(共26张PPT)
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b|与|a-b|等之间的关系。
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
例3.设ab>0,下面四个不等式中,正确的是( )
①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;
③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
解析:∵ab>0,即a,b同号,则|a+b|=|a|+|b|,
∴①和④正确.
答案:C
例4. 若f(x)=x2-x+c(c为常数),|x-a|<1,
求证:|f(x)-f(a)|<2(1+|a|).
[证明] |f(x)-f(a)|=|(x2-x+c)-(a2-a+c)|
=|x2-x-a2+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|
=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|
≤|x-a|+2|a|+1<1+2|a|+1=2(1+|a|).
D
D
C
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立）
|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。(共33张PPT)
（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。
②分段讨论法：
|ax+b|
c(c>0)型不等式比较：
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别
|ax+b|-c-c} ∩ {x|ax+b|ax+b|>c
ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b<-c}∪
{x|ax+b>c}, 并
变式：不等式1<|x+1|<3的解集为( )
A.(0,2) B.(-2,0)∪(2,4)
C.(-4,0) D.(-4,-2)∪(0,2)
解析:由1<|x+1|<3,得
1∴0∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2).
答案:D
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
解不等式:
例6：设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.
(1)解不等式f(x)>2;
(2)求函数y=f(x)的最小值.
[方法与技巧] 通过去绝对值,可将含有绝对值的函数转化成分段函数去研究它的性质.
例7：若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上
恒成立,则a的最大值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
解析:由于|x-2|+|x-a|≥|a-2|
∴等价于|a-2|≥a,即a≤1.
故实数a的最大值为1.
答案:C
解题准备:当x取何值时 有最小值问
题可以利用以下三种解法:
(1)去掉绝对值号,转化为分段函数求最值;
(2)利用|x-ai|+|x-ak|的几何意义;
(3)利用绝对值不等式|x-a|+|b-x|≥|a-b|,其中取等号的条件是(x-a)与(b-x)不异号.
课后思考： (2009·上海)某地街道呈现东—
西 南—北向的风格状,相邻街距都为1.两街
道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街
道为轴建立直角坐标系,现有下述格点
(-2,2),(3,1),(3,4),(-2,3),(4,5),(6,6)为报刊零售
点.请确定一个格点(除零售点外)________为
发行站,使6个零售点沿街道到发行站之间路
程的和最短.
[解析] 设格点为(x,y),则格点到各零售点的距离之和为
d=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|+|y-1|+|y-2|+|y-4|+|y-3|+|y-5|+|y-6|.
设d1=|y-1|+|y-2|+|y-3|+|y-4|+|y-5|+|y-6|.
d2=|x+2|+|x-3|+|x-3|+|x+2|+|x-4|+|x-6|.
∵|y-1|+|y-6|≥5,当且仅当1≤y≤6时等号成立;
|y-2|+|y-5|≥3,当且仅当2≤y≤5时等号成立,
|y-3|+|y-4|≥1,当且仅当3≤y≤4时等号成立.
故当y=3或y=4时等号成立.
此时d1有最小值.
同理可证当x=3时,d2有最小值.
∴由题意得(x,y)只能取(3,3).
[答案] (3,3)(共22张PPT)
定理 如果 ，那么 当且仅当a=b=c时，等号成立．
（１）若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值．
（２）若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值．
例１ 求函数 的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由 知 ，则
当且仅当
解法2：由 知 ，则
例１ 求函数 的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
例 １ 求函数 的最小值．
解法３：由 知 则
A、6 B、 C、9 D、12
（ ）
例2：
C
8
例3：
已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．
解：设长方体的体积为V，长、宽、高分别是a，b，c，则V=abc，S=2ab+2bc+2ac
练习：
A、0 B、1 C、 D、
（ ）
D
3
A、4 B、
C、6 D、非上述答案
（ ）
B
9
D
广21世纪数痘
27世纪数育
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新人教A版选修4一5
全套课件(共30张PPT)
实际生活中
长短
大小
轻重
高矮
横看成岭侧成峰
远近高低各不同
雷声大，雨点小
捡了芝麻，丢了西瓜
道高一尺，魔高一丈
三个臭皮匠，抵过一个诸葛亮
你能发现下列成语、谚语中反映的不等关系吗
例2．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0，
所以(x2－x)－(x－2)>0，
因此x2－x>x－2.
若b>a,结论又会怎样呢
例4
解:
例5、已知x>y且y≠0，比较x/y与1的大小。
解： ∵ -1 =
∵x>y,∴x-y>0
当y<0时， <0，即 -1<0
∴ <1
当y>0时， >0，即 -1>0 ∴ >1
例1：对于实数 判断下列命题的真假
若 则
(5)若 则
(3)若 则
(4)若 则
假
(2)若 则
真
假
假
真
注:（1）运用不等式的性质时，应注意不等式成立的条件。
（2）一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格加以证明，要判断一个命题为假命题，可举反例，或者由题中条件推出与结论相反的结果。
例3.已知 a > b >0, c <0, 求证 .
＞
证明：因为a > b >0,
于是
即
由 c < 0 , 得 ,
即
所以 ab >0,
>0.
思考？
能否用作差法证明 ？
例4.应用不等式的性质，证明下列不等式：
（1）已知a>b，ab>0，求证： ；
证明：
（1）因为ab>0，所以
又因为a>b，所以
即
因此
（2）已知a>b>0，0证明：因为0又因为a>b>0，所以
即
不等式的性质 内 容
对称性
传递性
加法性质
乘法性质
指数运算性质
倒数性质
要弄清每一性质的条件和结论,注意条件的放宽和加强,以及条件与结论之间的相互联系.
关于不等式性质的学习要注意
紧扣基本性质证明问题.(共29张PPT)
几何意义：半径不小于半弦
如图,AB是圆的直
径，C是AB上任一
点AC=a, CB=b,过
点C 作垂直于AB的
弦DE，连 AD, BD,
则CD=＿＿,
半径为＿＿
对基本不等式 的几何意义作进一步探究
错在哪里？
１．已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值．
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个重要条件．
２．已知函数 ，
求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件.
如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
应用
求最值时,注意验证：一正 、二定 、三相等
构造条件
例1、若 ,求 的最小值.
变3:若 ,求 的最小值.
变2:若 ,求 的最小值.
问:在结论成立的基础上,条件“a>0,b>0”可以变化吗？
变1:若 求 的最小值
例2、
1、【杭州市09年模考·理】(3) 下列不等式不一定成立的是
B
C
D
A
C
2、【金丽衢第一次联考·理】14．（文科14） 改编
4
原题：满足a+2b=1
变式训练：
且
1、已知
，
求
的最小值
解：
当且仅当
即
时
例5．求函数 的最大值，及此时x的值。
解： ，因为x>0，
所以
得
因此f(x)≤
当且仅当 ，即 时，式中等号成立。
由于x>0，所以 ，式中等号成立，
因此 ，此时 。
1. 两个不等式
（1）
（2） 当且仅当a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。
2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。
2.不等式的简单应用：主要在于求最值
把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”