2=时，“-”不要漏写.
（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.
（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.
三、教学过程
活动1
旧知回顾
提出问题：
（1）一元二次方程的一般形式是什么？
（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.
（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？
（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.
活动2
探究新知
1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1·x2
x2+6x-16=0
x2-2x-5=0
2x2-3x+1=0
5x2+4x-1=0
2.教材第15页
第1个思考.
提出问题：
（1）把方程（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式后的方程是什么？
（2）这个方程的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是多少？
（3）由此可知，方程x2-（x1+x2）x+x1x2=0两个根的和、积与系数有怎样的关系？
3.教材第15页
第2个思考.
提出问题：
（1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？
（2）由求根公式可知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，两根分别为x1=，x2=.观察两式右边，分母相同，分子是-b+与-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x1+x2=__________，x1x2=___________.
（3）由此你能说出方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有怎样的关系吗？把方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同时除以a，能否得出该结论？为什么？
活动3
知识归纳
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1+x2=
，x1x2=
.
提出问题：
（1）方程的根是由什么决定的？
（2）在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？为什么？
活动4
典例赏析及练习
例1
教材第16页
例4.
例2
已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）
【答案】解：两种.（1）直接利用因式分解法，得（x+1）（x-2）=0；
（2）用根与系数关系法求解：∵两根之和为1，两根之积为-2，∴满足条件的方程为ax2-ax-2a=0（a≠0）.
例3
已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.
变式一：已知方程x2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k；
变式二：已知方程2x2-5x+k=0的两根互为倒数，求k.
【答案】解：由两根之积，得-3k=，解得k=；（变式一）互为相反数的两根之和为0，得0=2k.解得k=0；（变式二）互为倒数的两根之积为1，得1=，解得k=2.
练习：
1.教材第16页
练习.
2.若x1，x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2=
-3
.
3.两根均为负数的一元二次方程是（
C
）
A.7x2-12x+5=0
B.6x2-13x-5=0
C.4x2+21x+5=0
D.x2+15x-8=0
4.已知关于x的方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根.若α，β是这个方程的两个实数根，求+的值.
【答案】解：由根与系数的关系可知α+β=-2，αβ=-k，∴+==
==2.
活动5
课堂小结
1.若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=-p，x1x2=q.
2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，两个根x1，x2与系数a，b，c有如下关系：x1+x2=，x1x2=.
3.运用一元二次方程的根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：
（1）先把方程化为一般形式，明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式；
（2）确定方程的各项系数时一定要包括符号；
（3）只有在一元二次方程有实根数的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.
四、作业布置与教学反思